1、第二章学业质量标准检测时间120分钟，满分150分一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1命题“所有有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(C)A使用了归纳推理B使用了类比推理C使用了“三段论”，但大前提错误D使用了“三段论”，但小前提错误解析大前提是错误的，故选C2用三段论进行如下推理：“对数函数ylogax(a0，且a1)是增函数，因为yx是对数函数，所以yx是增函数”你认为这个推理(A)A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D是正确的解析对于对数函数ylogax(a0，且a
2、1)，当0a1时，函数为增函数，所以上述推理中，大前提是错误的，故选A3用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为(C)A6n2B8n2C6n2D8n2解析归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为an6n2.4猜想数列，的通项公式是(D)AanBan(1)nCan(1)n1Dan(1)n1解析偶数项是负的，奇数项是正的，分母是相邻两个奇数的积，并且首项是，选D5若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：(ab)2(b
3、c)2(ca)20；ab与a0)的面积为Sr2，由此类比椭圆1(ab0)的面积最有可能是(C)Aa2Bb2CabD(ab)2解析圆的方程可以看作是椭圆方程1(ab0)中，ab时的情形，S圆r2，类比出椭圆的面积为Sab.7甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则(D)A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩解析由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1
4、个良好”乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩故选D8某市为了缓解交通压力实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行某公司有A，B，C，D，E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是(B)A今天是周六B今天是周四CA车周三限行DC车周五限行解析因为每天
5、至少有四辆车可以上路行驶，E车明天可以上路，E车周四限行，所以今天不是周三；因为B车昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因为A，C两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四，故选B9将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为(A)135791113151719212325272931A809B853C785D893解析前20行共有正奇数13539202400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是24051809.10下列函数f(x)中，满足“对任意x1、x2(0，)，当x1f(x2)”的是(A)Af(x)Bf(x)(x
6、1)2Cf(x)exDf(x)ln(x1)解析若满足题目中的条件，则f(x)在(0，)上为减函数，在A、B、C、D四选项中，由函数基本性质知，A是减函数，故选A11已知函数f(x)lg，若f(a)b，则f(a)等于(B)AbBbCD解析f(x)定义域为(1,1)，f(a)lglg()1lgf(a)b.12已知f(x)x3x，a、b、cR，且ab0，ac0，bc0，则f(a)f(b)f(c)的值(A)A一定大于零B一定等于零C一定小于零D正负都有可能解析f(x)x3x是奇函数，且在R上是增函数，由ab0得ab，所以f(a)f(b)，即f(a)f(b)0，同理f(a)f(c)0，f(b)f(c)0
7、，所以f(a)f(b)f(c)0.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13甲、乙、丙、丁四人分别从一个装有编号为1,2,3,4的四个完全相同的小球的袋中依次取出一个小球现知道：甲取出的小球编号为偶数；乙取出的小球编号比甲大；乙、丙取出的小球编号差的绝对值比甲大则丁取出的小球编号是_3_.解析由可知，甲取出的小球编号为2，乙取出的小球编号可能是3或4.又|14|32，|13|2，所以由可知，乙取出的小球编号是4，丙取出的小球编号是1，故丁取出的小球编号是3.故答案为3.14设函数f(x)(x0)，观察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(
8、x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根据以上事实，由归纳推理可得：当nN*且n2时，fn(x)f(fn1(x)_.解析由已知可归纳如下：f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)，fn(x).15由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“abba”；“(mn)tmtnt”类比得到“(ab)cacbc”；“t0，mtntmn”类比得到“c0，acbcab”；“|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|”；“(mn)tm(nt)”类比得到“(ab)ca(bc)”；“”类比得到“”以上类比得到的结论正确的是_.解析都正确；错误，因为向量不能相除；可由数量
9、积定义判断，所以错误；向量中结合律不成立，所以错误16观察下列等式：11131123132391236132333361234101323334310012345151323334353225可以推测：132333n3_.(nN*，用含有n的代数式表示)解析由条件可知：1312,1323932(12)2,1323333662(123)2，不难得出132333n3(123n)22.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本题满分10分)已知a、b、cR，求证：.解析分析法：要证，只需证：()2，只需证：3(a2b2c2)a2b2c22ab2bc2ca
10、，只需证：2(a2b2c2)2ab2bc2ca，只需证：(ab)2(bc)2(ca)20，而这是显然成立的，所以成立综合法：a、b、cR，(ab)2(bc)2(ca)20，2(a2b2c2)2(abbcac)，3(a2b2c2)a2b2c22ab2bc2ac，3(a2b2c2)(abc)2，.18(本题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)(1)求证：tan(x)；(2)设xR，a为非零常数，且f(xa)，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论解析(1)证明：根据两角和的正切公式得tan(x)，即tan(x)，命题得证(2)猜想f(x)是以4a为周期的周期函数因为f(x2a)f(
11、xa)a.所以f(x4a)f(x2a)2af(x)所以f(x)是以4a为周期的周期函数19(本题满分12分)我们知道，在ABC中，若c2a2b2，则ABC是直角三角形现在请你研究：若cnanbn(n2)，问ABC为何种三角形？为什么？解析锐角三角形cnanbn (n2)，ca, cb，由c是ABC的最大边，所以要证ABC是锐角三角形，只需证角C为锐角，即证cosC0.cosC，要证cosC0，只要证a2b2c2，注意到条件：anbncn，于是将等价变形为：(a2b2)cn2cn.ca，cb，n2，cn2an2，cn2bn2，即cn2an20，cn2bn20，从而(a2b2)cn2cn(a2b2
12、)cn2anbna2(cn2an2)b2(cn2bn2)0，这说明式成立，从而式也成立故cosC0，C是锐角，ABC为锐角三角形20(本题满分12分)求证：在锐角三角形ABC中，sinAsinBsinCcosAcosBcosC.解析因为在锐角三角形中，AB，所以AB，所以0BAsin(B)cosB，即sinAcosB.同理可证sinBcosC，sinCcosA.把以上三式两端分别相加，得sinAsinBsinCcosAcosBcosC.21(本题满分12分)已知结论：在直角三角形中，若两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则斜边上的高h.若把该结论推广到空间：在侧棱互相垂直的四面体ABCD中，若
13、三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则该四面体的高H与S，S1，S2，S3之间的关系是什么？(用S，S1，S2，S3表示 )解析记该四面体ABCD的三条侧棱长分别为a，b，c，不妨设S1ab，S2bc，S3ac，由SHS1c，得H，于是H，即H.22(本题满分12分)已知函数f(x)(x2)exx2x2.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)证明：当x1时，f(x)x3x.解析(1)f (x)(x1)(ex1)，当x0或x1时，f (x)0，当0x1时，f (x)0，f(x)在(，0)，(1，)上单调递增，在(0,1)上单调递减，当x0时，f(x)有极大值f(0)0，当x1时，f(x)有极小值f(1)e.(2)设g(x)f(x)x3x，则g(x)(x1)(ex)，令u(x)ex，则u(x)ex，当x1时，u(x)ex0，u(x)在1，)上单调递增，u(x)u(1)e20，所以g(x)(x1)(ex)0，g(x)f(x)x3x在1，)上单调递增g(x)f(x)x3xg(1)e0，所以f(x)x3x.