1、高考资源网（） 您身边的高考专家专题十四圆锥曲线与方程(见学生用书P84)(见学生用书P84)1圆锥曲线的定义要会灵活运用圆锥曲线的性质：范围、顶点、对称中心与对称轴、离心率、渐近线、涉及性质的一些基本运算2求曲线(点的轨迹)方程，一般分为两种基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法化归为求已知轨迹类型的轨迹方程因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系)，侧重于数的运算；一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用3弦长问题：弦长公式|AB|x1x2|y1y2|
2、.这个公式可以用来求弦长，有时在弦长已知的情况下，可求圆锥曲线中的参数的值4弦的中点问题：一般是用点差法，设而不求，可简化运算5圆锥曲线中的最值问题、范围问题在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值，注意要考虑曲线上的点的坐标(x，y)的取值范围，另外解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来6常用结论若过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，为直线AB的倾斜角，则有下列性质：(1)y1y2p2，x1x2；(2)|AB|x1x2p(通径长为2p)；(3)SAO
3、B；(4)；(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.(见学生用书P85)考点一 圆锥曲线定义、标准方程及几何性质考点精析圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)|PF1|PF2|2a(2ab0)1(ab，b0)y22px(p0)图形几何性质范围|x|a，|y|b|x|ax0顶点(a，0)(0，b)(a，0)(0，0)对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点(c，0)(c，0)轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b离心率e(0e1)e1准线x渐近线yx例 11(2015天津卷)已知双曲线1(a0，
4、b0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.y21 Dx21考点：双曲线的标准方程及几何性质分析：利用双曲线的渐近线与圆相切以及焦点坐标，列出方程组求解解析：双曲线的一条渐近线方程为yx，即bxay0.由题意，得.联立解得从而双曲线的方程为x21.答案：D点评：本题考查了双曲线的方程与性质，由已知条件建立方程并联立方程组求解，考查了方程思想的应用，属于中档题例 12(2015湖南卷)若双曲线1的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为()A. B.C. D.考点：双曲线的渐近线方程，a，b，c之间的关系及离心率公式分析
5、：由渐近线过点(3，4)可得的值，利用a，b，c之间的关系，a2b2c2可消去b得a，c之间的关系，求出离心率e.解析：双曲线1的渐近线方程为yx，因为其中一条渐近线过点(3，4)，所以.又e21，所以e.故选D.答案：D点评：本题考查了双曲线的渐近线及a，b，c之间的关系，属于容易题规律总结对圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质的考查是历年高考命题的热点问题，高考中对圆锥曲线的考查一般为一小一大(即一个选择、填空题，一个解答题)，小题主要考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，考查的热点问题有：离心率问题，双曲线的渐近线、定义的应用、标准方程、直线与圆锥的位置关系以及最值、取值范围等问题变式训
6、练【11】 (2015湖北卷)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则()A对任意的a，b，e1e2B当ab时，e1e2；当ab时，e1e2C对任意的a，b，e1b时，e1e2；当ae2解析：e1，同理e1.a0，b0，m0，e与e的大小取决于与的大小，当ba时，ee，e1a时，ee，e1e2.答案：D【12】 (2015重庆卷)设双曲线1(a0，b0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()A BC1 D解析：设F(c，0)
7、，由题意，不妨令B，C.又因为A1(a，0)，A2(a，0)，所以kA1BkA2C.又因为c2a2b2，A1BA2C，所以kA1BkA2C1，解得1.所以该双曲线的渐近线的斜率为1，故选C.答案：C规律总结焦点三角形问题的求解技巧(1)所谓焦点三角形，就是以椭圆或双曲线的两个焦点为顶点，另一个顶点在椭圆或双曲线上的三角形(2)解决此类问题要注意应用三个方面的知识：椭圆或双曲线的定义；勾股定理或余弦定理；基本不等式与三角形的面积公式考点二直线与圆锥曲线考点精析1直线与圆锥曲线的位置关系的判断可用代数方法，即将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，根据方程组解的个数判断直线与圆锥曲线的位置关系2若直线与
8、圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且直线P1P2的斜率为k，则弦长|P1P2|x1x2|y1y2|(k0)|x1x2|，|y1y2|的求法， 通常使用根与系数的关系，需要作下列变形：|x1x2|，|y1y2|.3与圆锥曲线的弦的中点有关的问题除了可以联立方程利用根与系数的关系外，还可以利用“点差法”，即设出弦的两个端点，并将其代入圆锥曲线方程作差分解因式，注意在作差的过程中要与直线的斜率联系起来，这样可以简化运算例 21(2015福建卷)已知点F为抛物线E：y22px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(1，0)
9、，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切考点：抛物线、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系分析：(1)由抛物线的定义及AF的长可求出p的值，代入抛物线的标准方程即可；(2)将直线AF的方程与抛物线的方程联立，可求得交点B的坐标，分别求出直线AG、BG的斜率，利用斜率之和为0求解；或者分别求点F到直线GA、GB的距离，利用距离相等求解解析：(方法1)(1)由抛物线的定义得|AF|2.因为|AF|3，即23，解得p2，所以抛物线E的方程为y24x.(2)因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2)由A(2
10、，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，从而B(，)又G(1，0)，所以kGA，kGB，所以kGAkGB0，从而AGFBGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切(方法2)(1)同方法一(2)设以点F为圆心与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2)由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，从而B.又G(1，0)，故直线GA的方程为2x3y20，从而r.又直线GB的方程为2x
11、3y20，所以点F到直线GB的距离dr.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切点评：本题考查了直线与圆，直线与抛物线的位置关系，考查了学生的运算求解能力，推理论证能力，函数与方程思想，转化与化归思想及数形结合思想，属于中档题规律总结直线与圆锥曲线的综合问题是历年高考必考内容之一，其难度大，综合性强，区分度大，因此解析几何解答题是我们在二轮复习的主攻方向，熟练掌握某些特殊题型的解题方法有利于我们突破这一难点【全,品中&高*考+网】变式训练【21】 (2015湖南卷)已知抛物线C1：x24y的焦点F也是椭圆C2 ：1(ab0)的一个焦点C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C
12、1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向(1)求C2的方程；(2)若|AC|BD|，求直线l的斜率解析：(1)由C1：x24y知，其焦点F的坐标为(0，1)因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2b21.又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x24y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为，所以1.联立得a29，b28.故C2的方程为1.(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)因为与同向，且|AC|BD|，所以，从而x3x1x4x2，即x1x2x3x4，于是(x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4.设直线
13、l的斜率为k，则l的方程为ykx1.由得x24kx40.而x1，x2是这个方程的两根，所以x1x24k，x1x24.由得(98k2)x216kx640.而x3，x4是这个方程的两根，所以x3x4，x3x4.将代入，得16(k21)，即16(k21)，所以(98k2)2169，解得k，即直线l的斜率为.【全,品中&高*考+网】【22】 (2015北京卷)已知椭圆C：x23y23，过点D(1，0)且不过点E(2，1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x3交于点M.(1)求椭圆C的离心率；(2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由解析：(
14、1)椭圆C的标准方程为y21. 所以a，b1，c.所以椭圆C的离心率e.(2)因为AB过点D(1，0)且垂直于x轴，所以可设A(1，y1)，B(1，y1)直线AE的方程为y1(1y1)(x2). 令x3，得M(3，2y1)所以直线BM的斜率kBM1.(3)直线BM与直线DE平行证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由(2)可知kBM1.又因为直线DE的斜率kDE1，所以BMDE.当直线AB的斜率存在时，设其方程为yk(x1)(k1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线AE的方程为y1(x2)令x3，得点M(3，)由得(13k2)x26k2x3k230.所以x1x2，x1x2.直线BM的斜
15、率kBM，因为kBM10，故kBM1kDE，故BMDE.综上可知，直线BM与直线DE平行【23】 (2014江西卷)如图，已知双曲线C：y21(a0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AFx轴，ABOB，BFOA(O为坐标原点)(1)求双曲线C的方程；(2)过C上一点P(x0，y0)(y00)的直线l：y0y1与直线AF相交于点M，与直线x相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值解析：(1)依题意知，A，设B，ABOB，BFOA，1，整理得：t，a，双曲线C的方程为y21.(2)证明：由(1)知A，l的方程为：y0y1，又F(2，0)，直线l：y0y1与直线AF相
16、交于点M，与直线x相交于点N，于是可得M，N.【24】 (2015重庆卷)如图，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF1.(1)若|PF1|2，|PF2|2，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ|PF1|，且，试确定椭圆离心率e的取值范围解析：(1)由椭圆的定义，2a|PF1|PF2|(2)(2)4，故a2.设椭圆的半焦距为c，由PF1PF2得2c|F1F2|2，即c，从而b1.故所求椭圆的标准方程为y21.(2)如图，由PF1PQ，|PQ|PF1|，得|QF1|PF1|.由椭圆的定义，得|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a，即|PF1|
17、PQ|QF1|4a.于是(1)|PF1|4a，解得|PF1|.故|PF2|2a|PF1|.由勾股定理，得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)24c2，即4c2，两边除以4a2，得e2.若记t1，则上式变成e28.因为，1关于单调递增，所以3t4，即，所以e2，即时，SOPQ888；当0k2时，SOPQ88.因为0k2，所以014k21，2，所以SOPQ88，当且仅当k0时取等号所以当k0时，SOPQ的最小值为8.综合()()可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，OPQ的面积取得最小值8.点评：本题考查了椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系，考查了代入法，整体思想和运算求解能力求三
18、角形面积最小值的过程中，对目标函数进行变形，考查了数据处理能力和函数思想，属于难题规律总结求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一，是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生的创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力、运算能力、分析问题和解决问题的能力， 而轨迹方程这一热点，恰好能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度求曲线方程的题目若出现在主观题中，往往综合性比较强，属于较难题；若出现在客观题中，则通常可以利用圆锥曲线的定义解题，为容易题变式训练【31】 如图，动圆C1：x2y2t2，1t3与椭圆C2：y21相交于A，B，C，D四点，点A1，A2
19、分别为C2的左、右顶点(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程解析：(1)设A(x0，y0)，则矩形ABCD的面积S4|x0|y0|，由y1得y1，从而xyx.x，y时，Smax6，t时，矩形ABCD的面积取得最大值，最大面积为6.(2)由A(x0，y0)，B(x0，y0)，A1(3，0)，A2(3，0)，知直线AA1的方程为y(x3)，直线A2B方程为y(x3)，由可得：y2(x29)y1，代入可得y21(x3，y0)直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程是y21(x3，y0)(见学生用书P91)例 1设A、B是椭圆3
20、x2y2上的两点，点N(1，3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点(1)确定的取值范围，并求直线AB的方程；(2)试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由(此题不要求在答题卡上画图)考场错解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则3(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，依题意，x1x2，kAB.N(1，3)是AB的中点，x1x22，y1y26从而kAB9.又由N(1，3)在椭圆内，3123212应用结论时也易混淆对症下药：(1)(方法1)依题意，可设直线AB的方程为yk2(x1)3，代入3x2y2，整理得(k23)x2
21、2k(k3)x(k3)20.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1，x2是方程的两个不同的根，4(k23)3(k3)20，且x1x2，由N(1，3)是线段AB的中点，得1，k(k3)k23，解得k1，代入得，12，即的取值范围是(12，)于是，直线AB的方程为y3(x1)，即xy40.(方法2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有3(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，依题意，x1x2，kAB.N(1，3)是AB的中点，x1x22，y1y26，从而kAB1.又由N(1，3)在椭圆内，3123212，的取值范围是(12，)直线AB的方程为y3(x1)，即xy40.(2)
22、(方法1)CD垂直平分AB，直线CD的方程为y3x1，即xy20，代入椭圆方程，整理得4x24x40.又设C(x3，y3)，D(x4，y4)，CD的中点为M(x0，y0)，则x3，x4是方程的两根，x3x41，且x0(x3x4)，y0x02，即M.于是由弦长公式可得|CD|x3x4|.将直线AB的方程xy40，代入椭圆方程得4x28x160.同理可得|AB|x1x2|.当12时，|AB|12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心点M到直线AB的距离为d.于是，由、式和勾股定理可得|MA|2|MB|2d2.故当12时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，为半径的圆上(注：上述
23、解法中最后一步可按如下解法获得)A、B、C、D共圆ACD为直角三角形，A为直角|AN|2|CN|DN|，即.由式知，式左边，由和知，式右边，式成立，即A、B、C、D四点共圆(方法2)CD垂直平分AB，直线CD方程为y3x1，代入椭圆方程，整理得4x24x40.将直线AB的方程xy40，代入椭圆方程，整理得4x28x160.解和式可得x1，2，x3，4.不妨设A，C，D.，计算可得0，A在以CD为直径的圆上又B为A关于CD的对称点，A、B、C、D四点共圆(注：也可用勾股定理证明ACAD)例 2设直线l与椭圆1相交于A、B两点，l又与双曲线x2y21相交于C、D两点，C、D三等分线段AB，求直线l
24、的方程考场错解：设直线l的方程为ykxb，如图所示，l与椭圆，双曲线的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)，依题意有，3.由得(1625k2)x250bkx(25b2400)0，所以x1x2.由得(1k2)x22bkx(b21)0.若k1，则l与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k1，所以x3x4，由x3x1x2x4x1x2x3x4bk0k0或b0.(1)当k0时，由得x1、2，由得x3、4，由3x2x13(x4x3)，即6b.故l的方程为y.(2)当b0时，由得x1、2，由得x3、4，由3x2x13(x4x3)，即k，故l的方程为yx.综上所述：直线
25、l的方程为：y，yx.专家把脉：用斜截式设直线方程时没有注意斜率是否存在，致使造成思维片面，漏解对症下药：(方法1)首先讨论l不与x轴垂直时的情况设直线l的方程为ykxb，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为：A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)，依题意有，3.由得(1625k2)x250bkx(25b2400)0.所以x1x2.由得(1k2)x22bkx(b21)0.若k1，则l与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k1.所以x3x4，由x1x2x3x4bk0k0或b0.(1)当k0时，由得x1，2.由得x3、4.由3x2x13(x4x3)，即b.故l的方程为
26、y.(2)当b0时，由得x1、2，由得x3、4，由3x2x13(x4x3)即k，故l的方程为yx.再讨论l与x轴垂直时的情况设直线l的方程为xc，分别代入椭圆和双曲线方程可解得y1、2.y3、4，由|3|y2y1|3|y4y3|.即6c，故l的方程为x.综上所述，直线l的方程是：yx、y和x.(方法2)设l与椭圆、双曲线的交点为：A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)，则有由i的两个式子相减及j的两个式子相减，得：因C、D是AB的三等分点，故CD的中点(x0，y0)与AB的中点重合，且3.于是x0，y0，x2x13(x4x3)因此若x0y00，则x2x1x4x3
27、y4y3y2y1.因A、B、C、D互异，故xixj，yiyj，这里i，j1，2，3，4且ij.得1625，矛盾，所以x0y00.(1)当x00，y00时，由得y4y30，这时l平行x轴设l的方程为yb，分别代入椭圆、双曲线方程得：x1、2，x3、4.x2x13(x4x3)6b.故l的方程为y.(2)当y00，x00，由得x4x30，这时l平行y轴设l的方程为xc，分别代入椭圆、双曲线方程得：y1、2，y3、4.y2y13(y4y3)6c.故l的方程为：x.(3)当x00，y00时，这时l通过坐标原点且不与x轴垂直设l的方程为ykx，分别代入椭圆、双曲线方程得：x1、2，x3，4.x2x13(x
28、4x3)k.故l的方程为yx.综上所述，直线l的方程是：yx、y和x.专家会诊：1.重点掌握椭圆的定义和性质，加强直线与椭圆位置关系问题的研究2注重思维的全面性，例如求椭圆方程时只考虑到焦点在x轴上的情形；研究直线与椭圆位置关系时忽略了斜率不存在的情形3注重思想方法的训练，在分析直线与椭圆位置关系时要利用数形结合和设而不求法与弦长公式、韦达定理联系去解决；关于参数范围问题常用思路有：判别式法，自身范围法等求椭圆的方程常用方法有：定义法，直接法，待定系数法，相关点法，参数法等.(见学生用书P176)一、选择题1(2014岳阳模拟)ABC的顶点A(5，0)、B(5，0)，ABC的内切圆圆心在直线x
29、3上，则顶点C的轨迹方程是 ()A.1 B.1C.1(x3) D.1(x4)解析：如图|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，所以|CA|CB|826.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，所以2a6，即a3.又因为c5，所以b4，所以方程为1(x3)答案：C2(2014四川卷)已知F为抛物线y2x的焦点，点A、B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是()A2 B3C. D.解析：设直线AB的方程为xtym，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB与x轴的交点为M(m，0)，由y2tym0，根据韦
30、达定理有y1y2m.2，x1x2y1y22，从而(y1y2)2y1y220，点A，B位于x轴的两侧，y1y22，故m2.不妨令点A在x轴上方，则y10，又F，SABOSAFO2(y1y2)y1y123，当且仅当y1，即y1时，取“”号ABO与AFO面积之和的最小值是3.答案：B3(2015广东卷)已知椭圆1(m0)的左焦点为F1(4，0)，则m()A2 B3C4 D9解析：椭圆1的左焦点F1(4，0)，25m216，m3.答案：B4(2015安徽卷)下列双曲线中，渐近线方程为y2x的是()Ax21 B.y21Cx21 D.y21解析：因为将双曲线方程中的“1”变为“0”可得渐近线方程，所以A中
31、，x21的渐近线方程为y2x；B中，y21的渐近线方程为y；C中，x21的渐近线方程为yx；D中，y21的渐近线方程为yx.故选A.答案：A5(2014湖北卷)设a，b是关于t的方程t2cos tsin 0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线1的公共点的个数为()A0 B1 C2 D3解析：a，b是关于t的方程t2cos tsin 0的两个不等实根，ab，ab0，过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线为ya2(xa)，即y(ba)xab，即y x.双曲线1的一条渐近线方程为y x，过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线1的公共点的个数为0.答案：
32、A6(2015湖北八校联考)抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，M为抛物线C上一点，若OFM的外接圆与抛物线C的准线相切(O为坐标原点)，且外接圆的面积为9，则p()A2 B4C6 D8解析： OFM的外接圆与抛物线C的准线相切， OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径 圆面积为9， 圆的半径为3.又 圆心在OF的垂直平分线上，|OF|，3， p4.故选B.答案：B7(2015重庆卷)设双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是(
33、)A(1，0)(0，1) B(，1)(1，)C(，0)(0，) D(，)(，)解析：由题知F(c，0)，A(a，0)，不妨令B点在第一象限，则B，C，kAB，CDAB，kCD，直线CD的方程为y(xc)由双曲线的对称性，知点D在x轴上，得xDc，点D到直线BC的距离为cxD，aac，b4a2(ca)(ca)a2b2，b2a2，1，又该双曲线的渐近线的斜率为或，双曲线渐近线斜率的取值范围是(1，0)(0，1)选A.答案：A8(2015全国卷)已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则y0的取值范围是()A. B.C. D.解析：若0，则点M在以原点为圆心，
34、半焦距c为半径的圆上，则解得y.所以0点M在圆x2y23的内部yy0.故选A.答案：A9(2014全国卷)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，则|AB|()A. B6C12 D7解析：由题意得F，直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为y.联立方程得x2x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，所以|AB|x1x2p12.答案：C10(2015福建卷)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点若|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是()A. B.C. D.解
35、析：取椭圆的左焦点为F，连接BF，由椭圆的对称性知|AF|BF|，由于|AF|BF|4，所以|BF|BF|2a4，即a2.不妨设M(0，b)，由题意得点M到直线l的距离，可得b1，则椭圆E的离心率e，又e(0，1)，所以e，故选A.答案：A11(2014闸北区一模)在平面内，设A，B为两个不同的定点，动点P满足：k2(k为实常数)，则动点P的轨迹为()A圆 B椭圆 C双曲线 D不确定解析：设A(c，0)，B(c，0)(c0)，P(x，y)则(cx，y)，(cx，y)满足：k2(k为实常数)，(cx，y)(cx，y)k2，整理得x2c2y2k2，即x2y2c2k2，故动点P的轨迹是原点为圆心，以
36、为半径的圆答案：A12(2015黄冈模拟)点P是双曲线1(a0，b0)左支上的一点，其右焦点为F(c，0)，若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e的取值范围是()A. B(1，8C. D(2，3解析：根据题意设双曲线的左焦点为F1，连接PF1，则在F1FP中，点M，O(O为坐标原点)分别为PF，F1F的中点，所以|PF1|2|MO|2，即在双曲线的左支上存在P点使|PF1|，同时|PF1|ca，即ca，解得，即e.又e1，所以1b0)的上顶点为B，左焦点F，离心率为.(1)求直线BF的斜率；(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B)，过点B且垂直于BP的直线与椭圆交
37、于点Q(Q异于点B)，直线PQ与y轴交于点M，|PM|MQ|.()求的值；()若|PM|sin BQP，求椭圆的方程解析：(1)设F(c，0)由已知离心率及a2b2c2，可得ac，b2c.又因为B(0，b)，F(c，0)，故直线BF的斜率k2.(2)设点P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，M(xM，yM)()由(1)可得椭圆的方程为1，直线BF的方程为y2x2c.将直线方程与椭圆方程联立，消去y，整理得3x25cx0，解得xP.因为BQBP，所以直线BQ的方程为yx2c，与椭圆方程联立，消去y，整理得21x240cx0，解得xQ.又因为，及xM0，可得.()由()有，所以，即|PQ|PM|.又
38、因为|PM|sin BQP，所以|BP|PQ|sin BQP|PM|sin BQP.又因为yP2xP2cc，所以|BP|c，因此c，得c1.所以，椭圆方程为1.14(2015全国卷)已知椭圆C：9x2y2m2(m0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由解析：(1)设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入9x2y2m2得(k29)x2
39、2kbxb2m20，故xM，yMkxMb.于是直线OM的斜率kOM，即kOMk9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值(2)四边形OAPB能为平行四边形因为直线l过点，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0，k3.由(1)得OM的方程为yx.设点P的横坐标为xP.由得x，即xP，将点的坐标代入l的方程得b，因此xM.四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP2xM.于是2，解得k14，k24.因为ki0，ki3，i1，2，所以当l的斜率为4或4时，四边形OAPB为平行四边形15(2015浙江卷)如图，已知抛物线C1：yx2，圆C2：x2(y1)21，过点P
40、(t，0)(t0)作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点(1)求点A，B的坐标；(2)求PAB的面积注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点解析：(1)由题意知直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为yk(xt)，由消去y，整理得：x24kx4kt0，由于直线PA与抛物线相切，得kt.因此，点A的坐标为(2t，t2)设圆C2的圆心为D(0，1)，点B的坐标为(x0，y0)，由题意知：点B，O关于直线PD对称，故解得因此，点B的坐标为.(2)由(1)知|AP|t，和直线PA的方程txyt20.点B到直
41、线PA的距离是d，设PAB的面积为S(t)，所以S(t)|AP|d.16(2015陕西卷)已知椭圆E：1(ab0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，AB是圆M：(x2)2(y1)2的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程解析：(1)过点(c，0)，(0，b)的直线方程为bxcybc0，则原点O到该直线的距离d，由dc，得a2b2，解得离心率.(2)(方法1)由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2.依题意，圆心M(2，1)是线段AB的中点，且|AB|.易知，AB与x轴不垂直，设其方程为yk(x2)1，代入得(1
42、4k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.由x1x24，得4，解得k.从而x1x282b2.于是|AB|x1x2|.由|AB|，得，解得b23.故椭圆E的方程为1.(方法2)由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2.依题意，点A，B关于圆心M(2，1)对称，且|AB|.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x4y4b2，x4y4b2，两式相减并结合x1x24，y1y22，得4(x1x2)8(y1y2)0，易知AB与x轴不垂直，则x1x2，所以AB的斜率kAB.因此直线AB的方程为y(x2)1，代入得x24x82b20.所
43、以x1x24，x1x282b2.于是|AB|x1x2|.由|AB|，得，解得b23.故椭圆E的方程为1.17(2015四川卷)如图，椭圆E：1(ab0)的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且1.(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解析：(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，b)，(0，b)又点P的坐标为(0，1)，且1，于是解得a2，b.所以椭圆E方程为1.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)联立得(2k21)x24
44、kx20.其判别式(4k)28(2k21)0，所以，x1x2，x1x2.从而，x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以，当1时，23.此时，3为定值当直线AB的斜率不存在时，直线AB为直线CD.此时，213.故存在常数1，使得为定值3.18(2015山东卷)平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且点在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线ykxm交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.()求的值；()求ABQ面积的最大值解析：(1)由题意知，1，又，解得a24，b21.
45、所以椭圆C的方程为y21.(2)由(1)知椭圆E的方程为1.()设P(x0，y0)，由题意知Q(x0，y0)因为y1，又1，即1，所以2，即2.()设A(x1，y1)，B(x2，y2)将ykxm代入椭圆E的方程可得(14k2)x28kmx4m2160，由0，可得m2416k2.则有x1x2，x1x2.所以|x1x2|.因为直线ykxm与y轴交点的坐标为(0，m)，所以OAB的面积S|m|x1x2|2.设t.将ykxm代入椭圆C的方程，可得(14k2)x28kmx4m240，由0，可得m214k2.由可知0t1，因此S22.故S2，当且仅当t1，即m214k2时取得最大值2.由()知，ABQ面积为3S，所以ABQ面积的最大值为6.- 54 - 版权所有高考资源网
