1、惠州市2013-2014学年第二学期期末考试高一数学试题【试卷综评】本试卷的特点是重点考察学生对基础知识掌握的程度以及对教材的理解程度，试题具体表现为重视教材内容，重在考查基础知识、基本技能、基本思想和方法，考查考生的逻辑思维能力、运算能力以及解决实际问题的能力.试题减少了运算量、思维量，降低试题的入口难度，突出对基础知识考查.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项.1在等比数列中，若，则的值为（ ） A 3 C6 D【知识点】等比数列的性质.【答案解析】A解析 ：解：因为等比数列中，若，所以q4=,q2=
2、.=-9=，故选A.【思路点拨】由等比数列的定义和性质可由，得，由此求得的值2已知中，则等于（ ） A B C D【知识点】正弦定理.【答案解析】C解析 ：解：由正弦定理,故选C.【思路点拨】直接利用正弦定理即可.3 已知两条直线若，则（ ） 5 4 C3 D2【知识点】两直线平行的充要条件.【答案解析】D解析 ：解：易知直线斜率为，所以斜率也为可得,故选D.【思路点拨】因为斜率存在，所以时两直线的斜率相等，故可求出的值.4点到直线的距离是（ ） C D【知识点】点到直线距离公式.【答案解析】D解析 ：解：由点到直线距离公式故选D.【思路点拨】直接利用点到直线距离公式即可.5.边长分别为，则B
3、等于（ ）A B C D【知识点】余弦定理.【答案解析】C解析 ：解：由余弦定理得:得B=,故选C.【思路点拨】代入余弦定理公式即可求出B的值.6.设等差数列的前项和为，若,则=（ ） 36 24 C16 D8【知识点】等差数列的性质；等差数列的前n项和公式.【答案解析】B解析 ：解：则故选B.【思路点拨】先把利用前n项和转化为，解得后再利用等差数列的性质求出结果.7.已知,下列命题中正确的是（ ）A B C D【知识点】不等式的性质；排除法;赋值法.【答案解析】B解析 ：解：特殊值法，当可排除A；当,可排除C；当, 可排除D；故选B.【思路点拨】本题主要考查不等式的性质，对于此类问题在客观题
4、中最好的方法是赋予特殊值依次进行排除.8.如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）A B. C D. 【知识点】简单空间几何体的三视图.【答案解析】A解析 ：解：该几何体为底面边长为2，高为的正四棱锥，故选A.【思路点拨】此题的关键是把圆三视图还原为几何体，有三视图的主视图与左视图、俯视图易知该几何体为底面边长为2，高为的正四棱锥，代入锥体的体积公式即可得到结论.9.设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）A若,，则 B若,，则 C若,，则 D若,，则 【知识点】线面、面面的位置关系.【答案解析】C解析 ：解：
5、若,，则或，故A错误；若,，则或，故B错误；若,，由平面平行的性质，我们可得，C正确；若,，则或，故D错误；故选C【思路点拨】逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，D中由条件均可能得到，即A，B，D三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答案【典型总结】判断或证明线面平行的常用方法有：利用线面平行的定义（无公共点）；利用线面平行的判定定理利用面面平行的性质定理；利用面面平行的性质线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性
6、质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来10. 如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是 （ ） A BC三棱锥的体积为定值 D异面直线所成的角为定值【知识点】异面直线所成的角及求法;线面垂直、面面平行的性质.【答案解析】D解析 ：解：,所以A正确；易证B选项正确；EF= ，BEF的面积为定值EF1= ，又AC平面BDD1B1，AO为棱锥A-BEF的高，三棱锥A-BEF的体积为定值，故C正确；利用图形设异面直线所成的角为，当E与D1重合时sin= ，=30；当F与B1重合时tan=，异面直线AE、BF所成的角不是定值，故D错误
7、；【思路点拨】利用证线面垂直，可证ACBE；判断A正确；根据正方体中上下面平行，由面面平行的性质可证，线面平行，从而判断B正确；根据三棱锥的底面面积与EF的位置无关，高也与EF的位置无关，可判断C正确；例举两个特除位置的异面直线所成的角的大小，根据大小不同判断D错误二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，请将答案填在答题卡相应位置.11.已知，则的最小值为 【知识点】基本不等式.【答案解析】解析 ：解：，当且仅当时取等号.故答案为：.【思路点拨】直接利用基本不等式即可.12.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，则其体对角线长为 【知识点】棱柱的结构特征；点、线、面间的距离计
8、算【答案解析】解析 ：解：因为在长方体中，底面对角线的平方是底面长和宽的平方和，体对角线的平方等于面对角线的平方加上高的平方；长方体的体对角线的长为.故答案为：.【思路点拨】连接底面对角线，底面对角线的平方是底面长和宽的平方和，体对角线的平方等于面对角线的平方加上高的平方，直接计算即可13.经过点, 在x轴、y轴上截距相等的直线方程是 【知识点】直线的截距式方程【答案解析】解析 ：解：分类讨论，当直线过原点，即截距都为零，易得直线方程为3x2y=0 ；当直线不过原点，由截距式，设直线方程为，把P点坐标带入，得xy50。故答案为：.【思路点拨】分类讨论，当直线过原点，即截距都为零，易得直线方程；
9、当直线不过原点，由截距式，设出直线方程，把P点坐标带入，能求出结果14.设数列的前项和为，令，称为数列的“理想数”，已知数列的“理想数”为101，那么数列的“理想数”为_【知识点】新定义“理想数”; 数列的求和【答案解析】102解析 ：解：由数列的“理想数” .故答案为：102.【思路点拨】据“理想数”的定义，列出的“理想数”满足的等式及的“理想数”的式子，两个式子结合求出数列的“理想数”三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤15.（本题满分12分）已知点，直线过点，且与平行，求直线的方程。【知识点】直线的一般式方程;直线的平行关系【答案解析】x2y50解
10、析 ：解：由已知，直线AB的斜率 k3分因为lAB，所以直线l的斜率为5分点C的坐标是(0，)6分由点斜式直线l的方程是 y（x-0），10分即x2y5012分【思路点拨】由已知先计算出直线直线AB的斜率，然后再利用点斜式方程求解即可16.（本题满分12分）已知函数，.（1）求的最小正周期和最值；（2）求函数的单调递增区间【知识点】两角和的正弦公式；三角函数的最值、周期以及单调区间.【答案解析】（1）的最小正周期为最大值为，最小值为；（2）解析 ：解：（1）2分的最小正周期为最大值为，最小值为6分（2）由（1），故 8分10分故函数的单调递增区间为12分【思路点拨】（1）把函数利用两角和的正弦
11、逆用公式化简，再根据周期公式求出最小正周期以及最大值和最小值；（2）根据正弦函数的单调性即可.17.（本题满分14分）已知、为的三内角，且其对应边分别为、，若 （1）求； （2）若，求的面积【知识点】两角和的余弦公式；三角形面积公式.【答案解析】（1）（2）解析 ：解：（1） 3分又，6分， 8分 （2）10分 14分【思路点拨】（1）利用两角和公式对已知等式化简求得的值，进而求得，最后利用三角形内角和求得（2）利用三角形面积公式和已知条件求得三角形的面积18.（本题满分14分）已知变量满足（1）画出不等式组表示的平面区域（2）设，求的最大值及相应点的坐标【知识点】简单线性规划.P【答案解析】
12、（1）见解析（2）最大值是7，点P (2,1)解析 ：解：(1) 不等式组表示平面区域如阴影部分所示6分(2)即为直线的纵截距。8分如图作直线，平移该直线，当平移到经过该阴影部分的P点时，纵截距最大。10分解得点P (2,1)12分此时z3xy取得最大值是7.14分【思路点拨】（1）由不等式的意义可得不等式组表示平面区域；（2）变形目标函数，平移直线，由截距的意义可得19.（本题满分14分）如右图， 是圆的直径，点是弧的中点，点是圆所在平面外一点， 是的中点，已知，.（1）求证：平面；（2）求证：VO平面ABC.【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【答案解析】（1）见解析（2）
13、见解析.解析 ：解：（1） O、D分别是AB和AC的中点，OD/BC . 2分 又面VBC，面VBC，4分OD/平面VBC. 6分 （2） VA=VB，O为AB中点， . 8分 连接，在和中，,DVOC ， 10分=VOC=90， . 12分, 平面ABC, 平面ABC, VO平面ABC.14分【思路点拨】（1）先证明出OD/BC，进而根据线面平行的判定定理证明出OD/平面VBC.（2）分别证明出和C，最后根据线面垂直的判定定理证明出VO平面ABC.20.（本题满分14分）等比数列的前项和为， 已知对任意的，点均在函数且均为常数)的图像上. （1）求的值； （2）当时，记 求数列的前项和【知识点】数列与函数的综合运用;数列的通项与前n项和间的关系;错位相减法.【答案解析】（1）（2）解析 ：解：（1）解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得, 1分当时, 2分当时, 3分又因为为等比数列, b-1=b-r所以, 4分 公比为, 所以 5分(2).当b=2时，, 6分 7分则 8分 9分相减,得 11分 12分所以 14分【思路点拨】（1）由“对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上”可得到，由等比数列的性质可得答案（2）结合（1）可知，从而，符合一个等差数列与等比数列相应项之积的形式，用错位相减法求解即可