1、第3课时直线与直线的位置关系一、 填空题1. 过点(1，0)且与直线x2y20平行的直线方程是_答案：x2y10解析：与直线x2y20平行的直线方程可设为x2yc0，将点(1，0)代入x2yc0，解得c1，故直线方程为x2y10.2. 已知直线l1：axy10，直线l2：xy30.若l1l2，则a_答案：1解析：若l1l2，则a11(1)0，故a1.3. 已知点P(4，a)到直线4x3y10的距离不大于3，则a的取值范围是_答案：0，10解析：若由题意知，点到直线的距离为.又3，即|153a|15，解得0a10，所以a0，104. 已知点A(1，2)，B(m，2)若线段AB的垂直平分线的方程是
2、x2y20，则实数m的值是_答案：3解析： 点A(1，2)和B(m，2)的中点C在直线x2y20上， 20， m3.5. 一束光线从点A(2，3)射入，经x轴上点P反射后，通过点B(5，7)，则点P的坐标为_答案：解析：(解法1)由光的反射原理，知kAPkBP.设P(x，0)，则，解得x，即P.(解法2)设p(x，0)，由题意，知x轴是镜面，入射点A(2，3)关于x轴的对称点为A1(2，3)，则点A1应在反射光线所在的直线上，即A1，P，B三点共线，即kA1PkPB，解得x，即P.6. 已知定点A(1，0)，点B在直线xy0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是_答案：解析：因为定点A(1，0
3、)，点B在直线xy0上运动，所以当线段AB最短时，直线AB和直线xy0垂直，直线AB的方程为yx10，与xy0联立解得x，y，所以B的坐标是.7. 若直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2恒过定点_答案：(0，2)解析：由于直线l1：yk(x4)恒过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)又由于直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2，1)对称，故直线l2恒过定点(0，2)8. 若动点A，B分别在直线l1：xy70和l2：xy50上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为_答案：3解析：依题意知，AB的中点M的集合为与直线l1：xy70和l2：xy5
4、0距离都相等的直线，则点M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离设点M所在直线的方程为l：xym0，根据平行线间的距离公式，得，即|m7|m5|，解得m6，所以直线l的方程为xy60.根据点到直线的距离公式，得点M到原点的距离的最小值为3.9. 已知ABC的两个顶点A(1，5)和B(0，1)若C的平分线所在直线的方程为2x3y60，则BC边所在直线的方程为_答案：12x31y310解析：设A点关于直线2x3y60的对称点为A(x1，y1)，则 解得即A. 角平分线是角的两边的对称轴， A点在直线BC上 直线BC的方程为yx1，整理得12x31y310.10. 直线2xy40上有一点P，它与两
5、定点A(4，1)，B(3，4)的距离之差最大，则P点的坐标是_答案：(5，6)解析：易知A(4，1)，B(3，4)在直线l：2xy40的两侧作A关于直线l的对称点A1(0，1)，当A1，B，P共线时距离之差最大二、 解答题11. 已知点A(3，3)，B(5，2)到直线l的距离相等，且直线l经过两直线l1：3xy10和l2：xy30的交点，求直线l的方程解：设直线l1，l2交点为P，解方程组得交点P(1，2) 若点A，B在直线l的同侧，则lAB.而kAB，由点斜式得直线l的方程为y2(x1)，即x2y50. 若点A，B在直线l的异侧，则直线l经过线段AB的中点，由两点式得直线l的方程为，即x6y
6、110.综上所述，直线l的方程为x2y50或x6y110.12. 已知直线l：3xy30，求：(1) 点P(4，5)关于l的对称点；(2) 直线xy20关于直线l对称的直线方程解：设P(x，y)关于直线l：3xy30的对称点为P(x，y) kPPkl1，即31.又PP的中点在直线3xy30上， 330.由得(1) 把x4，y5代入得x2，y7， P(4，5)关于直线l的对称点P的坐标为(2，7)(2) 用分别代换xy20中的x，y，得关于l的对称直线方程为20，化简得7xy220.13. 已知三条直线l1：axya0，l2：xaya(a1)0，l3：(a1)xya10，a0.(1) 求证：这三
7、条直线共有三个不同的交点；(2) 求这三条直线围成的三角形的面积的最大值假设直线l1与l2交于点A，直线l1与l3交于点B，直线l2与l3交于点C.(1) 证明：(证法1)由解得所以直线l1与l2相交于点A.由解得所以直线l1与l3相交于点B(1，0)由解得所以直线l2与l3相交于点C(0，a1)因为a0，所以1，且0，所以A，B，C三点不同，即这三条直线共有三个不同的交点(证法2) 设三条直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1a，k2，k3a1.由k1k21得l1l2，所以直线l1与直线l2相交由k1k3，得直线l1与直线l3相交由a(a1)10知k2k3，所以直线l2与直线l3相交所以直线l1，l2，l3任何两条均不平行 由得所以直线l1与l3相交于点B(1，0)又1a(a1)0，所以直线l2不过点(1，0)，所以直线l1，l2，l3不可能交于同一点综上，这三条直线共有三个不同的交点(2) 解：(解法1)由k1k2a1得l1l2，所以BAC90.由两点间距离公式及(1)，得AB，AC，所以SABCABAC，当且仅当a1时取等号所以这三条直线围成的三角形的面积的最大值为.(解法2)由k1k2a1得l1l2，所以BAC90.点B到直线l2的距离d1，点C到直线l1的距离d2，所以SABCd1d2，以下同解法1.