1、6.2.3向量的数乘运算课后训练提升基础巩固1.下列说法中正确的是()A.a与a的方向不是相同就是相反B.若a,b共线,则b=aC.若|b|=2|a|,则b=2aD.若b=2a,则|b|=2|a|解析显然当b=2a时,必有|b|=2|a|.答案D2.3(2a-4b)等于()A.5a+7bB.5a-7bC.6a+12bD.6a-12b解析利用向量数乘的运算律,可得3(2a-4b)=6a-12b.故选D.答案D3.已知a=5e,b=-3e,c=4e,则2a-3b+c=()A.5eB.-5eC.23eD.-23e解析2a-3b+c=25e-3(-3e)+4e=23e.答案C4.已知e1,e2是不共线
2、向量,则下列各组向量中是共线向量的有()a=5e1,b=7e1;a=12e1-13e2,b=3e1-2e2;a=e1+e2,b=3e1-3e2.A.B.C.D.解析中,a与b显然共线;中,因为b=3e1-2e2=612e1-13e2=6a,故a与b共线;中,设b=3e1-3e2=k(e1+e2),得3=k,-3=k无解,故a与b不共线.故选A.答案A5.已知a,b是不共线的向量,AB=a+2b,AC=a+(-1)b,且A,B,C三点共线,则实数的值为()A.-1B.2C.-2或1D.-1或2解析因为A,B,C三点共线,所以存在实数k使AB=kAC.因为AB=a+2b,AC=a+(-1)b,所以
3、a+2b=ka+(-1)b.因为a与b不共线,所以=k,2=k(-1),解得=2或=-1.答案D6.设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EB+FC等于()A.BCB.12ADC.ADD.12BC解析如图,EB+FC=EC+CB+FB+BC=EC+FB=12(AC+AB)=122AD=AD.答案C7.已知m,n是实数,a,b是向量,则下列说法中正确的是()m(a-b)=ma-mb;(m-n)a=ma-na;若ma=mb,则a=b;若ma=na,则m=n.A.B.C.D.解析和正确;中,若m=0,则不能推出a=b,错误;中,若a=0,则m,n没有关系,错误.正确,故选B.答案B
4、8.(a+9b-2c)+(b+2c)=.答案a+10b9.设向量a,b不平行,向量a+b与a+2b平行,则实数=.解析向量a,b不平行,a+2b0,又向量a+b与a+2b平行,则存在唯一的实数,使a+b=(a+2b)成立,即a+b=a+2b,则=,1=2,解得=12.答案1210.计算:(1)6(3a-2b)+9(-2a+b);(2)12(3a+2b)-23a-b-7612a+37b+76a;(3)6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c).解(1)原式=18a-12b-18a+9b=-3b.(2)原式=123a-23a+2b-b-7612a+12a+37b=1273a+b-76a
5、+37b=76a+12b-76a-12b=0.(3)原式=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c=(6a-4a+4a)+(8b-6b)+(6c-4c-2c)=6a+2b.11.已知e1,e2是两个非零不共线的向量,a=2e1-e2,b=ke1+e2,若a与b是共线向量,求实数k的值.解由题意知a0.a与b是共线向量,存在实数,使a=b,2e1-e2=(ke1+e2)=ke1+e2,k=2,=-1,解得k=-2,=-1,k=-2.能力提升1.已知ABC三个顶点A,B,C及平面内一点P,若PA+PB+PC=AB,则()A.点P在ABC内部B.点P在ABC外部C.点P在AB边所在的直线上D.
6、点P在线段AC上解析PA+PB+PC=PB-PA,PC=-2PA,点P在线段AC边上.答案D2.如图,在ABC中,AB=a,AC=b,DC=3BD,AE=2EC,则DE等于()A.-13a+34bB.512a-34bC.34a+13bD.-34a+512b解析DE=DC+CE=34BC+-13AC=34(AC-AB)-13AC=-34AB+512AC=-34a+512b.故选D.答案D3.如图,AB是O的直径,点C,D是半圆弧AB上的两个三等分点,AB=a,AC=b,则AD等于()A.a-12bB.12a-bC.a+12bD.12a+b解析连接CD,OD,如图.点C,D是半圆弧AB上的两个三等
7、分点,AC=CD,CAD=DAB=1390=30.OA=OD,ADO=DAO=30.CAD=ADO=30,ACDO.由AC=CD,得CDA=CAD=30.CDA=DAO.CDAO.四边形ACDO为平行四边形.AD=AO+AC=12AB+AC=12a+b.答案D4.如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若AC=a,BD=b,则AF等于()A.14a+12bB.13a+23bC.12a+14bD.23a+13b解析DEFBEA,DFAB=DEEB=13,DF=13AB,AF=AD+DF=AD+13AB.AC=AB+AD=a,BD=AD-A
8、B=b,AB=12(a-b),AD=12(a+b),AF=12(a+b)+16(a-b)=23a+13b.答案D5.已知在ABC中,点M满足MA+MB+MC=0,若存在实数m使得AB+AC=mAM成立,则m=.解析MA+MB+MC=0,点M是ABC的重心.AB+AC=3AM,m=3.答案36.设a,b是两个不共线的非零向量,若向量ka+2b与8a+kb的方向相反,则k=;若向量ka+2b与8a+kb的方向相同,则k=.答案-447.如图所示,在平行四边形ABCD中,点M是AB的中点,点N在BD上,且BN=13BD.求证:M,N,C三点共线.证明设BA=a,BC=b,则由向量减法的三角形法则可知
9、CM=BM-BC=12BA-BC=12a-b.又N在BD上,且BD=3BN,BN=13BD=13(BC+CD)=13(a+b),CN=BN-BC=13(a+b)-b=13a-23b=2312a-b,CN=23CM,又直线CN与CM有公共点C,M,N,C三点共线.8.在ABC中,点D和E分别在BC,AC上,且BD=13BC,CE=13CA,AD与BE相交于点R,求证:RD=17AD.证明设AR=mAD.AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13(AC-AB)=23AB+13AC,AR=23mAB+13mAC.CE=13CA,AE=23AC,BE=AE-AB=23AC-AB,BR=AR-AB=23m-1AB+13mAC.B,R,E三点共线,BR=nBE,即23m-1AB+13mAC=23nAC-nAB,23m-1+nAB=23n-13mAC.AB与AC不共线,23m-1+n=0,23n-13m=0,解得m=67,n=37.AR=67AD.RD=17AD.