1、第三章 导数一基础题组1. 【临川一中20152016年度第一学期高三期中考试4】若函数不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）.A B C D【答案】C考点：利用导数研究函数的单调性2. 【山东师范大学附属中学2016届高三上学期第二次模拟考试7】设函数下列结论正确的是（ ）A. B. C. 上递减，无极值D. 上递增，无极值【答案】D【解析】试题分析：，在上递增，无极值考点：函数的最值和极值.3. 【湖北宜昌一中、龙泉中学2016届高三年级十月联考5】 =（）A B C D【答案】C【解析】试题分析：，故选C考点：定积分 4. 【福建三明一中2016届上学期高三第一月考8】 已知函数f(x)
2、的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)等于 ()Ae B1 C1 De【答案】B【解析】试题分析：因为，所以，令，得，解得；故选B考点：导数的运算5. 【福建三明一中2016届上学期高三第一月考6】设曲线y在点(3,2)处的切线与直线axy30垂直，则a等于 ( )A2 B2 C. D【答案】B考点：1.导数的几何意义；2.两直线的位置关系6. 【黑龙江牡丹江市一中2016届高三10月月考6】若函数f（x）的导函数=x24x+3，则使得函数单调递减的一个充分不必要条件是x（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：设,所以。由得，所以函数的单调递减区间为
3、。要使函数单调递减的一个充分不必要条件是M，需有集合真包含于集合，显然答案B符合。故选B。考点：复合函数的单调性；集合关系。7. 【山东潍坊一中2016届高三10月考6】已知函数的导函数为，且满足，则（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：，.令,得,解得，-1.故选B。考点：求导数值。8. 【河北省衡水中学2016届高三二调14】 已知函数（）满足，且的导数，则不等式的解集为 【答案】【解析】试题分析：设根据题意可得函数在R上单调递减，然后根据可得 ，最后根据单调性可求出x的取值范围 设 ， ，即函数F（x）在R上单调递减， ，而函数F（x）在R上单调递减， ，即， 故答案为： 考点
4、：导数的运算；其它不等式的解法9. 【山东潍坊一中2016届高三10月考11】 【答案】8【解析】试题分析：.考点：定积分基本定理求定积分值。10. 【兰州一中2015-2016-1学期高三年级期中3】设曲线y在点(3,2)处的切线与直线axy30垂直，则a等于 ( )A2 B C. 2 D【答案】C考点：1导数的几何意义;2直线垂直.11. 【兰州一中2015-2016-1学期高三年级期中10】设函数f(x)x29ln x在区间上单调递减，则实数a的取值范围是()A1a2 Ba4 Ca2 D00时，xf(x)-f（x）0成立的x的取值范围是( )A（一，一1）(0，1) B（一1，0）(1，
5、+)C（一，一1）（一1，0） D(0，1) (1，+)【答案】A考点：函数性质综合应用3. 【四川成都七中高2016届数学（理科）10月阶段考试（一）12】设函数则使得成立的x的取值范围是( )【答案】A【解析】试题分析：当时，； 因此为偶函数且在上为增函数，不等式等价于，选A.考点：函数性质综合应用【方法点晴】本题主要考查的是函数奇偶性、单调性，属于难题利用函数性质解不等式，关键是利用函数性质等价转化.先通过函数奇偶性定义确定函数奇偶性.对于含绝对值的函数，需分类讨论，利用导数确定函数单调性根据函数奇偶性定义，将所求不等式转化到单调区间，再根据单调性进行转化.4. 【西藏日喀则地区一高20
6、15学年第一学期10月检测12】 已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是（注：为自然对数的底数）（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：作出函数和的图象，将方程问题转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可作出函数的图象如图：当y=ax对应的直线和直线平行时，满足两个函数图象有两个不同的交点，直线y=ax和函数f（x）相切时，当x1时，函数，设切点为（m，n），则切线斜率，则对应的切线方程为，即又直线切线方程为y=ax，解得，即此时，此时直线y=ax与f（x）只有一个交点，不满足条件，若方程f（x）=ax恰有两个不同的实根时，则满足；故选B考点：1、分段函数
7、的应用；2、根的存在性及根的个数判断【方法点晴】本题主要考查函数与方程的应用，利用分段函数作出函数的图象，再利用数形结合是解决本题；求函数某过点的切线方程的方法：先设出切点，利用导数表示出切线的斜率，进而写出切线的方程，最后由过的点的坐标求出切点坐标，从而求出切线方程5. 【黑龙江牡丹江市一中2016届高三10月月考10】已知，则下列不等式一定成立的是()A B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：设函数,所以.显然，时,，即此时函数为增函数。易知函数为偶函数，所以在时，函数单调递减。又因，所以即，所以,故。选D。考点：构造函数法并利用单调性解不等式。【方法点睛】题目中条件，启发我们构造
8、函数，而选项从整体上看，是比较与的大小关系的。以上两点结合考虑，应判断函数的单调性，而函数是偶函数，由及单调性直接判断变量与的大小比较难，应利用偶函数的性质得到，从而得到。这样显然答案选D。本题综合性较强、难度较大，要有构造函数的意识，同时要灵活运用函数性质。 6. 【黑龙江牡丹江市一中2016届高三10月月考11】已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，若，则的大小关系是（ ） A B. C. D.【答案】D考点：单调性比大小。【方法点睛】构造函数法并利用函数单调性比大小。首先题目中a,b,c的形式可启发我们构造函数，同时启发我们求函数的导数，从而判断其单调性。同时本题考查了偶函数的性质，将变
9、量统一转化为正值（避免讨论），从而利用函数的单调性比大小。构造函数法的难点是如何构造函数，希望同学们多观察多总结多感悟，一定能突破这一难关。7. 【兰州一中2015-2016-1学期高三年级期中12】已知f(x)x36x29xabc，ab0 Bf(0)f(3)0 Cf(0)f(2)0 Df(0)f(3)0，单调递增；当时，单调递减，所以是的极大值点(2)若，由，得或.因为是的极大值点，所以，解得综合(1),(2)得的取值范围是.考点：1导数研究函数的单调性;2极值点.【方法点晴】本题主要考查的是推理与证明和利用导数研究函数的极值，属于难题解题时一定要注意函数的定义域，否则很容易出现错误利用导数
10、求函数的极值的步骤：确定函数的定义域；对求导；求方程的所有实数根；列表格 3. 【江苏省泰州中学2016届上学期高三第二次月考14】已知函数在上是增函数，函数，当时，函数的最大值与最小值的差为，则 【答案】考点：1.函数的单调性与导数；2.函数的最值与导数【方法点睛】本题考查导数与函数的单调性、最值，属于难题.先利用“若函数可导，则在某区间上递增在该区间恒成立”求得的取值范围；再利用绝对值的代数意义将化为分段函数，再讨论与3的大小关系利用函数的单调性求最值，作差求解即可.4. 【山东师范大学附属中学2016届高三上学期第二次模拟考试20】（本题满分13分）已知函数（1）求函数的单调递减区间；（
11、2）若对于任意的，不等式的恒成立，求整数a的最小值.【答案】（1）；（2）2.试题解析：（）解：（） ，由，得，又，所以所以的的单调减区间为.-4分（）令，所以当时，因为，所以所以在上是递增函数，又因为，所以关于的不等式不能恒成立6分当时，令，得所以当时，；当时，因此函数在是增函数，在是减函数故函数的最大值为 8分令，因为，又因为在是减函数所以当时，所以整数的最小值为2 12分解法二.所以又(必要性),-4分下面证明充分性,当时,设-8分-13分所以不等式成立考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值.5. 【山东师范大学附属中学2016届高三上学期第二次模拟考试2
12、1】（本题满分14分）设函数（1）当时，求函数在点处切的切线方程；（2）若函数存在两个极值点，求实数a的范围；证明：【答案】（1）；（2），证明详见解析.试题解析：(1)当a2时，则，所以切线方程为4分(2)()，令，得， 函数有两个极值点等价于方程有两个不同的正根，设,所以，所以函数有两个极值点, ，则，-8分由，得，则， -10分-12分在区间上递减，所以 -14分考点：利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、利用导数求曲线的切线方程.【方法点睛】1、导数的几何意义（求曲线的切线方程）：函数在在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即斜率为，过点P的切线方程为.2
13、.求函数的极值：设函数在点处连续，（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值；（3）如果在附近左右两侧值同号，不是极值.6. 【湖北宜昌一中、龙泉中学2016届高三年级十月联考21】 (本小题满分12分)已知函数，其中是自然对数的底数（）若方程无实数根，求实数的取值范围；（）若函数是内的减函数，求实数的取值范围【答案】（）；（）【解析】试题分析：（）方程变形为，即，显然，因此方程如果有解只能是正数解，因此问题转化为方程无正根，两边取自然对数得，即，此时要求的范围，实际上就是求出函数取值范围，由可求得的最大值为，从而得的值域为，于是可得，得结论；（）由
14、题意当时，恒成立，即在时恒成立，从这个不等式可看出如果，则，故有，这是必要条件，此时，因此有，从而，由得，下面我们还要说明一下当时，在时不恒成立试题解析：（）由得，即，无负实根故有令，2分由得，由得，在上单调递增，在上单调递减 ，的值域为4分 要使得方程无实数根，则，即5分 （），由题设，知对恒成立不妨取，有， 而当时，故7分当，且时，而当时，有，故所以，所以在内单调递减，故当时满足题意9分当时，且，即 令，则 当时，此时， 则当时，故在单增，与题设矛盾，不符合题意，舍去 所以，当时，函数是内的减函数12分考点：函数根的分布，导数与函数的单调性、函数的极值，转化与化归思想【名师点晴】本题考查函
15、数根的分布，考查用导数研究函数的单调性问题，有很大的难度，考查转化与化归的数学思想第（I）小题，方程无实根，首先通过方程变形为，说明方程无负根或零根，然后在正数范围内研究，由于要求参数取值范围，因此采取分离参数法得，再采取从反而入手的思路，求出函数的值域，从而求得的取值范围；第（II）小题，首先问题等价于在时恒成立，即恒成立，这样问题以转化为研究函数的性质，在时，不符题意，而时，通过研究的极值可得结论.本题的解题过程中处处体现了转化与化归思想的应用7. 【四川成都七中高2016届数学（理科）10月阶段考试（一）21】己知函数f(x)= (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(
16、2)求证：当x（0，1）时，f(x)2(3)设实数k使得f(x)k对x(0，1)恒成立，求k的最大值【答案】(1) (2) 详见解析 (3) 2.试题解析：(1) (2) ，结论成立 (3)由(2)知时在(0，1)上恒成立当时，令则当时， ，即当时，在(0，1)上不恒成立k的最大值为2.考点：导数几何意义, 利用导数证明不等式，利用导数求数最值【名师点睛】导数及其应用通常围绕四个点进行命题第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值
17、(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用8. 【四川成都
18、七中高2016届数学（理科）10月阶段考试（一）22】(1)已知exax +1，对恒成立，求a的取值范围； (2)己知，0xm，求证f(x)n0， ，故原不等式成立。 .12分考点：1.函数的极值；2.利用导数研究不等式恒成立10. 【华中师大一附中20152016学年度上学期高三期中检测22】已知函数，（1）若为的极值点，求的单调区间； （2）如果对于一切，总存在以，为三边长的三角形，试求实数的取值范围 【答案】(1) 的单调递增区间为和，递减区间为； (2) 试题解析：（1），由题意知，即，有（负值舍去）当时，令，得增极大值减极小值增从而的单调递增区间为和，递减区间为 5分（2）由题意知，
19、对于一切，不等式恒成立，即，且；由，知，从而构成三角形的充要条件是 7分据即，必有；又因为，所以；由，从而当时，单调递减，当时，单调递增，所以从而前述的充要条件转化为 9分由1)得，又，得而不等式2)化为，令，则恒成立，所以为增函数，故当时，此说明满足不等式2）综上所述，所求正数的取值范围为 12分考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程11. （江苏省泰州中学2016届高三上学期第二次月考20）已知为实数，函数（1） 当时，求在处的切线方程；（2） 定义：若函数的图象上存在两点、，设线段的中点为，若在点处的切线与直线平行或重合，则函数是“中值平衡函数”，切线叫做函数的“
20、中值平衡切线”试判断函数是否是“中值平衡函数”？若是，判断函数的“中值平衡切线”的条数；若不是，说明理由；（3） 设，若存在，使得成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）当时，函数是“中值平衡函数”，且函数的“中值平衡切线”有无数条；当时，不是“中值平衡函数”；（3）【解析】试题分析：（1）求导，利用导数的几何意义求切线方程；（2）先利用“中值平衡函数”的定义将其化为能否成立，再讨论与，构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而判定函数是否是“中值平衡函数”，是否存在“中值平衡切线”；（3）将化为，构造函数，求导，通过研究导数的符号得到函数的单调性进而求最值，得到参数的范围试题解析：（1）函
21、数的定义域为，当时，所以在处的切线方程为4分（2） 若函数是“中值平衡函数”，则存在使得，即，（）当时，（）对任意的都成立，所以函数是“中值平衡函数”，且函数的“中值平衡切线”有无数条；当时，有，设，则方程在区间上有解，记函数，则，所以函数在区间递增，所以当时，即方程在区间上无解，即函数不是“中值平衡函数”；综上所述，当时，函数是“中值平衡函数”，且函数的“中值平衡切线”有无数条；当时，不是“中值平衡函数”；10分（3） 由，得，记，所以当时，递减，当时，递增；所以，记，时，递减；时，递增；，故实数的取值范围为16分考点：1.导数的几何意义；2.新定义型题目；导数与函数的单调性、最值12. 【
22、河北省衡水中学2016届高三二调20】（本小题满分12分）已知函数，其中，为自然对数底数讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间；设，若函数对任意都成立，求的最大值【答案】(1) 当时，函数在单调递增区间为 ；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； (2) 【解析】试题分析：（1）通过函数，得，然后结合与0的关系对a的正负进行讨论即可；（2）对a的正负进行讨论：当a0时，不可能恒成立；当a=0时，此时ab=0； 当a0时，由题结合（1）得，设，问题转化为求的最大值，利用导函数即可试题解析：（1）由函数，可知，时，函数在R上单调递增；.(2分)当时，令，得，故当时，此时单调递减；当时，此时单
23、调递增综上所述，当时，函数在单调递增区间为 ；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；.(5分)考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用13. 【河北省衡水中学2016届高三二调21】（本小题满分12分）设函数，当时，在上恒成立，求实数的取值范围；当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围；是否存在常数，使函数和函数在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】(1)；(2) ；(3)（3）存在满足题意，函数的定义域是，对m分类讨论即可得出单调性，而函数g（x）在上的单调递减区间是，单调递增区间是，解出即可试题解析：(
24、1) 当时，在上恒成立，设 ，则在上恒成立， ，当时，；当时，故在处取得极小值，也是最小值，即 .(4分)(2)函数在上恰有两个不同的零点点等价于方程在上恰有两个相异实根，令，则，当（0，1时，当（1，2时， 故F（x）在（0，1上递减，在（1，2上递增，故且 ，因此F（0）F（2），只要F（1）F（2），即只要F（1）aF（2），可使方程h（x）在上恰有两个不同的零点即；.(8分)（3）存在满足题意，函数的定义域是 ，若，意，函数f（x）在 上单调递增，不合题意；当时，由，得，解得或 （舍去），故时，函数的增区间是，单调递减区间是，而函数g（x）在上的单调递减区间是，单调递增区间是，故只需.
25、(12分)考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点；利用导数研究函数的单调性14. 【河北省衡水中学2016届高三二调22】（本小题满分12分）已知函数（）当时，求函数的单调区间；若对任意实数，当时，函数的最大值为，求的取值范围【答案】(1) 在上单调递增，在上单调递减(2) 【解析】试题分析：(1)将代入函数解析式，求出函数的导函数，令导函数等于零，求出其根；然后列出x的取值范围与的符号及的单调性情况表，从表就可得到函数的单调区间；（2）由题意首先求得 ，故应按分类讨论：当时，易知函数在上单调递增，在上单调递减，从而当 时 ，则不存在实数，符合题意；当时，令有x=0或，又要按根大于
26、零，小于零和等于零分类讨论；对各种情况求函数的最大值，使其最大值恰为，分别求得a的取值范围，然而将所得范围求并即得所求的范围；若求得的a的取值范围为空则不存在，否则存在试题解析：(1)当时，.(1分)列表如下：函数在上单调递增，在上单调递减；.(4分)(2) 由题意，（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时，不存在实数，使得当时，函数）的最大值为；.(6分)（2）当时，令有x=0或，当时，函数在上单调递增，显然符合题意；.(7分)当，即 时，函数在和上单调递增，在 上单调递减，此时由题，只需 此时实数a的取值范围是；.(9分)当 即 时，函数 在和上单调递增，在上单调递减，要存在实数，
27、使得当时，函数的最大值为，需 代入化简得，令恒成立，故恒有 ，时，恒成立；综上，实数a的取值范围是.(12分)考点：利用导数研究函数的性质【名师点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，着重考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，解答该题要求考生具有较强的逻辑思维能力，属难度较大的题目解决这类问题的方法要求学生数学根据所给函数满足有关条件结合有关导数知识分析函数的有关性质，特别是含有参数的题目往往需要分类讨论进行解决，有关最值问题需要根据单调性进行解决，设计知识点比较多综合性较强，所以平时一定要认真总结，丰富解题方法，灵活运用才能解决问题.15. 【西藏日喀
28、则地区一高2015学年第一学期10月检测21】函数，若曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）（1）若在上存在极值，求实数的取值范围；（2）求证：当时，【答案】（1）；（2）证明祥见解析【解析】试题分析：（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a=1，求导数，求单调区间和极值，令m1m+1，解不等式即可得到取值范围；（2）不等式即为，令，通过导数，求得，令，运用导数证得，原不等式即可得证（2）即为6分令则再令 则 在上是增函数 在上是增函数时， 故9分令则 即在上是增函数时，11分所以，即12分考点：1、利用导数研究函数的极值；2、利用导数研究曲线上某点切线方
29、程【方法点晴】本题考查导数的运用：求切线的斜率、单调区间和极值，同时考查构造函数求导数，判断单调性，运用单调性证明不等式，属于中档偏难题运用函数单调性证明不等式的关键在于构造恰当的函数，再利用导数判断其单调性，进而将不等式的证明转化为函数值大小的判断即可.16. 【黑龙江牡丹江市一中2016届高三10月月考21】（本小题满分12分）已知函数 （1）若恒成立，求实数k的值；（2）若方程有一根为，方程的根为，是否存在实数k，使若存在，求出所有满足条件的k值，若不存在说明理由。【答案】（1）；（2）k不存在。【解析】试题分析：（1）恒成立等价于即恒成立，也即。由不等关系求参数的值，常常利用两边夹（，
30、所以）求值.（2）是否存在性问题假设存在，然后利用，三者的关系消元得到k的方程进而求解。若方程无解，则不存在；若方程有解，则求出。试题解析：(1)令当时此时单调递减；当时此时函数单调递增。.令，则 当时，,此时函数单调递增；当时，,此时函数单调递减。.(2)由条件有， 若存在k,使,成立。将代入整理得令令则.显然当时，即此时函数单调递减;当时，即此时函数单调递增。所以单调递增， 而 ，所以。但当时，与已知矛盾。所以k不存在。考点：恒成立问题求参数值；存在性问题。【方法点睛】恒成立问题求参数范围的方法，一般是两种：方法一，将参数移到一边转化为恒成立，所以，该法的优点时不用讨论同时适合函数的最值比
31、较容易求。方法二，移项，使一边化为0，即，所以。此法常常分类讨论，应注意分类的标准要统一做到不重不漏。17. 【黑龙江哈尔滨市第六中学2016届高三上学期期中考试22】已知函数()当时，求函数的极值；()时，讨论的单调性；()若对任意的恒有成立，求实数的取值范围【答案】() 函数的极小值为，无极大值()见解析() 【解析】试题分析：() 当时，函数为求出定义域，求导，讨论单调性，即可得到极值;()求导，分，三种情况讨论的单调性() 由()知当时，函数在区间单调递减，则求出在此区间上的最值，得到，则问题转化为对任意的，恒有成立，接下来分离变量即可得到实数的取值范围试题解析：()函数的定义域为，令
32、，得；（舍去） 当变化时，的取值情况如下：0减极小值增所以，函数的极小值为，无极大值 () ，令，得， 当时，函数的在定义域单调递增； 当时，在区间，上，单调递减，在区间，上，单调递增； 当时，在区间，上，单调递减，在区间，上，单调递增 ()由()知当时，函数在区间单调递减；所以，当时， 问题等价于：对任意的，恒有成立， 亦即，所以 考点：利用导数研究函数的性质18. 【河北衡水中学2016届高三上学期三调22】已知函数（1）求函数的单调区间；（2）当时，求实数的取值范围.【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）【解析】试题分析：（1）函数 在某个区间内可导，则若 ，则在这个区间
33、内单调递增，若，则在这个区间内单调递减；（2）若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为（或）恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到.（3）利用导数方法证明不等式在区间上恒成立的基本方法是构造函数 ，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数 ，其中一个重要的技巧就是找到函数在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口，观察式子的特点，找到特点证明不等式.试题解析：（）由于，.当，即时，；当，即时，.的单调递增区间为，单调递减区间为. （）令，要使总成立，只需时.对求导得，令，则，()在上为增函数，.对分类讨论：当时，恒成立，在上为增函数，即恒成立；当时，
34、在上有实根，在上为增函数，当时，不符合题意；当时，恒成立，在上为减函数，则，不符合题意. 综合可得，所求的实数的取值范围是.考点：1、利用导数求函数的单调区间；2、恒成立的问题.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题利用导数求函数的极值的步骤：确定函数的定义域；对求导；求方程的所有实数根；列表格19【兰州一中2015-2016-1学期高三年级期中21】已知函数f(x) (e为自然对数的底数)(1)若a1，求函数f(x)的单调区间；(2)若a=1,函数(x)xf(x)t f (x)，存在实数x1，x2，使 2(x1)
35、(x2)成立，求实数t的取值范围【答案】(1) 当时, 的单调递减区间是;当时, 的单调递减区间是,单调递减区间是;当时, 的单调递减区间是,单调递减区间是.(2) 存在，使得命题成立.【解析】试题分析：(1)求导,导数大于0得增区间;导数小于0可得减区间.注意讨论的取值. (2) 假设存在，使得成立，则.求,令导数等于0,注意比较两根的大小,及根是否在区间内.讨论导数的正负,得函数的增减区间.根据函数的单调性求函数的最值. (2)假设存在，使得成立，则.，.当时，在上单调递减，即.当时，在上单调递增，即.当时，若，在上单调递减；若，在上单调递增，所以，即，(*), 由(1)知，在上单调递减，
36、 故，而，所以不等式(*)无解综上所述，存在，使得命题成立 -12分考点：用导数研究函数的性质.20. 【临川一中20152016年度第一学期高三期中考试22】已知二次函数对任意实数都满足，且令.(1)若函数在上的最小值为0，求的值；(2)记函数，若函数有5个不同的零点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）首先求得函数的解析式，从而求得，再得出，令，得到两个根，利用函数单调性得出函数的极值，进而求得的值；（2）据题意有有3个不同的实根，有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等，由有2个不同的实根，可得，而有3个不同的实根，需结合导数求解试题解析：设，则，所以，又，则
37、，所以.2分（1）令，得，（舍） 当时，在为减函数，在为增函数。所以当时，得当时，在上为增函数，得（舍）综上所述， .5分（2）记，则据题意有有3个不同的实根，有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等。（i）有2个不同的实根，则，得或(ii) 有3个不同的实根，因 令，得或当即时，在处取得极大值，而，不合题意。当即时，不合题意。当即时，在处取得极大值， ，得 综上，同时满足（i）(ii)的的取值范围是 .9分下面证明：这5个实根两两不相等。即证：不存在使得和同时成立。若存在使得， 由 即 得当时，不合题意； 当时，有，又 即 得， 而当时，没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等，
38、综上，当时，函数有5个不同的零点。 12分考点：1、导数的运算；2、函数的极值；3、利用导数导数研究函数的单调性；4、函数的零点21. 【辽宁省葫芦岛市一高2016届上学期期中考试22】 已知函数（其中是实数）.（）求的单调区间；（）若设，且有两个极值点，（），求的取值范围.（其中为自然对数的底数，）.【答案】（）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时， 的单调递增区间为和，单调递减区间为；（）的取值范围为.【解析】试题分析：（）求函数的单调区间，首先确定函数的定义域，然后对其进行求导，要讨论导函数大于0或小于0，需要对二次函数有根和无根进行讨论即（1）；（2），并分别求出其对应的单调区
39、间；（）由（）知，若有两个极值点，则函数在区间.内单调递减即，且可得，又由（）知，即，由已知可求出，再由，于是构造函数，并利用导数讨论其单调性，进而求出所求的取值范围即可.试题解析：（）的定义域为，令，对称轴，（1）当，即时，于是，函数的单调递增区间为，无单调递减区间.（）由（）知，若有两个极值点，则，且，又，又，解得，于是，令，则恒成立，在上单调递减，即，故的取值范围为.考点：1、导数在研究函数的单调性与最值中的应用；2、导数在研究不等式中的应用.22. 【山东师范大学附属中学2016届高三上学期第二次模拟考试19】设函数（1）讨论的单调性；（2）当时，函数的图像有三个不同的交点，求实数m的
40、范围.【答案】（1）详见解析；（2）.试题解析：（1）-2分，在上递减；-4分，在上递减；在上递增，在上递减-6分，在上递减；在上递增，在上递减-7分（2），函数 的图像有三个不同的交点，等价于有三个不同的根设-8分，函数-10分当时方程有三个不同的根-12分考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值.【方法点睛】1、函数单调性的判断：函数在某个区间内可导，如果，那么在这个区间内单调递增；如果，那么在这个区间内单调递减.2.函数的最大值和最小值：设函数是定义在区间上的函数，在区间内有导数，求在上的最大值与最小值，可分两步进行：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各
41、极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.23. 【江苏省泰州中学2016届上学期高三第二次月考19】设（1） 若函数在上为单调函数，求实数的取值范围；（2） 设证明：函数有3个零点；若存在实数，当时函数的值域为，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）证明略；【解析】试题分析：（1）先判定函数的定义域，再讨论与的解析式，再利用导数研究其单调性和分段函数进而求解；（2）将的根的个数化为的根的个数，再构造函数，利用二次函数进行证明；先判定函数的一个极大值，再通过讨论极大值与端点值对应的函数值的大小进行求解（2）即证明方程有三个不同的根可化为或，上式可化为，设，又，对称轴
42、，且，故有两个不同的正根；即函数有3个零点10分令，则；则当时，当时，所以的一个极大值点为，则当时，由题意，得（i）当时，则有，即，即，即，即，即，解得，所以，又，综上，得；13分（ii）当时，则有，同上，得；综上所述，符合题意的实数的取值范围是16分考点：1.函数的单调性与导数；2.函数的零点；3.函数的极值与最值【方法点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等，属于难题.求函数在某区间上的最值问题，往往先利用导数研究函数在该区间上的单调性，得到函数的极值，再比较极值与该区间的端点对应的函数值的大小，进而确定其最值，可能要用到分类讨论思想，计算量往往比较大.24. 【江苏省泰州中学
43、2016届上学期高三第二次月考20】已知为实数，函数（4） 当时，求在处的切线方程；（5） 定义：若函数的图象上存在两点、，设线段的中点为，若在点处的切线与直线平行或重合，则函数是“中值平衡函数”，切线叫做函数的“中值平衡切线”试判断函数是否是“中值平衡函数”？若是，判断函数的“中值平衡切线”的条数；若不是，说明理由；（6） 设，若存在，使得成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）当时，函数是“中值平衡函数”，且函数的“中值平衡切线”有无数条；当时，不是“中值平衡函数”；（3）【解析】试题分析：（1）求导，利用导数的几何意义求切线方程；（2）先利用“中值平衡函数”的定义将其化为能否成立，再
44、讨论与，构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而判定函数是否是“中值平衡函数”，是否存在“中值平衡切线”；（3）将化为，构造函数，求导，通过研究导数的符号得到函数的单调性进而求最值，得到参数的范围当时，（）对任意的都成立，所以函数是“中值平衡函数”，且函数的“中值平衡切线”有无数条；当时，有，设，则方程在区间上有解，记函数，则，所以函数在区间递增，所以当时，即方程在区间上无解，即函数不是“中值平衡函数”；综上所述，当时，函数是“中值平衡函数”，且函数的“中值平衡切线”有无数条；当时，不是“中值平衡函数”；10分（4） 由，得，记，所以当时，递减，当时，递增；所以，记，时，递减；时，递增；，故实
45、数的取值范围为16分考点：1.导数的几何意义；2.新定义型题目；导数与函数的单调性、最值25. 【长春外国语学校2016届上学期高三第一次质量检测22】（本小题满分12分）已知函数.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）函数是否存在零点？若存在，求出零点的个数；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）函数的定义域为当时，所以即在区间上没有零点当时，令 只要讨论的零点即可，当时，是减函数；当时，是增函数所以在区间最小值为 显然，当时，所以是的唯一的零点；当时，所以没有零点；当时，所以有两个零点.试题解析：（1）， 当时，又则在处的切线方程为.（2）函数的定义域为当时，所以即在区间上没有零点当时，令 只要讨论的零点即可，当时，是减函数；当时，是增函数所以在区间最小值为 显然，当时，所以是的唯一的零点；当时，所以没有零点；当时，所以有两个零点考点：1、导数的几何意义；2、导数在研究函数的单调性与极值中的应用.
