1、第五节对数与对数函数授课提示：对应学生用书第23页基础梳理1对数的概念如果axN(a0，且a1)，那么x叫作以a为底N的对数，记作xlogaN2对数的性质与运算法则(1)对数的性质loga10；logaa1(2)对数恒等式alogaNN(其中a0且a1)(3)对数的换底公式logbN(a，b均大于零且不等于1，N0)(4)对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)3对数函数的定义、图像与性质定义函数ylogax(a0，且a1)叫作对数函数图像a10a1性质定义域：(0，)值域：(，)当x1时
2、，y0，即过定点(1，0)当0x1时，y0；当x1时，y0当0x1时，y0；当x1时，y0在(0，)上为增函数在(0，)上为减函数4.反函数指数函数yax(a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数，它们的图像关于直线yx对称1换底公式的三个重要结论(1)logab；(2)logambnlogab；(3)logablogbclogcdlogad.2对数函数的图像与底数大小的比较如图，作直线y1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数故0cd1ab.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大四基自测1(基础点：对数运算)lg 2lg 5()A10B1Clg
3、7Dlg 2 lg 5答案：B2(基础点：对数函数的图像)yln|x|的图像为()答案：B3(基础点：对数函数性质)alog23.4，blog82，clog0.32.7由大到小的排列顺序为_答案：abc4(易错点：对数函数单调区间与定义域)函数y2ln(x1)的递增区间为_答案：(1，)授课提示：对应学生用书第24页考点一对数式的化简与求值挖掘1直接利用对数性质计算/ 自主练透例1(1)(2020洛阳市尖子生联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，f(x1)f(1x)，且当x0，1时，f(x)log2(x1)，则f(31)()A0B1C1 D2解析由f(x1)f(1x)及f(x
4、)f(x)，得f(x2)f(x1)1f1(x1)f(x)f(x)，则f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，函数f(x)是以4为周期的周期函数，f(31)f(481)f(1)f(1)log2(11)1，故选C.答案C(2)(2018高考全国卷)已知函数(x)ln(x)1，(a)4，则(a)_解析(x)(x)ln(x)1ln(x)1ln(1x2x2)22，(a)(a)2，(a)2.答案2(3)lg lg _答案1挖掘2利用指数与对数的转化求值/ 互动探究例2(1)设x，y，z为正数，且2x3y5z，则()A2x3y5z B5z2x3yC3y5z2x D3y2x1，xlog2k，ylog3k，z
5、log5k.2x3y2log2k3log3k0，2x3y；3y5z3log3k5log5k0，3y5z；2x5z2log2k5log5k2x.5z2x3y，故选D.答案D(2)(2019高考北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足m2m1 lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k1，2)已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A1010.1 B10.1Clg 10.1 D1010.1解析由题意知，m126.7，m21.45，代入所给公式得1.45(26.7)lg ，所以lg10.1，所以1010.1.故选A.答案
6、A破题技法对数的运算方法，主要有两种方法：一是对数式转化为指数式；二是利用对数运算法则，进行变形：(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并，正确使用幂的运算法则(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算，正确使用对数的运算法则(3)注意指数式与对数式的相互转化关系将例2(1)变为：设2a5bm，且2，则m_解析：alog2m，blog5m.logm2logm5logm10.logm102，m210，m.答案：考点二对数函数的图像及应用挖掘1辨认对数型图
7、像/ 自主练透例1(1)(2018高考全国卷)下列函数中，其图像与函数yln x的图像关于直线x1对称的是()Ayln(1x)Byln(2x)Cyln(1x) Dyln(2x)解析函数y(x)的图像与函数y(ax)的图像关于直线x对称，令a2可得与函数yln x的图像关于直线x1对称的是函数yln(2x)的图像故选B.答案B(2)(2019高考浙江卷)在同一直角坐标系中，函数 y，yloga(a0，且a1)的图像可能是()解析当0a1时，函数yax的图像过定点(0，1)，在R上单调递增，于是函数y的图像过定点(0，1)，在R上单调递减，函数yloga的图像过定点，在上单调递增显然A、B、C三个
8、选项都不符合故选D.答案D挖掘2利用对数型图像求参数/ 互动探究例2当0x时，4xlogax，则a的取值范围是()A.B.C(1，) D(，2) 解析由题意得，当0a1时，要使得4xlogax，即当0x时，函数y4x的图像在函数ylogax图像的下方又当x时，42，即函数y4x的图像过点，把点代入函数ylogax，得a，若函数y4x的图像在函数ylogax图像的下方，则需a1(如图所示)当a1时，不符合题意，舍去所以实数a的取值范围是.答案B破题技法1.(1)ylogxlogax，故与ylogax的图像关于x轴对称(2)在第一象限，顺时针方向看对数的底逐渐变大2应用对数型函数的图像可求解的问题
9、(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解求参数时往往使其中一个函数图像“动起来”，找变化的边界位置，得参数范围与绝对值相联系的函数图像y|logax|(a1)的图像如图(1)yloga|x|(a1)的图像如图(2)y|loga|x|(a1)的图像如图(3)将例2变为：若不等式x2logax0对x恒成立，求实数a的取值范围解析：显然0a1，当ylogax过点时，即loga，a，如图，显然满足x2logax0，令ylogax绕(1，0)顺
10、时针转动时，满足x2logax0，a1.考点三对数函数的性质及其应用挖掘1与对数大小有关的问题/ 互动探究例1(1)ab的充分不必要条件是()Aln(ab)0B3a3bCa3b30 D|a|b|解析Aln(ab)0，ab10，ab.但ab时ab1，故abln(ab)0.Ca3b30a3b3ab.B、D是既不充分也不必要故选A.答案A(2)已知为圆周率，e为自然对数的底数，则()Ae3e B3e23e2Clogelog3e Dlog3e3loge解析对于选项A，函数yxe在(0，)上单调递增，所以e3e，故选项A错误对于选项B，3e23e2，两边同时除以3可得3e3e3，由函数yxe3在(0，)
11、上单调递减可得选项B错误对于选项C，由logelog3e可得，所以ln ln 3，而函数yln x在(0，)上单调递增，故选项C错误对于选项D，由log3 e3log e可得，所以ln 3ln 3，所以33，故选项D正确故选D.答案D破题技法1.(1)形如函数ylogaf(x)求定义域，要在a0，a1的前提下，使f(x)0.(2)判断ylogaf(x)型的奇偶性要结合对数的运算：logaf(x)logaf(x)及logaf(x)logaf(x)，其单调性利用复合函数ylogan，nf(x)的单调性的法则2比较对数式大小的类型及相应的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断
12、；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较(3)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较挖掘2与对数有关的不等式/ 互动探究例2(1)已知函数f(x)loga(8ax)(a0，a1)，若f(x)1在区间1，2上恒成立，则实数a的取值范围为_解析当a1时，f(x)loga(8ax)在1，2上是减函数，由f(x)1恒成立，则f(x)minloga(82a)1，解得1a.若0a1时，f(x)在x1，2上是增函数，由f(x)1恒成立，则f(x)minloga(8a)1，08aa，4a8无解综上a的范围为(1，)答案(2)解不
13、等式2loga(x4)loga(x2)解析当a1时，原不等式等价于解得，x6；当0a1时，原不等式等价于解得，4x6.所以当a1时，不等式的解集为(6，)；当0a1时，不等式的解集为(4，6)破题技法1.求形如ylogaf(x)的单调区间，首先求定义域：f(x)0，同时结合复合函数“同增异减”的法则2解对数不等式的类型及方法(1)形如logaxlogab的不等式，借助ylogax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论(2)形如logaxb的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式设函数f(x)若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是()A(1，0)(0，1)B(，1)(1，)C(1，0)(1，) D(，1)(0，1)解析：由题意可得或解得a1或1a0.答案：C