1、2022精编复习题（四十七） 直线与圆锥曲线小题常考题点准解快解1直线yx3与双曲线1的交点个数是()A1B2 C1或2D0解析：选A因为直线yx3与双曲线的渐近线yx平行，所以它与双曲线只有1个交点2已知直线y2(x1)与抛物线C：y24x交于A，B两点，点M(1，m)，若0，则m()A.B. C.D0解析：选B由得A(2,2)，B，又M(1，m)且0，2m22m10，解得m.3斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A2B. C.D.解析：选C设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0.
2、则x1x2t，x1x2.|AB|x1x2| ，故当t0时，|AB|max.4已知双曲线1(a0，b0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线yax2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线yxm对称，且x1x2，则m的值为()A.B. C2D3解析：选A由双曲线的定义知2a4，得a2，所以抛物线的方程为y2x2.因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y2x2上，所以y12x，y22x，两式相减得y1y22(x1x2)(x1x2)，不妨设x1x2，又A，B关于直线yxm对称，所以1，故x1x2，而x1x2，解得x11，x2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)的
3、中点为M(x0，y0)，则x0，y0，因为中点M在直线yxm上，所以m，解得m.5已知倾斜角为60的直线l通过抛物线x24y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为_解析：直线l的方程为yx1，由得y214y10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y214，|AB|y1y2p14216.答案：166设双曲线1(a0，b0)的一条渐近线与抛物线yx21只有一个公共点，则双曲线的离心率为_解析：双曲线1的一条渐近线为yx，由方程组消去y，得x2x10有唯一解，所以240，2，所以e .答案：7已知抛物线C：y28x与点M(2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若
4、0，则k_.解析：如图所示，设F为焦点，易知F(2，0)，取AB的中点P，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为G，H，连接MF，MP，由0，知MAMB，则|MP|AB|(|AF|BF|)(|AG|BH|)，所以MP为直角梯形BHGA的中位线，所以MPAGBH，由|MP|AP|，得GAMAMPMAP，又|AG|AF|，AM为公共边，所以AMGAMF，所以AFMAGM90，则MFAB，所以k2.答案：2大题常考题点稳解全解1已知椭圆C：1(ab0)的两个焦点分别为F1(2，0)，F2(2,0)，离心率为.过点F2的直线l(斜率不为0)与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线O
5、D交椭圆于M，N两点(1)求椭圆C的方程；(2)当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程解：(1)由题意可知解得a，b.故椭圆C的方程为1.(2)由题意可知直线l的斜率存在设其方程为yk(x2)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x3，y3)，由得(13k2)x212k2x12k260，所以x1x2，则y1y2k(x1x24)，所以AB的中点D的坐标为，因此直线OD的方程为x3ky0(k0)由解得y，x33ky3.因为四边形MF1NF2为矩形，所以F2MF2N0，即(x32，y3)(x32，y3)0，所以4xy0.所以40.解得k.故直线l的方程为x3y20或x3
6、y20.2已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，其一个顶点是抛物线x24y的焦点(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点P(2,1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，求直线l的方程和点M的坐标解：(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，由题意得b，解得a2，c1.故椭圆C的标准方程为1.(2)因为过点P(2,1)的直线l与椭圆C在第一象限相切，所以直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为yk(x2)1(k0)由得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80.因为直线l与椭圆C相切，所以8k(2k1)24(34k2)(16k216k8)0，整理，得96(2k1)0，解得k.所以直线l
7、的方程为y(x2)1x2.将k代入式，可以解得M点的横坐标为1，故切点M的坐标为.3已知过点(2,0)的直线l1交抛物线C：y22px(p0)于A，B两点，直线l2：x2交x轴于点Q.(1)设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，求k1k2的值；(2)点P为抛物线C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB交直线l2于M，N两点，2，求抛物线C的方程解：(1)设直线l1的方程为xmy2，点A(x1，y1)，B(x2，y2)联立方程得y22pmy4p0，则y1y22pm，y1y24p.k1k20.(2)设点P(x0，y0)，直线PA：yy1(xx1)，当x2时，yM，同理yN.因为2，所以4yNyM2，即2，故p，所以抛物线C的方程为y2x.4.如图，已知椭圆1(ab0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：yxm与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足，求直线l的方程解：(1)由题设知解得椭圆的方程为1.(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2y21，圆心到直线l的距离d.由d1得|m|.(*)|CD|22.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2mxm230，由根与系数的关系可得x1x2m，x1x2m23.|AB| .由得 1，解得m，均满足(*)直线l的方程为yx或yx.