1、第12课时导数在研究函数中的运用一、 填空题1. 函数f(x) 的单调增区间为_答案：(0，e)解析：f(x)，令f(x)0，得1ln x0，即ln x1，即0xe.2. 已知函数f(x)x3ax23x9，若f(x)在x3时取得极值，则a_答案：5解析： f(x)3x22ax3，又f(x)在x3时取得极值， f(3)306a0，则a5.3. 函数f(x)xcos xsin x，x的最大值为_答案：0解析：由f(x)xcos xsin x得f(x)cos xxsin xcos xxsin x因为在区间上，f(x)xsin xf(0)的解集为_答案：(0，)解析：f(x)xcos x，f(x)1s
2、in x0， f(x)(xR)是增函数若f(ex1)f(0)，则ex10，ex1，即x0. 解集为(0，)5. 设函数f(x)x2exxex.若x2，2时，不等式f(x)m恒成立，则实数m的取值范围是_答案：(，2e2)解析： f(x)xex(exxex)x(1ex)若2x0，所以f(x)0；若0x2，则1ex0，所以f(x)m恒成立，所以m fmin(x)f(2)2e2.所以当mm恒成立故实数m的取值范围是(，2e2)6. 若f(x)x33ax23(a2)x1有极大值和极小值，则a的取值范围是_答案：(，1)(2，)解析：f(x)3x26ax3(a2)，由题意知f(x)0有两个不等的实根，由
3、(6a)2433(a2)0，即a2a20，解得a2或a1.7. 已知a0，函数f(x)x3ax在1，)上是单调递增函数，则a的最大值是_答案：3解析：f(x)3x2a，在x1，)上f(x)0，则f(1)0a3.8. 已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_答案：(，2ln 22解析：函数f(x)ex2xa有零点，即方程f(x)0有解，即aex2x有解设g(x)ex2x，因为g(x)ex2，当xln 2时，g(x)0，当xln 2时，g(x)0，所以函数g(x)有极小值，最小值就是极小值g(ln 2)22ln2，由a22ln 2，解得a的取值范围是(，2ln 229. 已知x1是函数
4、f(x)(ax2)ex的一个极值点若x1，x20，2，则f(x1)f(x2)的最大值为_答案：e解析：f(x)(axa2)ex，由已知得f(1)0，解得a1.当a1时，f(x)(x2)ex，f(x)(x1)ex.当x0，1时，f(x)0，f(x)在区间0，1上单调递减；当x(1，2时，f(x)0，f(x)在区间(1，2上单调递增，所以在区间0，2上，f(x)的最小值为f(1)e.又f(0)2，f(2)0，所以在区间0，2上，f(x)的最大值为f(2)0.对于x1，x20，2，有f(x1)f(x2)f(x)maxf(x)min.所以f(x1)f(x2)0(e)e.二、 解答题10. 已知函数f(
5、x)的导数f(x)3x23ax，f(0)b.a，b为实数，1a2.(1) 若f(x)在区间1, 1上的最小值、最大值分别为2，1，求a，b的值；(2) 在(1)的条件下，求经过点P(2, 1)且与曲线f(x)相切的直线l的方程解：(1) 由已知得f(x)x3ax2b，由f(x)0，得x10，x2a. x1, 1，1a0，f(x)单调递增；当x(0，1时，f(x)0，f(x)单调递减 f(x)在区间1，1上的最大值为f(0)b， b1.又f(1)1a12a，f(1)1a1a， f(1)f(1)由题意得f(1)2，即a2，得a.故a，b1为所求(2)由(1)得f(x)x32x21，f(x)3x24
6、x，点P(2，1)在曲线f(x)上 当切点为P(2，1)时，切线l的斜率kf(x)|x24， l的方程为y14(x2)，即4xy70. 当P不是切点时，设切点为Q(x0，y0)(x02)，切线l的斜率kf(x)|xx03x4x0， l的方程为yy0(3x4x0)(xx0)又点P(2，1)在l上， 1y0(3x4x0)(2x0)， 1(x2x1)(3x4x0)(2x0)， x(2x0)(3x4x0)(2x0), x3x4x0，即2x0(x02)0， x00. 切线l的方程为y1.故所求切线l的方程为4xy70或y1.(或者：由(1)知点A(0，1)为极大值点， 曲线f(x)在点A处的切线为y1，
7、恰好经过点P(2，1)，符合题意)11. 已知函数f(x)(xR)(1) 求函数f(x)的单调区间和极值；(2) 已知函数yg(x)对任意x满足g(x)f(4x)求证：当x2时，f(x)g(x)(1) 解：由f(x)得f(x).令f(x)0，解得x2，则f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(，2)2(2，)f(x)0f(x)极大值所以f(x)在(，2)上是增函数，在(2，)上是减函数函数f(x)在x2处取得极大值f(2).(2) 证明：因为g(x)f(4x)，所以g(x).令F(x)f(x)g(x)，即F(x)，则F(x).当x2时，2x0，2x13，从而e3e2x10，则函数F(x)0
8、，故F(x)在(2，)上是增函数所以F(x)F(2)0.故当x2时，f(x)g(x)成立12. 已知函数f(x)ln x，aR.(1) 若函数f(x)在2，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2) 若函数f(x)在1，e上的最小值为3，求实数a的值解：(1) f(x)ln x， f(x). f(x)在2，)上是增函数， f(x)0在2，)上恒成立，即a在2，)上恒成立令g(x)，则agmin(x)，x2，) g(x)在2，)上是增函数， gmin(x)g(2)1. a1. 实数a的取值范围为(，1(2) 由(1)得f(x)，x1，e 若2a1，即a时，x2a0，f(x)0在1，e上恒成立，此时
9、f(x)在1，e上是增函数 fmin(x)f(1)2a3，解得a(舍去) 若12ae，即a时，令f(x)0，得x2a.当1x2a时，f(x)0， f(x)在(1，2a)上是减函数；当2axe时，f(x)0， f(x)在(2a，e)上是增函数 fmin(x)f(2a)ln 2a13，解得a(舍去) 若2ae，即a时，x2a0，f(x)0在1，e上恒成立，此时f(x)在1，e上是减函数 fmin(x)f(e)13， ae.综上，实数a的值为e.13. 已知f(x)2xln x，g(x)x2ax3.(1) 求函数f(x)的最小值；(2) 若存在x(0，)，使f(x)g(x)成立，求实数a的取值范围；
10、(3) 求证：对一切x(0，)，都有f(x)2成立(1) 解：f(x)的定义域为(0，)，f(x)2(ln x1)令f(x)0，得x.当x时，f(x)0；当x时，f(x)0.所以f(x)在上单调递减；在上单调递增故当x时，f(x)取最小值为.(2) 解：存在x(0，)，使f(x)g(x)成立，即2xln xx2ax3在x(0，)时成立，等价于a2ln xx在x(0，)能成立，等价于a.记h(x)2ln xx，x(0，)，则h(x)1.当x(0，1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0.所以当x1时，h(x)取最小值为4，故a4.(3) 证明：记j(x)2，x(0，)，则j(x).当x(0，1)时，j(x)0；当x(1，)时，j(x)0.所以当x1时，j(x)取最大值为.又由(1)知，当x时，f(x)取最小值为，故对一切x(0，)，都有f(x)2成立