1、课时分层训练抓基础自主学习明考向题型突破第六章 不等式、推理与证明 第五节 直接证明与间接证明 考纲传真 1.了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点.2.了解反证法的思考过程和特点1直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的_，最后推导出所要证明的结论_从要_出发，逐步寻求使它成立的_，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件推理论证成立证明的结论充分条件思维过程由因导果执果索因框图表示PQ1 Q1Q2 QnQQP1 P1P2 得到一个明显成立的条件书写格式 因为，所以或由，得 要证，只需证，即证2.间
2、接证明反证法：一般地，假设原命题_，经过正确的推理，最后得出_，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法不成立矛盾1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(3)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾()(4)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程()答案(1)(2)(3)(4)2要证明 3 72 5，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A综合法 B分析法C反证法D归纳法B 要证明
3、 3 7b，则ba与bxax的大小关系是_bxaxba bxaxbaxabaxa0，bxaxba.5(教材改编)在ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且A，B，C 成等差数列，a，b，c 成等比数列，则ABC 的形状为_三角形等边 由题意 2BAC，又 ABC，B3，又 b2ac，由余弦定理得 b2a2c22accos Ba2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，AC，ABC3，ABC 为等边三角形综合法 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别为 D1C1，C1B1 的中点，ACBDP，A1C1EFQ.求证：(1)D，B，F，E 四点共面；
4、(2)若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点，则 P，Q，R 三点共线证明(1)如图所示，因为 EF 是D1B1C1 的中位线，所以 EFB1D1.2 分在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，B1D1BD，所以 EFBD，4 分所以 EF，BD 确定一个平面，即 D，B，F，E 四点共面.5 分(2)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，设平面 A1ACC1 确定的平面为，又设平面 BDEF 为.因为 QA1C1，所以 Q.又 QEF，所以 Q，则 Q 是 与 的公共点.8 分同理，P 点也是 与 的公共点.9 分所以 PQ.又 A1CR，所以 RA1C，则 R 且 R，则 RPQ，
5、故 P，Q，R 三点共线.12 分规律方法 综合法是“由因导果”的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，常与分析法结合使用，用分析法探路，综合法书写，但要注意有关定理、性质、结论题设条件的正确运用变式训练 1 已知函数 f(x)ln(1x)，g(x)abx12x213x3，函数 yf(x)与函数 yg(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线(1)求 a，b 的值；(2)证明：f(x)g(x)解(1)f(x)11x，g(x)bxx2，2 分由题意得g0f0，f0g0，解得 a0，b1.5 分(2)证明：令 h(x)f(x)g(x)ln(x1)13x312x2x(x1)h(x)1x1x2x
6、1x3x1.8 分所以 h(x)在(1,0)上为增函数，在(0，)上为减函数h(x)maxh(0)0，h(x)h(0)0，即 f(x)g(x).12 分分析法 已知 a0，求证：a2 1a2 2a1a2.【导学号：31222227】证明 要证a2 1a2 2a1a2，只需要证a2 1a22a1a 2.2 分因为 a0，故只需要证a2 1a22 2a1a 2 2，即 a2 1a24a2 1a24a22 1a22 2a1a 2，8 分从而只需要证 2a2 1a2 2a1a，只需要证 4a2 1a2 2a22 1a2，即 a2 1a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立.12 分规律方法 1.当
7、已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法2分析法的特点和思路是“执果索因”，逐步寻找结论成立的充分条件，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，通常采用“欲证只需证已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性变式训练 2 已知ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，A，B，C 的对边分别为 a，b，c.求证：1ab 1bc3abc.证明 要证 1ab 1bc3abc，即证abcab abcbc 3，也就是 cab abc1，3 分只
8、需证 c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证 c2a2acb2，5 分又ABC 三内角 A，B，C 成等差数列，故 B60，由余弦定理，得b2c2a22accos 60，10 分即 b2c2a2ac，故 c2a2acb2 成立于是原等式成立.12 分反证法 设an是公比为 q 的等比数列(1)推导an的前 n 项和公式；(2)设 q1，证明数列an1不是等比数列【导学号：31222228】解(1)设an的前 n 项和为 Sn，当 q1 时，Sna1a1a1na1；当 q1 时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sna11qn1q，
9、Snna1，q1，a11qn1q，q1.5 分(2)证明：假设an1是等比数列，则对任意的 kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2k12ak11akak2akak21，a21q2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1.8 分a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾假设不成立，故an1不是等比数列.12 分规律方法 用反证法证明问题的步骤：(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾，矛盾可以是与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛
10、盾)(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立(命题成立)变式训练 3 已知 a1，求证三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0 中至少有一个方程有实根证明 假设三个方程都没有实数根，则4a244a30，a124a20，2a242a032a13或a1，2a0，6 分32a1.10 分这与已知 a1 矛盾，所以假设不成立，故原结论成立.12 分思想与方法1综合法与分析法的关系：分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明；或两种方法交叉使用2反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立反证法证明的关键：准确反设；从否定的结论正确推理；得出矛盾易错与防范1用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即要证”“就要证”等分析到一个明显成立的结论 P，再说明所要证明的数学问题成立2利用反证法证明数学问题时，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的课时分层训练（三十六）点击图标进入
