1、第2节古典概型 【选题明细表】知识点、方法题号古典概型的判断与基本事件1、3古典概型的概率计算2、5、9、11、12、13、15综合应用4、6、7、8、10、14、16一、选择题1.下列事件属于古典概型的基本事件的是(D)(A)任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为基本事件(B)篮球运动员投篮,观察其是否投中(C)测量某天12时的教室内温度(D)一先一后掷两枚硬币,观察正反面出现的情况解析:A项任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为基本事件,但各点数之和不是等可能的,例如和为2的概率为,和为3的概率为=,所以它不是等可能的,不是古典概型.B项显然事件“投中”和事件“未投中”发生的可能性不一定相等,所以
2、它也不是古典概型.C项其基本事件空间包含无限个结果,所以不是古典概型.D项含有4个基本事件,每个基本事件出现的可能性相等,符合古典概型,故选D.2.甲乙二人玩猜数字游戏,先由甲任想一数字,记为a,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙猜出的数字记为b,且a,b1,2,3,若|a-b|1,则称甲乙“心有灵犀”,现任意找两个人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为(D)(A)(B)(C)(D)解析:甲想一数字有3种结果,乙猜一种数字有3种结果,基本事件总数33=9.设甲乙“心有灵犀”为事件A,则A的对立事件B为“|a-b|1”,即|a-b|=2,包含2个基本事件,P(B)=,P(A)=1-=,故选D.3.中
3、国作家莫言被授予诺贝尔文学奖,成为有史以来首位获得诺贝尔文学奖的中国籍作家.某学校组织了4个学习小组.现从中抽出2个小组进行学习成果汇报,在这个试验中,基本事件的个数为(C)(A)2(B)4(C)6(D)8解析:设4个学习小组为A,B,C,D,从中抽出2个的可能情况有(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)共6种.故选C.4.从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于(D)(A)(B)(C)(D)解析:如图所示,从正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选4个顶点,可以看作随机选2个顶点,剩下的4个顶点构成四边形,有A、B,A、
4、C,A、D,A、E,A、F,B、C,B、D,B、E,B、F,C、D,C、E,C、F,D、E,D、F,E、F,共15种.若要构成矩形,只要选相对顶点即可,有A、D,B、E,C、F,共3种,故其概率为=,故选D.5.(2013年高考新课标全国卷)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(B)(A)(B)(C)(D)解析:从1,2,3,4中任取2个不同的数有六种情况:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足条件的有(1,3),(2,4),故所求概率是=.故选B.6.(2013银川模拟)抛掷两枚均匀的骰子,得到的点数分别为a,b,那
5、么直线+=1的斜率k-的概率为(D)(A)(B)(C)(D)解析:记a,b的取值为数对(a,b),由题意知a,b的所有可能取值有(1,1),(1,2),(1,6),(2,1),(2,2),(2,6),(3,1),(3,2),(3,6),(4,1),(4,2),(4,6),(5,1),(5,2),(5,6),(6,1),(6,2),(6,6),共36种.由直线+=1的斜率k=-,知,那么满足题意的a,b可能的取值为(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2),(6,3),共有9种,所以所求概率为=.故选D.7.(2013临沂模拟)已知A=1,2,
6、3,B=xR|x2-ax+b=0,aA,bA,则AB=B的概率是(C)(A)(B)(C)(D)1解析:AB=B,B可能为,1,2,3,1,2,2,3,1,3.当B=时,a2-4bn,又只剩下一半情况,即有15种,因此P(A)=.答案:9.(2013年高考新课标全国卷)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是.解析:从1,2,3,4,5中任意取两个不同的数共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)10种.其中和为5的有(1,4),(2,3)2种.由古典概型概率公式知所求概率为=.答案:10.已知关
7、于x的二次函数f(x)=ax2-4bx+1.设集合P=-1,1,2,3,4,5,Q=-2,-1,1,2,3,4,分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b,则函数y=f(x)在1,+)上是增函数的概率为.解析:分别从集合P、Q中各任取一个数,所有的可能情况有(-1,-2),(-1,-1),(-1,1),(-1,2),(-1,3),(-1,4),(1,-2),(1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,-2),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-2),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,-2),(4,-1),
8、(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(5,-2),(5,-1),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共36种,能使f(x)是增函数,需a0且1,所以其中符合上述条件的有(1,-2),(1,-1),(2,-2),(2,-1),(2,1),(3,-2),(3,-1),(3,1),(4,-2),(4,-1),(4,1),(4,2),(5,-2),(5,-1),(5,1),(5,2)共16种,P=.答案:11.(2013南京模拟)在集合A=2,3中随机取一个元素m,在集合B=1,2,3中随机取一个元素n,得到点P(m,n),则点P在圆x2+y2=9内部的概率为.解析:点P(m,
9、n)共有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),6种情况,只有(2,1),(2,2)这2个点在圆x2+y2=9的内部,所求概率为=.答案:12.(2012年高考浙江卷)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为的概率是.解析:如图所示,在正方形ABCD中,O为中心,从五个点中随机取两个,共有(O,A),(O,B),(O,C),(O,D),(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),10种等可能情况.正方形的边长为1,两点距离为的情况有(O,A),(O,B),(O,C),(O,D)4种,故P=.答案
10、:13.(2013年高考重庆卷)若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为.解析:甲、乙、丙三人随机地站成一排有6种方法:甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲,其中甲、乙相邻的有4种.故所求概率P=.答案:三、解答题14.已知向量a=(2,1),b=(x,y).若x-1,0,1,2,y-1,0,1,求向量ab的概率.解:设“ab”为事件A,由ab得x=2y.基本事件有(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(2,1),共包含12种等可能情况.其中A=(0,0),
11、(2,1),包含2个基本事件.则P(A)=,即向量ab的概率为.15.(2013滨州一模)甲、乙两名考生在填报志愿时都选中了A、B、C、D四所需要面试的院校,这四所院校的面试安排在同一时间.因此甲、乙都只能在这四所院校中选择一所做志愿,假设每位同学选择各个院校是等可能的,试求:(1)甲、乙选择同一所院校的概率;(2)院校A、B至少有一所被选择的概率.解:由题意可得,甲、乙都只能在这四所院校中选择一个做志愿的所有可能结果为:(甲A,乙A),(甲A,乙B),(甲A,乙C),(甲A,乙D),(甲B,乙A),(甲B,乙B),(甲B,乙C),(甲B,乙D),(甲C,乙A),(甲C,乙B),(甲C,乙C)
12、,(甲C,乙D),(甲D,乙A),(甲D,乙B),(甲D,乙C),(甲D,乙D),共16种.(1)其中甲、乙选择同一所院校有4种,所以甲、乙选择同一所院校的概率为=.(2)院校A、B至少有一所被选择的有12种,所以院校A、B至少有一所被选择的概率为=.16.(2013年高考天津卷)某产品的三个质量指标分别为x,y,z,用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级.若S4,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下:产品编号A1A2A3A4A5质量指标(x,y,z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)产品编号A6A7A8A9A
13、10质量指标(x,y,z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;(2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品,用产品编号列出所有可能的结果;设事件B为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S都等于4”,求事件B发生的概率.解:(1)计算10件产品的综合指标S,如下表:产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中S4的有A1,A2,A4,A5,A7,A9,共6件,故该样本的一等品率为=0.6,从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品的所有可能结果为A1,A2,A1,A4,A1,A5,A1,A7,A1,A9,A2,A4,A2,A5,A2,A7,A2,A9,A4,A5,A4,A7,A4,A9,A5,A7,A5,A9,A7,A9,共15种.在该样本的一等品中,综合指标S等于4的产品编号分别为A1,A2,A5,A7,则事件B发生的所有可能结果为A1,A2,A1,A5,A1,A7,A2,A5,A2,A7,A5,A7,共6种.所以P(B)=.
