1、山东省泰安市新泰市新泰中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、单项选择题：只有一个选项是符合题目要求的1. 已知两个非零向量，则这两个向量在一条直线上的充要条件是（ ）A. B. C. D. 存在非零实数，使【答案】D【解析】【分析】分析各选项中、的位置关系，由此可得出合适的选项.【详解】若非零向量，在同一条直线上，则、共线.对于A选项，且是与同向的单位向量，是与同向的单位向量，所以，、同向，所以，是、在一条直线上的充分不必要条件；对于B选项，取，则，但、不共线；对于C选项，若，则，可知；对于D选项，“存在非零实数，使”“”.故选：D.2. 已知、两点，则直线与空间直角坐
2、标系中的平面的交点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设直线与平面的交点为，利用、三点共线得向量共线，由此可求出答案【详解】解：设直线与平面的交点为，（方法一）、三点共线，则，、，则，解得，则，（方法二）、三点共线，则，则，则，解得，则，故选：B3. 设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用空间向量的基本定理可计算得出，由已知条件可得出，进而可求得、的值，由此可求得结果.【详解】如下图所示，连接并延长交于点，则点为的中点，为的重心，可得，而，所以，所以，因此，.故选：C.【点睛】方法点睛：对于空间向量的
3、基底分解的问题，一般需要利用向量的加减法法则进行处理，也可以借助一些相应的结论对运算进行简化.4. 已知直线：，点，若直线与线段相交，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意得直线恒过点，进而得直线的斜率的取值范围为：或，再根据，解不等式即可得答案.【详解】直线方程变形得：.由得，直线恒过点，由图可知直线的斜率的取值范围为：或，又，或，即或，又时直线的方程为，仍与线段相交，的取值范围为.故选：C.【点睛】本题解题的关键在于根据直线系方程得直线恒过点.考查数形结合思想，运算求解能力，是中档题.5. 已知圆C与直线及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为（ ）A
4、. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】可用排除法快速选出答案，先由圆心特点快速排除C，D，再结合圆心到两切线距离相等排除A，最终选择出B项【详解】圆心在上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心到两直线的距离是；圆心到直线的距离是故A错误故选：B【点睛】本题考查圆的标准方程的判断，对于处理小题，采用排除法也不失为一种选择，属于中档题6. 若圆上有且仅有两个点到原点的距离为，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意可得已知圆与圆相交，由圆心距和两圆半径之间的关系，列式即可得解.【详解】由题意可得：已知圆与圆相交，解得且，故选：B
5、.7. 已知椭圆的左焦点，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】过点倾斜角为的直线方程为：，即，则圆心到直线的距离：，由弦长公式可得：，整理可得：则：.本题选择B选项.点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a，c，代入公式；只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2a2c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)8. 已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线交双曲线右支
6、于、两点，若是等腰三角形，且则的周长为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用双曲线的定义以及三角形结合正弦定理，转化求解三角形的周长即可.【详解】双曲线的焦点在轴上，则；设，由双曲线的定义可知：，由题意可得：，据此可得：，又 ，由正弦定理有:,即所以，解得：，所以的周长为：=故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9. 下列命题中正确的是（ ）A. 若、是空间任意四点，则有B. 若，则、的长度相等而方向相同或相反C. 是非零向量、共线充分条件D. 对空间任意一点与不共线的三点、，若，则
7、、四点共面【答案】C【解析】【分析】利用向量加法的三角形法则可判断A选项的正误；利用向量的定义可判断B选项的正误；在等式两边平方，求出的值，可判断C选项的正误；利用空间向量的基本定理可判断D选项的正误.【详解】A选项，而不是，故A错；B选项，仅表示与的模相等，与方向无关，故B错；C选项，在等式两边平方得，即，、为非零向量，则，即与方向相反，故C对；D选项，空间任意一个向量都可以用不共面的三个向量、表示，、四点不一定共面，故D错.故选：C.10. 已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ）A. y=x+1B. y=
8、2C. D. y=2x+1【答案】BC【解析】【分析】根据切割型直线的定义，由点M(5，0)到直线距离不大于4求解.【详解】A. 点M(5，0)到直线 y=x+1的距离为：，故错误；B. 点M(5，0)到直线y=2的距离为：，故正确；C. 点M(5，0)到直线的距离为：，故正确；D. 点M(5，0)到直线y=2x+1的距离为：，故错误；故选：BC【点睛】本题主要考查点到直线的距离以及存在问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.11. 定义空间两个向量的一种运算，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ）A. B. C. D. 若，则【答案】BD【解析】【分析】对于A,B,只需根据定义
9、列出左边和右边的式子即可,对于C,当时, ,显然不会恒成立. 对于D,根据数量积求出,再由平方关系求出的值,代入定义进行化简验证即可.【详解】解：对于A：，故不会恒成立；对于B，故恒成立；对于C，若，且，显然不会恒成立；对于D，即有则恒成立.故选：BD.【点睛】本题考查向量的新定义，理解运算法则正确计算是解题的关键，属于较难题.12. 已知P是椭圆C：上的动点，Q是圆D：上的动点，则（ ）A. C的焦距为B. C的离心率为C. 圆D在C的内部D. 的最小值为【答案】BC【解析】【分析】结合椭圆表达式求出，判断焦距与离心率；利用两点间距离公式判断点到圆心距离大小即可判断椭圆与圆的位置关系，同时也
10、可求解最小值【详解】由可知，则焦距，离心率；设，圆心，半径为，则，故圆D在C的内部；当取最小值时，的最小值为，综上所述，选项BC正确，故选：BC【点睛】本题考查椭圆基本量的求解，两点间距离公式的应用，动点与圆的距离最值的求解，属于中档题三、填空题：13. 已知入射光线经过点，被直线：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为_【答案】【解析】试题分析：关于直线：的对称点为，所以反射光线所在直线的方程是直线的方程: 考点：反射直线14. 已知过点的直线与轴，轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，当的面积最小时，直线的方程为_【答案】【解析】【分析】由题意可知，直线的斜率存在且不为零，可设直
11、线的方程为，求出点、的坐标，结合已知条件可求得的取值范围，并求出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求得面积的最小值及其对应的值 ，由此可求得直线的方程.【详解】由题意可知，直线的斜率存在且不为零，可设直线的方程为，即.在直线的方程中，令，可得；令，可得.即点、，由题意可得，解得，的面积为，当且仅当时，即当时，等号成立，所以，直线的方程为，即.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）将三角形的面积利用加以表示；（2）在求解最值时，可充分利用基本不等式、导数、函数的单调性等知识来求解.15. 如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，BADBAA1120，DAA160，
12、则线段AC1的长度是_【答案】【解析】【分析】利用，即可求解【详解】，故答案为：【点睛】本题考查了空间向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平16. 如图所示，在正四棱柱中，动点、分别在线段、上，则线段长度的最小值是_【答案】【解析】【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出异面直线、的公垂线的长度，即为所求.【详解】由题意可知，线段长度的最小值为异面直线、的公垂线的长度.如下图所示，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，则点、，所以，设向量满足，由题意可得，解得，取，则，可得，因此，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解本题的
13、关键在于将长度的最小值转化为异面直线、的距离，实际上就是求出两条异面直线的公垂线的长度，利用空间向量法求出两条异面直线间的距离，首先要求出两条异面直线公垂线的一个方向向量的坐标，再利用距离公式求解即可.四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知圆和(1)求证：圆和圆相交；(2)求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)本题可先通过圆和圆的方程得出它们的圆心和半径长，再通过用圆心距和两圆的半径之和以及两圆的半径之差作对比，即可得出结果；(2)可先通过两圆方程相减得出公共弦所在直线的方程，再通过圆心到公共弦的距离以及半径利用勾股定
14、理得出结果【详解】(1)圆的圆心，半径，圆的圆心，半径两圆圆心距 所以，圆和相交；(2)圆和圆的方程相减，得，所以两圆的公共弦所在直线的方程为，圆心到直线的距离为：故公共弦长为【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系及其判定、两圆的公共弦所在直线的方程的求法以及公共弦长，属中档题圆和圆的位置关系有：相交，相离，相切几种关系，通过判断圆心的距离和半径的和与差的关系即可18. 已知直线.（1）若直线过点，且，求直线的方程；（2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程.【答案】（1） （2）或.【解析】【分析】（1）根据两直线垂直，斜率之积为，可求得直线的斜率，再由直线的点斜式方程，即可写出直线方
15、程；（2）先根据两直线平行，斜率相等，设出直线的方程为，再根据两平行直线的距离公式即可求出【详解】（1）因为直线的方程为，所以直线的斜率为.因为，所以直线的斜率为.因为直线过点，所以直线的方程为，即.（2）因为直线与直线之间的距离为，所以可设直线的方程为，所以，解得或.故直线的方程为或.【点睛】本题主要考查直线方程的求法，涉及两直线垂直，平行关系的应用，以及平行直线的距离公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题19. 如图，在长方体中，点在线段上（1）求异面直线与所成角；（2）若二面角大小为，求点到平面的距离【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）以点为坐标原点，分别以、为轴、轴
16、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成的角；（2）利用空间向量法结合二面角为计算出的值，可求得点的坐标，进而利用空间向量法可求得点到平面的距离.【详解】分别以、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，（1）由，得，设，又，则，则异面直线与所成的角为；（2）平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，设点，其中，则，由，令，则，解得，所以，平面的一个法向量为，又，所以，点到平面的距离【点睛】利用向量夹角转化为各空间角时，一定要注意向量夹角与各空间角的定义、范围不同求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量、的夹角是相等，还是互
17、补，这是利用向量求二面角的难点、易错点.20. 已知：椭圆，求：（1）以为中点的弦所在直线的方程；（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设弦的端点，可得：，相减化简再利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出；（2）设直线方程为：，弦的端点坐标及中点，与椭圆方程联立化为：，由，化为：，再利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出.【详解】（1）设弦的端点，可得：， ，相减可得：，把， 代入可得： 以为中点的弦所在直线的方程为：，化为： （2）设直线方程为：，弦的端点， ，中点联立，化为 ，化为： ，化为： 得，【点睛】关键点点睛：（1）涉及直线与圆锥曲线相
18、交中点弦问题时，利用点差法；（2）由直线与椭圆的位置关系得出的范围.21. 已知椭圆的离心率为，且椭圆的右顶点到直线的距离为3（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值为坐标原点）【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）由离心率的值及右顶点到直线的距离为3和，之间的关系求出，的值，进而求出椭圆的方程；（2）设直线的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出面积的表达式，换元，由均值不等式的可得面积的最大值【详解】（1）由椭圆的方程可得右顶点，所以右顶点到直线的距离为，可得：，由离心率，可得，所以，所以椭圆的方程为：；（2）由题意显然直线的斜率不为0，设直线
19、的方程为：，设，联立直线与椭圆的方程可得：，整理可得：，所以，设，取等号时，即斜率不存在，这时，当，则，所以令，则恒成立，所以在单调递增，无最小值，也无最大值，所以无最大值，综上所述当且仅当，即时，所以面积的最大值为2【点睛】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合及均值不等式的应用，考查了利用韦达定理搭桥建立各个变量之间的关系，从而求得圆锥曲线的最值问题，计算量相对较大，属于较难题.22. 如图，梯形中，过分别作，垂足分别，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体 ，如图1若，证明：平面；2若，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长【答案】（1）证明见解析；（2） .【解析】【分析】1
20、由正方形的性质推导出，结合，可得平面，由此，再由，能证明平面；2过作交于点，以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，可得，利用向量垂直数量积为零求出平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式能求出结果【详解】1由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在图2中，由已知得，平面又平面BDE，又，平面2在图2中，即面DEFC，在梯形DEFC中，过点D作交CF于点M，连接CE，由题意得，由勾股定理可得，则，过E作交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直，以E为坐标原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，设平面ACD的一个法向量为，由得,取得，设，则m，得设CP与平面ACD所成的角为，所以【点睛】本题主要考查线面垂直的证明，以及空间向量的应用，是中档题空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.