1、专题五三角函数(见学生用书P25)(见学生用书P25)1同角三角函数关系(1)商数关系：tan ；(2)平方关系：sin2cos212几个三角公式(1)公式变用：1cos 22cos2，1cos 22sin2，sin2，cos2，tan(2)辅助角公式：asin bcos sin()(其中cos ，sin )3三角函数的图象与性质ysin xycos xytan x图象续表ysin xycos xytan x定义域RRx|xk，kZ值域1，11，1R单调性及递增、递减区间在，kZ上递增；在，kZ上递减在2k，2k，kZ上递增；在2k，2k，kZ上递减在，kZ上递增周期性及奇偶性T2，奇函数T2
2、，偶函数T，奇函数对称轴xk，kZxk，kZ无对称轴对称中心(k，0)，kZ，kZ，kZ4.三角函数的图象变换：若由ysin(x)得到ysin(x)的图象，其中0，则向左或向右平移个单位也就是说若f(x) sinx，则向左或向右平移个单位后得到fsinsin(x)，即平移的量是对x而言的(见学生用书P26)考点一任意角的三角函数考点精析1三角函数的概念在“角的概念的推广”中，负角、象限角、区间角、没有标明范围的角、大于2的角，常出现在各种三角函数题目中，关键是正确理解终边相同角的概念在“弧度制”中，掌握弧长公式和扇形面积公式在“任意角的三角函数”中，会确定函数值的符号并知道一个角的三角函数值只
3、与这个角的终边的位置有关2同角三角函数的关系及诱导公式的应用本考点的关键是熟记并灵活运用公式在已知一个角的三角函数值求这个角的其他三角函数时，要注意题设中的角的范围，必要时按象限进行讨论，尽量少用平方关系在利用同角三角函数的基本关系化简、求值和证明恒等关系时，要注意用是否“同角”来区分和选用公式注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时，要注意正负号的选取例 11(2014成都模拟)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角，的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点若点A，B的坐标分别为和，则cos(
4、)的值为()A BC0 D.考点：任意角的三角函数的定义，两角和与差的余弦公式分析：利用任意角的三角函数的定义求出sin ，cos ，sin ，cos ，再用两角和与差公式求出cos()解析：由三角函数定义知sin ，cos ，sin ，cos ，cos()cos cos sin sin .答案：A点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和与差的余弦公式的应用例 12(2015武汉模拟)在平面直角坐标系xOy中，点P在角的终边上，点Q(sin2，1)在角的终边上，且，则cos 2()A. BC. D考点：同角三角函数的基本关系式，二倍角公式及向量的数量积分析：先用向量的数量积公式得出co
5、s2，再用二倍角求出cos 2.解析：，sin2cos2，即(1cos2)cos2，cos2，cos 22cos21.答案：C点评：本题考查同角三角函数基本关系式、向量的数量积及二倍角公式，要求熟练掌握这些公式规律总结三角函数的定义及其应用是近几年高考命题的热点，需要我们在二轮复习中重点突破同角间的三角函数基本关系是三角函数化简求值的基础，因而是高考重点考查对象，不过一般以间接考查为主，偶尔直接考查，也比较简单，同样诱导公式也是如此变式训练【11】 (2014黄冈模拟)如图，点A、B是单位圆O上的两点，点C是圆O与x轴的正半轴的交点，将锐角的终边OA按逆时针方向旋转到OB.(1)若点A的坐标为
6、，求的值；(2)用表示|BC|，并求|BC|的取值范围解析：(1)由已知可得，cos ，sin .sin 22sin cos ，cos 22cos21，.(2)由题意可得，|OC|OB|1，COB，由余弦定理可得，|BC|2|OC|2|OB|22|OB|OC|cos COB112cos 22cos.，cos，|BC|2，|BC|.考点二三角函数的图象考点精析1三角函数的图象可以利用三角函数线用几何法作出，在精确度要求不高时，常用五点法作图，要特别注意“五点”的取法2关于yAsin(x)(A0，0)的图象(1)“五点法”作图：设tx，取0、2，求相对应的x值及y值，描点作图(2)变换作图：ysi
7、n xyAsin x，将ysin x的图象上各点的纵坐标变为原来的A倍；yAsin xyAsin(x)，将yAsin x的图象上的所有点向左(0)或向右(0，0)的图象关于直线xxm成轴对称图形；关于点(xn，0)(xnk，kZ)成中心对称图形例21(2014上海模拟)函数f(x)sin(x)的部分图象如图所示，则，的值分别是()A2， B2， C4， D4，考点：由yAsin(x)的部分图象确定其解析式分析：由函数的图象可得T，代入周期公式求得的值，再由五点作图的第二点列式求得的值解析：由图知T，T，即，解得2.由五点作图的第二点可知，22k，kZ，|，.，的值分别是2，.答案：A点评：本题
8、考查由yAsin(x)的部分图象求解函数解析式，解答的关键是由五点作图的某一点列式求解的值例 22(2014长沙市一中模拟)已知函数f(x)Atan(x)，yf(x)的部分图象如图，则f_考点：由yAtan(x)的部分图象确定其解析式分析：根据函数的图象，求出函数的周期，然后求出.根据求出的值，图象经过(0，1)确定A的值，求出函数的解析式，然后求出f即可解析：由题意可知T，所以2，函数的解析式为：f(x)Atan(x)，因为函数过，所以0Atan，k，kZ.又|，.又图象经过(0，1)，所以1Atan，所以A1，所以f(x)tan.则ftan.答案：点评：本题考查正切函数图象的特点，确定函数
9、的解析式的方法以及求函数值，考查计算能力例 23(2015陕西卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sink.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为_考点：三角函数的图象与性质分析：根据三角函数的图象，由最小值为2求k，再求最大值解析：根据图象得函数的最小值为2，3k2，k5，最大值为3k8.答案：8点评：本题考查对三角函数图象的阅读理解能力、数据处理能力，属于基础题规律总结变换作图法以及给出部分函数图象求三角函数解析式等问题一直是高考命题的热点至于像例23这样的将三角函数融入实际背景的问题，关键在于读懂题意，将实际问题转化为函数最值问题变式训练【21】 (2
10、014黄冈模拟)关于函数f(x)4sin2x(xR)，有下列命题：yf(x)的表达式可改写为y4cos；yf(x)是以2为最小正周期的周期函数；yf(x)的图象关于点对称；yf(x)的图象关于直线x对称其中正确的命题的序号是_解析：f(x)4sin4cos4cos4cos，故正确；T，故不正确；令x代入f(x)4sin得到f4sin0，故yf(x)的图象关于点对称，正确，不正确答案：【22】 (2014重庆卷)将函数f(x)sin(x)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到ysin x的图象，则f_解析：函数f(x)sin(x)的图象上每一点的横坐标缩短为原
11、来的一半，得到ysin(2x)的图象，再向右平移个单位长度，得到ysinsin的图象由题意知sinsin x，所以21，2k(kZ)，又0，0)的单调区间的确定，基本思想是把(x)看作一个整体比如：由2kx2k(kZ)解出x的范围，所得区间即为增区间；由2kx2k(kZ)解出x的范围，所得区间即为减区间若函数yAsin(x)中A0，0，可用诱导公式将函数变为yAsin(x)，则yAsin(x)的增区间为原函数的减区间；减区间为原函数的增区间对于函数yAcos(x)的单调性的讨论与上类似(2)比较三角函数值的大小，往往是利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名三角函数值，再利用单调性
12、比较例 31(2015全国卷)函数f(x)cos(x)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A(k，k)(kZ) B(2k，2k)(kZ) C(k，k)(kZ) D(2k，2k)(kZ)考点：余弦函数的图象与性质分析：先由图象确定f(x)的解析式，再根据余弦函数的单调区间求解解析：由题图可知1，所以T2，又由题图知f0，即2k，kZ，得2k，kZ.此时f(x)coscos，kZ.由2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ，所以f(x)的单调递减区间为，kZ.故选D.答案：D点评：本题考查了已知三角函数的图象求解析式，考查了复合函数单调性的求解复合函数的单调性遵循“同增异减”原则例 32
13、 (2014上海卷)设常数a使方程sin xcos xa在闭区间0，2上恰有三个解x1，x2，x3，则x1x2x3_考点：正弦函数的图象；两角和与差的正弦函数分析：先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y2sin的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点在0，2上，当a时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x1，x2，x3，最后相加即可解析：sin xcos x22sinx，方程的解即为直线ya与三角函数y2sin的图象的交点如图所示，在0，2上，当a时，直线与三角函数图象恰有三个交点令sin，则x2k，或x2k，即x2k，或x2k，此时x10，x2，x32，x1x2x302.
14、答案：点评：本题主要考查了三角函数的图象与性质运用了数形结合的思想，较为直观地解决问题规律总结三角函数的性质一直是高考命题的热点问题，主要考查三角函数的单调性、最值、奇偶性、周期性、图象对称性以及这些性质的综合运用变式训练【31】 (2014广州模拟)设函数f(x)sincos，则()Ayf(x)在单调递增，其图象关于直线x对称Byf(x)在单调递增，其图象关于直线x对称Cyf(x)在单调递减，其图象关于直线x对称Dyf(x)在单调递减，其图象关于直线x对称解析：因为f(x)sincossincos 2x.它的对称轴方程可以是：x，所以A，C错误；函数yf(x)在单调递减，所以B错误，D正确答
15、案：D【32】 (2014湖北卷)某实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)10costsint，t0，24)(1)求实验室这一天上午8时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差. 解析：(1)f(8)10cos(8)sin(8)10cos sin10()10.故实验室上午8时的温度为10 .(2)因为f(t)102(cos tsint)102sin(t), 又0t24，所以t0)，xR.若函数f(x)在区间(，)内单调递增，且函数yf(x)的图象关于直线x对称，则的值为_考点：辅助角公式及三角函数的图象和性质分析：先运用辅助角公式化简三角函数关系式，将异名
16、函数化为同名函数，再利用三角函数的图象和性质求解的值解析：f(x)sin xcos xsin.令x，得x.又因为f(x)在区间(，)内单调递增，因此，即2.由yf(x)的图象关于直线x对称，有2k(kZ)，即2k，即k0时满足题意，从而.答案：点评：本题综合考查了运用辅助角公式化简三角函数关系，利用三角函数的图象和性质求解字母的取值，属于中档题规律总结以选择、填空题形式考查本考点的内容经常出现在高考试卷之中，其中化简、求值问题是其热点问题变式训练【41】 (2015江苏卷)已知tan 2，tan()，则tan 的值为_解析：tan tan()3.答案：3【42】 (2014上海闵行区一模)在平
17、面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，若A、B两点的横坐标分别为、，则tan的值为_解析：单位圆半径r1，又A、B两点的横坐标分别为、，yA，yB，sin ，sin .和都是锐角，cos 0，cos 0，cos ，cos .又cos 2cos21，cos ，sin ，tan ，tan ，tan.答案：例 43(2015重庆卷)已知函数f(x)sin 2xcos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象当x时，求g(x)的值域考点：三角恒等变换、图象
18、变换及正弦型函数的周期、最值和值域分析：先利用降幂公式和辅助角公式将f(x)化为同一个角的三角函数，然后利用公式确定f(x)的最小正周期，利用正弦函数的性质求最值解析：(1)f(x)sin 2xcos2xsin 2x(1cos 2x) sin 2xcos 2xsin，因此f(x)的最小正周期为，最小值为.(2)由条件可知：g(x)sin.当x时，有x，从而sin的值域为，那么g(x)sin的值域为.故g(x)在区间上的值域是.点评：本题主要考查了yAsin(x)k型函数的图象和性质，图象变换，复合函数值域的求法，整体代入、数形结合的思想方法及基本运算求解能力，属中档题,规律总结)以解答题形式考
19、查本考点内容按考查的侧重点可分为两类型：考查的重点一是简单的三角恒等变换；二是三角函数的图象与性质上变式训练 【43】 (2014成都模拟)已知向量a2sin，cosx，b，函数f(x)ab2cos2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若函数yg(x)的图象是由yf(x)的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的，当x时，求yg(x)的最大值和最小值解析：(1)f(x)ab2cos2x2sincos2sincos2cos2xsinsin2cos2xsin 2xcos 2x12sin1，f(x)2sin1的最小正周期T.(2)g(x)f1sin11sin2，x，2x，sin1，g
20、(x)，g(x)max2，g(x)min.例 44(2014山东模拟)已知向量a(cos xsin x，sin x)，b(cos xsin x，2cos x)(0)，函数f(x)ab的最小正周期为2.(1)求的值；(2)将函数yf(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求函数yg(x)在区间上的取值范围考点：函数yAsin(x)的图象变换；平面向量数量积的运算分析：(1)由条件利用两个向量的数量积公式、三角恒等变换，求得f(x)的解析式，再利用正弦函数的周期性求得的值，可确定函数的解析式(2)根据函数yAsin(x)的图象变换规律求得g(x)的解析式，再
21、利用正弦函数的定义域和值域求得函数yg(x)在区间上的取值范围解析：(1)f(x)ab(cos xsin x)(cos xsin x)sin x2cos xsin2xcos2xsin 2xcos 2xsin 2x2sin，再根据f(x)的周期为2，可得2，故f(x)2sin.(2)将f(x)2sin图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)2sin的图象0x，2x，sin，g(x)1，2点评：本题主要考查两个向量的数量积公式、三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，函数yAsin(x)的图象变换规律规律总结基本上每年高考都有一个解答题是三角函数、平面向量、解三角形的
22、综合问题这类问题，有时考查的重点是解三角形与三角函数的综合；有时考查的重点是三角函数(如例44)解答考查重点是三角函数的问题基本策略是：先利用简单的三角恒等变换的思想方法对其解析式化简，或先依据三角函数的图象特征确定其解析式，再化简，然后利用基本的三角函数性质分析解决有关问题因此我们必须熟练掌握基本的三角恒等变换思想方法变式训练【44】 (2015湖北襄阳五中质检)已知向量m(sin 2x，1)，向量n(cos 2x，0.5)，函数f(x)(mn)m.(1)求f(x)的最小正周期T；(2)已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a，c2，且f(A)恰是f(x)在上的最大值，求
23、A和b.解析：(1)f(x)(mn)msin22x1sin 2xcos 2x1sin 4xsin2，T.(2)由(1)知f(x)sin2，当x时，4x，当4x时f(x)取得最大值3，此时x.由f(A)3得A.由余弦定理，得a2b2c22bccos A，()2b22222bcos ，b3.(见学生用书P34)例 设函数f(x)sin(2x)(0)，yf(x)图象的一条对称轴是直线x.(1)求；(2)求函数yf(x)的单调增区间；(3)画出函数yf(x)在区间0，上的图象考场错解：(1)x是函数yf(x)的图象的对称轴，sin1，k，kZ.k，kZ，又0，.(2)由(1)知，因此ysin.最小正周
24、期为T，由题意得k2xk，kZ，解得kxk，kZ.所以函数ysin的单调递增区间为k，k，kZ.(3)略专家把脉：以上解答错在第(2)小题求函数单调区间时，令2x处，因若把2x看成一个整体u，则ysin u的周期为2.故应令2x2k，2k，kZ，解得的x的范围才是原函数的递增区间对症下药：(1)(方法1)x是函数yf(x)的图象的对称轴，sin1.k，kZ，k，kZ，0，0，|)的部分图象如图示，则将yf(x)的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为_解析：由图象知A1，T，T2，由sin1，|得f(x)sin，则图象向右平移个单位后得到的图象解析式为ysinsin.答案：ysin9(201
25、5黄石质检)已知tan 2，则的值为_解析：3.答案：310(2014武汉模拟)已知函数f(x)sin 2x2cos2xm在区间上的最大值为3，则(1)m_；(2)当f(x)在a，b上至少含有20个零点时，ba的最小值为_解析：(1)f(x)sin 2x2cos2xmsin 2xcos 2x1m21m2sinm1，x，2x，当2x，函数f(x)最大为2m13，m0.(2)f(x)2sin1，T，A2，函数的最大值是3、最小值是1.函数初相，在每个完整周期内，有2个0点在a，b上至少含有20个零点，10，即在a，b至多含有10个周期，可保证有20个零点ba的最小值是10.答案：0 三、解答题11
26、(2014广东卷)已知函数f(x)Asin，xR，且f.(1)求A的值；(2)若f()f()，求f.解析：(1)函数f(x)Asin，xR，且f，AsinAsinA，A.(2)由(1)可得f(x)sin，f()f()sinsin2sincos cos ，cos ，再由，可得sin .fsinsin()sin .12(2014长沙市一中模拟)设Ax|xk，kZ，已知a，bcos，3sin，(1)若，且a2b，求，的值；(2)若ab，其中，A，求tan tan 的值解析：(1)，a，b，由a2b，得sin0，k，k，kZ.(2)ab2cos23sin21cos()3cos()cos()，cos()
27、cos()，展开得2cos cos 2sin sin 3cos cos 3sin sin ，即5sin sin cos cos ，A，tan tan .13(2015湖北卷)某同学用“五点法”画函数f(x)Asin(x)(0，|)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x02xAsin(x)0550(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将yf(x)图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度，得到yg(x)的图象若yg(x)图象的一个对称中心为，求的最小值解析：(1)根据表中已知数据，解得A5，2，.数据补全如下表：x02xAsin(x)05050函数解析
28、式为f(x)5sin.(2)由(1)知，f(x)5sin，得g(x)5sin.因为ysin x的对称中心为(k，0)，kZ，所以令2x2k，解得x，kZ.由于函数yg(x)的图象关于点成中心对称，令，解得，kZ.由0可知，当k1时，取得最小值.14(2015山东卷)设f(x)sin xcos xcos2.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f0，a1，求ABC面积的最大值解析：由题意知f(x)sin 2x.由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ；由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间是(kZ)；单调递减区间是(kZ)(2)由fsin A0，得sin A，由题意知A为锐角，所以cos A.由余弦定理a2b2c22bccos A，可得1bcb2c22bc，即bc2，且当bc时等号成立因此bcsin A.所以ABC面积的最大值为.
