1、2.2.2.1椭圆的简单几何性质自主预习探新知情景引入“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现，你知道椭圆有什么样的性质吗？新知导学1椭圆的几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质焦点_F1(c,0)，F2(c,0)_F1(0，c)，F2(0，c)_焦距|F1F2|2c(c)|F1F2|2c(c)范围_|x|a，|y|b_|x|b，|y|a_对称性关于_x轴、y轴和原点_对称顶点_(a,0)，(0，b)_(0，a)，(b,0)_轴长轴长_2a_，短轴长_2b_离心率e_(0e1)2离心率对椭圆扁圆程度的影响如图所示，在RtBF2O中，cosBF2O，记e则0eb0)
2、，椭圆方程1.4(2019北京理，4)已知椭圆1(ab0)的离心率为，则(B)Aa22b2B3a24b2Ca2bD3a4b解析因为椭圆的离心率e，所以a24c2.又a2b2c2，所以3a24b2.故选B5若焦点在y轴上的椭圆1的离心率为，则m的值为_.解析焦点在y轴上，0mb0)如图所示，A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，cb4，a2b2c232，故所求椭圆的方程为1.规律总结1.已知椭圆的几何性质，求其标准方程主要采用待定系数法，解题步骤为：(1)确定焦点所在的位置，以确定椭圆标准方程的形式；(2)确立关于a、b、c的方程(组)，求出
3、参数a、b、c；(3)写出标准方程2注意事项：当椭圆的焦点位置不确定时，通常要分类讨论，分别设出标准方程求解，可确定类型的量有焦点、顶点；而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距跟踪练习2_已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为(C)A1或1B1C1或1D1或1解析由条件知a6，e，c2，b2a2c232，故选C命题方向椭圆的离心率典例3设F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上任意一点M都满足F1MF2为锐角，则椭圆离心率的取值范围是(B)A(0，B(0，)C(0,1)D，1)思路分析由题设条件可知，当点P位于(0，b)或(0，b)处时，F1PF2最大，此时cos
4、F1PF20，ac，由此能够推导出该椭圆的离心率的取值范围规范解答由题可知，当点P位于(0，b)或(0，b)处时，F1PF2最大，此时cosF1PF20，ac.e.又0e1，0e0，y00，则1，得y(502x)根据矩形ABCD的对称性，可知它的面积S4x0y0.由于xyx(502x)()2(x)2，因此当x时，xy取得最大值，此时S也取得最大值这时x025，y015.矩形ABCD的周长为4(x0y0)4(2515)160(m)因此，在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且短轴相距25 m的直线，这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形区域的顶点；这个矩形区域的周长为160 m.规律总结(1)
5、解决与椭圆相关的应用题的基本策略：通过求解椭圆的方程来研究它们的性质；应用椭圆的定义、方程及性质把有关几何知识转化为数量关系，再结合代数知识来求解(2)利用椭圆解决实际问题的基本步骤：建立适当的坐标系；求出椭圆的标准方程(待定系数法)；根据椭圆的方程及性质解决实际问题跟踪练习4_某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为焦点的椭圆，近地点A距地面m km，远地点B距离地面n km，地球半径为k km，则飞船运行轨道的短轴长为(A)A2BCmnD2mn解析由题意可得acmk，acnk，故(ac)(ac)(mk)(nk)即a2c2b2(mk)(nk)，所以b，所以椭圆的短轴长为2，故选A学科核心素养 椭圆
6、中的最值问题典例5设P为椭圆1(ab0)上任意一点，F1为它的一个焦点，求|PF1|的最大值和最小值规范解答设F2为椭圆的另一焦点，则由椭圆定义得：|PF1|PF2|2a，|PF1|PF2|2c，2c|PF1|PF2|2c，2a2c2|PF1|2a2c，即ac|PF1|ac，|PF1|的最大值为ac，最小值为ac. 规律总结椭圆几何性质的拓展(1)设椭圆1(ab0)上的任意一点P(x，y)，则当x0时，|PO|有最小值，这时P在短轴端点处；当xa时，|PO|有最大值，这时P在长轴端点处(2)椭圆上任意一点P(x，y)(y0)与两焦点F1(c,0)，F2(c,0)构成的PF1F2称为焦点三角形，
7、其周长为2(ac)(3)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成一个直角三角形，其三边长满足等式a2b2c2.(4)椭圆上到某一焦点的最远点与最近点分别是长轴的两个端点跟踪练习5_已知椭圆的焦点F1、F2在x轴上，它与y轴的一个交点为P，且PF1F2为正三角形，且焦点到椭圆上的点的最短距离为，则椭圆的方程为_1_.解析椭圆的焦点在x轴上，则设方程为1(ab0)，两焦点F1(c,0)、F2(c,0)、P(0，b)不妨设x轴与椭圆的一个交点为A(a,0)，c，由PF1F2为正三角形可知：|PF1|PF2|F1F2|，a2c又焦点到椭圆上的点的最短距离为ac，于是ac由可得：a2，c，从而b2a2c29.所求椭圆方程为1.易混易错警示 典例6已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率e，且过点P(2,3)，求此椭圆的标准方程错解设椭圆的标准方程为1(ab0)，由题意知，解得b210，a240.所以所求椭圆的标准方程为1.辨析上述解法没有讨论焦点的位置，而默认了椭圆的焦点在x轴上正解当焦点在x轴上时，解法同上，所求椭圆的标准方程为1.当焦点在y轴上时，设椭圆方程为1(ab0)，由题意，得，解得b2，a225.故所求椭圆的标准方程为1.综上，所求椭圆的标准方程为1或1.