1、高二上学期期中测试数学试题一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分）1. 已知向量，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出向量的坐标，利用空间向量的减法运算可得答案【详解】，故选：A2. 若点，三点共线，则（ ）A. 2B. 4C. 3D. 5【答案】D【解析】【分析】三点共线，即，利用平面向量共线的坐标表示列方程解出【详解】点，三点共线，则，解得故选：D3. 抛物线的焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化简抛物线方程，进而求出焦点坐标【详解】抛物线方程可化简为所以焦点坐标为故选：D4. 两条平行直线与间的距离为（ ）A. B. C.
2、D. 【答案】C【解析】由直线平行的充要条件可得：，结合平行线之间的距离公式可得，两条平行直线6与间的距离为：.本题选择C选项.5. 已知点，直线与椭圆相交于两点，则的周长为（ ）A. 2B. 8C. 12D. 16【答案】B【解析】【分析】直线过定点，由椭圆定义可得，进而可求出结果【详解】由椭圆，可知，直线过定点，所以、是椭圆的焦点，由椭圆定义知：，的周长为，故选：6. 已知椭圆的左、右焦点分别为 为椭圆上一动点，面积的最大值为，则椭圆的离心率为（ ）A. B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题得当M在椭圆短轴端点时，面积取最大值，解方程=即得解.【详解】由题得当M在椭圆短轴端点
3、时，面积取最大值，解方程=,所以a=2c,即.故选A【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，考查离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7. 若圆关于直线2x-y+3=0对称，则k等于（ ）A. B. -C. 3D. -3【答案】B【解析】【分析】由题意可求得圆心坐标，圆关于直线对称，即直线过圆心，代入坐标，即可求解.【详解】由题意知，圆的圆心为(k，0)，圆关于直线2x-y+3=0对称，即直线2x-y+3=0过圆心(k，0)，所以2k+3=0，k=-.答案：B【点睛】本题考查圆的对称性，考查分析理解，数形结合的能力，属基础题.8. 若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的
4、弦长为2，则的离心率为 （ ）A 2B. C. D. 【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，即，整理可得，双曲线的离心率故选A点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a，c，代入公式；只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2c2a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)二、多选题(本题共4题，每题5分，共20分，四个选项中全部选对得5分，部分选对得2分，选错得0分)9
5、. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】分两种情况求解，过原点时和不过原点时，结合所过点的坐标可求.【详解】当直线过坐标原点时，直线方程为；当直线不过坐标原点时，设直线方程为，代入点可得，即.故选：AC.【点睛】直线在两坐标轴上截距相等时，有两种情况：一是直线经过坐标原点；二是直线斜率为.10. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是（ ）A. B. C. 向量与的夹角是60D. 与AC所成角的余弦值为【答案】AB【解析】【分析】直接用空间向量的基本定理，
6、向量的运算对每一个选项进行逐一判断.【详解】以顶点A为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60，可设棱长为1,则 而， 所以A正确. =0,所以B正确.向量,显然 为等边三角形，则.所以向量与的夹角是 ,向量与的夹角是,则C不正确又， 则， 所以，所以D不正确.故选：AB【点睛】本题考查空间向量的运算，用向量求夹角等，属于中档题.11. 下列说法正确的是（ ）A. 双曲线的渐近线方程是B. 双曲线的离心率C. 双曲线的焦点到渐近线的距离是D. 双曲线，直线与双曲线交于两点，若的中点坐标是，则直线的方程为【答案】BCD【解析】【分析】A. 根据双曲线方程得到和焦点的位置判断；B. 根据双曲
7、线方程得到判断；C.根据双曲线方程，得到焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离求解判断；D. 设，则，利用点差法求解判断.【详解】A. 因为双曲线，所以，焦点在y轴上，所以渐近线方程是，故错误；B.因为双曲线，所以，所以离心率，故正确；C.因为双曲线，所以焦点坐标为，渐近线方程为，所以焦点到渐近线的距离为 ，故正确；D. 设，则，两式相减得：，因为的中点坐标是，所以直线的斜率为。所以直线的方程为，故正确；故选：BCD12. 如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点是在第一象限的公共点，设方程为，则有（ ）A. B. 的内切圆与轴相切于点C. 若，则的离心率为D. 若，则椭圆方程为【答案】BCD【解
8、析】【分析】利用双曲线和椭圆的定义求解.【详解】由双曲线的方程可知,所以，故A不正确；由双曲线的定义可知，如图，由内切圆的性质可得,由,所以,故的内切圆与轴相切于点，故B正确；因为，所以；结合椭圆的定义可知，所以，离心率为，故C正确；若，则，又，所以，即，所以，所以，所以，又，所以，椭圆方程为.故选：BCD【点睛】本题主要考查共焦点的椭圆和双曲线的相关性质：椭圆与双曲线有公共焦点,为椭圆与双曲线的交点则:(1) ；(2) ；(3) .三、填空题（本题共4题，每空5分，共20分）13. 已知点，点P在x轴上且为直角，则点P的坐标是_【答案】或【解析】【分析】设，因为，所以由勾股定理可得,将表达式
9、化简求解即可.【详解】设，因为，所以由勾股定理可得，即，解得或，所以点的坐标是或.故答案为或.【点睛】这个题目考查了两点间距离公式的应用，也用到了垂直关系的坐标表示，将几何关系转化为代数关系.14. 双曲线上一点，其焦点为，则的面积为_.【答案】16【解析】【分析】设，由双曲线定义和勾股定理可得，求出，即可得出面积.【详解】设为双曲线右支上一点，由双曲线方程可得，则由双曲线的定义可得，则，解得，.故答案为：16.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线焦点三角形面积的求解，解题的关键是正确理解双曲线的定义，能根据条件得出，进而求解.15. 过点作圆的切线，则此切线的方程为_.【答案】或【解析】【分析】
10、由题意先判断点与圆的位置关系，然后分切线的斜率存在与否讨论，如斜率存在，设切线斜率为，表示出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径得到关于的方程，解得即可求出直线方程【详解】因为，所以点在圆外.若所求切线的斜率存在，设切线斜率为，则切线方程为，因为圆心到切线的距离等于半径，半径为1，所以，即，所以，解得，所以切线方程为，即.若所求切线的斜率不存在，圆心到直线的距离也为1，此时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是.综上，所求切线方程为或.【点睛】本题给出圆的方程，求圆在点处的切线方程，着重考查了圆的标准方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题16. 如果实数满足等式，那么的最大值是_，如果实数
11、满足等式，那么的最大值是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】设表示经过原点的直线，为直线的斜率那么的最大值等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值；化为圆的标准方程，求得圆心和半径，再由几何意义即得【详解】设表示经过原点的直线，为直线的斜率那么的最大值等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值如图所示：斜率最大时对应的直线斜率为正，且直线与圆相切此时的斜率即的正切值，又 由勾股定理求得 ，即的最大值是；由可得：，而的几何意义是圆上的动点到原点距离的平方，又圆心 到原点的距离为 ，则圆上的动点到原点距离的最大值为，则的最大值为故答案为：；四、解答题（本题6道题，共7
12、0分）17. 已知点和（1）求直线AB的斜率和AB的中点M的坐标；（2）若圆C经过A，B两点，且圆心在直线上，求圆C的方程.【答案】（1）直线AB的斜率为1，AB的中点M的坐标为；（2）.【解析】【分析】（1）利用斜率公式和中点坐标公式即可计算出；（2）设圆心C为，半径为r，根据条件可计算出.【详解】（1）由点和，得，直线AB的斜率为1，AB的中点M的坐标为；（2）设圆心C为，半径为r，圆心在直线上，则点C为，由题意可得，即，解得，.圆C的标准方程为.【点睛】本题考查两点求斜率和中点坐标，考查圆的方程的求法，属于基础题.18. 已知椭圆经过（1）求椭圆的方程；（2）若直线交椭圆于不同两点是坐标
13、原点，求的面积.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】(1)将两点坐标代入椭圆方程中，求出的值，可求出椭圆的方程；(2)直线方程与椭圆方程联立，消去，得到一元二次方程，解这个方程，求出两点的纵坐标，设直线与轴交于点，利用进行求解【详解】(1)由题意得: , 解得: 即轨迹E的方程为 (2)记，故可设的方程为由消去得， 所以 设直线与轴交于点19. （1）求动圆圆心的轨迹方程；（2）动圆与定圆外切，且与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将动圆方程转化为标准方程，得到圆心，然后令，消去m求解. （2）根据动圆与定圆外切，且与直线相切，得到动点M到的距离与
14、到直线的距离相等，利用抛物线的定义求解.【详解】（1）动圆化为标准方程为： ，圆心为：，令，消去m得：，所以动圆圆心的轨迹方程是；（2）定圆化为标准方程为：，圆心为，因为动圆与定圆外切，且与直线相切，所以动点到的距离与到直线的距离相等，所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，所以其轨迹方程为.20. 如图，在四棱锥中，平面平面，且是边长为2的等边三角形，四边形是矩形，为的中点.（1）证明：；（2）求二面角的大小；（3）求点到平面距离.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，根据面面垂直的性质可知平面，从而，由勾股定理可求得，又，满足线面垂直的判
15、定定理则平面，根据线面垂直的性质可知；（2）由（）可知，根据二面角平面角的定义可知是二面角的平面角，然后在三角形中求出此角即可；（3）设点到平面的距离为，连接，则根据等体积得，建立关于的等式解之即可得到点到平面的距离【详解】（1）取的中点，连接、为正三角形，平面平面，平面四边形是矩形、均为直角三角形由勾股定理可求得：，又平面（2）由（1）可知，是二面角的平面角二面角为（3）设点到平面的距离为，连接，则，而，在中，由勾股定理可求得，所以：即点到平面的距离为.【点睛】方法点睛：求点到平面的距离常用的方法有：（1）几何法：找作证指求；（2）向量法：利用向量中点到平面的距离公式求解；（3）等体积法：根
16、据体积相等求出点到平面的距离.21. 已知双曲线过点(3，2)且与椭圆4x29y236有相同的焦点(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|MF2|6，试判别MF1F2的形状【答案】（1）； （2）钝角三角形.【解析】【分析】(1)设双曲线方程为，由题得且c=，解方程组即得双曲线的标准方程.(2) 不妨设M点在右支上，则有|MF1|MF2|2 ，求得|MF1|4，|MF2|2，|F1F2|2，再利用余弦定理判定MF1F2为钝角三角形【详解】(1)椭圆方程可化为，焦点在x轴上，且c，故设双曲线方程为，则有解得a23，b22.所以双曲线的标准方程为.(2
17、)不妨设M点在右支上，则有|MF1|MF2|2 ，又|MF1|MF2|6，故解得|MF1|4，|MF2|2，又|F1F2|2，因此在MF1F2中，|MF1|边最长，而cos MF2F1 ，所以MF2F1为钝角，故MF1F2为钝角三角形【点睛】（1）本题主要考查双曲线的标准方程的求法，考查双曲线的简单几何性质和余弦定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. (2)求双曲线的方程，一般利用待定系数法，先定位，后定量.22. 双曲线C：右支上的弦过右焦点.（1）求弦的中点的轨迹方程；（2）是否存在以为直径的圆过原点O？，若存在，求出直线的斜率的值.若不存在，则说明理由.【答案】（1），（
18、）；（2）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）求出右焦点为，直线斜率不存在时，与重合，斜率存在时设方程为设，中点为，由直线方程与双曲线方程联立消元后应用韦达定理得，由均在右支得的取值范围，由中点坐标公式得，再利用，消去可得点轨迹方程，同时注意变量的范围（2）假设存在，则有，由（1）代入计算，方程无实数，说明不存在【详解】（1）双曲线的标准方程是，所以，所以双曲线的右焦点为，直线与轴垂直时，与右焦点重合，直线与轴不垂直时，设其方程为设，中点为，由得，此方程恒有解，因为都在双曲线右支上，所以，所以，或，又，消去得，又或，即，所以点轨迹方程，而点也适合此式，综上，点轨迹方程为（2）假设存在以为直径的圆过原点O，则，即，由（1），此方程无实数解所以不存在以为直径的圆过原点O【点睛】本题考查求双曲线的焦点弦中点轨迹方程，考查存在性命题的探讨解题方法是“设而不求”的思想方法本题求轨迹方程的方法是消参法，即以直线的斜率为参数，建立中点的坐标与参数的关系，然后两者结合消去参数即得轨迹方程
