1、凉山州2021届高中毕业班第三次诊断性检测数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分第I卷（选择题），第卷（非选择题），共4页，满分150分，考试时间120分钟注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确2选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效3考试结束后，将答题卡收回第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1已知集合
2、，则（ ）ABCD2若复数满足，则（ ）ABCD3直线：，：，则“”是“”的（ ）条件A必要不充分B充分不必要C充要D既不充分也不必要4已知定义在上的函数满足：，且，则（ ）A4B5C6D75已知三条不重合的直线，三个不重合的平面，下列命题中正确的是（ ）A BCD6等差数列，为其前项和，记数列的前项和为，则（ ）A-11B-9C-13D-77我国古代很早就有对等差数列和等比数列的研究成果北宋大科学家沈括在梦溪笔谈中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题现有一物品堆，从上向下数，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推记第层货物的个数为，则数列的前202
3、1项和为（ ）ABCD8定义运算设，若的图像与直线相交，且交点中两点间的最短距离为，则满足的一个的值为（ ）ABCD9已知为坐标原点，为：上的动点，直线：，若到的最小距离为，则的值为（ ）A2B4C6D810已知曲线：，过它的右焦点作直线交曲线于、两点，弦的垂直平分线交轴于点，可证明是一个定值，则（ ）ABCD11已知函数，记，则（ ）ABCD12已知函数，若曲线在点处与直线相切，则（ ）A1B0C-1D-1或1第卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13若的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为_（用数字作答）14樱花如约而至，武汉疫后重生“
4、相约春天赏樱花”的诺言今年三月在武汉大学履行武汉大学邀请去年援鄂的广大医护人员前来赏樱。某医院计划在援鄂的3名医生和5名护士（包含甲医生和乙护士）中任选3名作为第一批人员前去赏樱，则甲医生被选中且乙护士未被选中的概率为_15已知抛物线：的焦点为，其准线与轴的交点为，点为上一点，当最大时，直线的斜率为_16如图，为内任意一点，角，的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理现有以下命题：（1）若是的重心，则有；（2）若成立，则是的内心；（3）若，则；（4）若是的外心，则则正确的命题有_三、解答题：（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤共70分）（一）必考题：每题1
5、2分，共60分17在钝角中，角，所对的边分别是，且（1）求的值（2）若的外接圆半径为，求的面积18某品牌汽车4S店对2020年该市前几个月的汽车成交量进行统计，用表示2020年第月份该店汽车成交量，得到统计表格如下：123456781412202022243026（1）求出关于的线性回归方程，并预测该店9月份的成交量；（，精确到整数）（2）该店为增加业绩，决定针对汽车成交客户开展抽奖活动，若抽中“一等奖”获5千元奖金；抽中“二等奖”获2千元奖金；抽中“祝您平安”则没有奖金已知一次抽奖活动中获得“二等奖”的概率为，没有获得奖金的概率为现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此
6、二人所获奖金总额（千元）的分布列及数学期望参考数据及公式：，19如图，在圆锥中，为的直径，点在上，（1）证明：平面平面；（2）若直线与底面所成角的大小为，是上一点，且，求二面角的余弦值20已知椭圆：的两个焦点与短轴的两个顶点围成一个正方形，且在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2），是椭圆上异于的两点，设直线，斜率分别为，点到直线的距离为，若，求以的最大值为直径的圆的面积21已知函数（1）若曲线在点处的切线与曲线相切，求的值；（2）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围（二）选做题：（共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分）22选修4-4：坐标系与参数方
7、程（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线交于点，射线与曲线交于点，求的面积23选修4-5：不等式选讲（10分）函数（1）若方程无实根，求实数的取值范围；（2）记的最小值为若，且，证明：凉山州2021届高中毕业班第三次诊断性检测数学（理科）参考答案及评分意见评分说明：1本解法给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解法不同，可根据试题的主 要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后
8、续部分的解答未改变试题的内容及难度可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分的正确解答应得分数的一 半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4只给整数分数，选择题不给中间分。一、选择题（每小题5分，共60分）1-5BCBBD 6-10ABCCA 11-12DC二、填空题（每小题5分，共20分）13 14 151 16三、解答题（共70分）17解：（1）即又为钝角三角即所以由正弦定理得（2）由正弦定理得又由余弦定理得，18解：（1）由题意得：所以，回归直线方程为当时，即预计9月份的成交量为30辆（2）由题意得：获得“一
9、等奖”的概率为所以的可能取值为0,2,4,5,7,10 所以的分布列为：024571019解：（1）在圆锥中，平面又为的直径且点在上 而平面又平面平面平面（2）设，因为直线与底面所成角的大小为 又，建立如图所示的空间直角坐标系，则，又是上一点，且 ，设平面的法向量则即又平面的法向量所以二面角的余弦值为20解：（1）由题意知，设椭圆的方程为点在椭圆上，椭圆方程为 （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由，得，直线、的斜率分别为，且，即，或 当时，直线的方程为恒过，不合题意当时，由，得或当直线的斜率不存在，直线过时，不妨设，当直线恒过定点过，则到直线的距离为，当时等号成立，此时，以的最大值为直
10、径的圆的面积 法二：设直线的方程为椭圆方程为即即由，得，直线的方程为直线恒过定点过法三：设直线、的方程，求出、坐标，从而证明直线过定点法四：设，则直线的两点式方程为*，由，得即由以上两式相减，得与*式对比，得直线恒过定点过21解：（1）在处的切线方程为：切线与相切， 即：，（2）由，i当，即时恒成立，在上为单调递增，满足与轴有且只有一个交点。ii当即，有两个不同实根，设两根为，且则， 由得或，得在，为增函数，在为减函数与轴有且只有一个交点等价于又 同理，由式得综上所述，与轴有且只有一个交点的取值范围为22解：（1）由题意得： 即化简为：，的极坐标方程为：，由得： 即：的直角坐标方程为：（2）由得：由得：23解：（1）由函数图象可知，要使得无实数根，则实数的取值范围为（2）解一：由（1）可知，即由，得，当时，等号成立解二：由（1）可知，当，即，等号成立