1、6.1平面向量的概念课后训练提升基础巩固1.下列说法不正确的是()A.向量的模是一个非负实数B.任何一个非零向量都可以平行移动C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D.两个有共同起点且共线的向量终点也必相同答案D2.如图在34的格点图(每个小方格都是单位正方形)中,若起点和终点都在方格的顶点处,则与AB平行且模为2的向量共有()A.12个B.18个C.24个D.36个解析由题图知,与AB平行且模为2的向量共有24个.答案C3.下列命题中,正确的个数是()单位向量都共线;长度相等的向量都相等;共线的单位向量必相等;与非零向量a共线的单位向量只能是a|a|.A.3B.2C.1D.0解析根
2、据单位向量、共线向量、相等向量的概念,可知明显错误,对于,与非零向量a共线的单位向量是a|a|或-a|a|,也是错误的.故选D.答案D4.如图,在ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,图中与AE平行的向量有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析根据向量的基本概念可知与AE平行的向量有BE,FD,FC,共3个.答案C5.在ABC中,AB=AC,D,E分别是AB,AC的中点,则()A.AB与AC共线B.DE与CB共线C.AD与AE相等D.AD与BD相等解析如图,因为D,E分别是AB,AC的中点,由三角形的中位线定理可得DEBC.故DE与CB共线.答案B6.下列说法中,正确的是()A.若|a
3、|=1,则a=1B.若|a|=|b|且ab,则a=bC.若a=b,则abD.若a0,则|a|=0解析选项A显然错误;两个共线向量的模相等,但这两个向量不一定相等,故选项B错误;a=b向量a与b的方向相同ab,故选项C正确;0与任一向量平行,故a0|a|=0,选项D错误.答案C7.已知|AB|=1,|AC|=2,若ABC=90,则|BC|=.解析由勾股定理可知,BC=AC2-AB2=3,所以|BC|=3.答案38.设a0,b0是两个单位向量,则下列结论中正确的是.(填序号)a0=b0;a0=-b0;|a0|+|b0|=2;a0b0.解析因为a0,b0是单位向量,所以|a0|=1,|b0|=1.所
4、以|a0|+|b0|=2.答案9.给出下列四个条件:a=b;|a|=|b|;a与b方向相反;|a|=0或|b|=0.其中能使ab成立的条件是.(填序号)解析若a=b,则a与b大小相等且方向相同,则ab,满足;若|a|=|b|,则a与b的大小相等,而方向不确定,因此不一定有ab,不满足;方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若a与b方向相反,则有ab,满足;零向量与任意向量平行,若|a|=0或|b|=0,则ab,满足.答案10.在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AD,BC的中点,如图.(1)写出与向量FC共线的向量;(2)求证:BE=FD.(1)解由共线向量满足的条件得,与向量FC共线的向量
5、有:CF,BC,CB,BF,FB,ED,DE,AE,EA,AD,DA.(2)证明在平行四边形ABCD中,ADBC.又E,F分别为AD,BC的中点,EDBF,四边形BFDE是平行四边形,BEFD,BE=FD.11.已知在四边形ABCD中,AB=DC,且|AB|=|AC|,tan D=3,判断四边形ABCD的形状.解在四边形ABCD中,AB=DC,四边形ABCD是平行四边形.tan D=3,D(0,),B=D=60.又|AB|=|AC|,ABC是等边三角形.AB=BC,四边形ABCD是菱形.能力提升1.若a为任一非零向量,b为模为1的向量,下列各式:|a|b|;ab;|a|0;|b|=1,其中正确
6、的是()A.B.C.D.解析a为任一非零向量,故|a|0.答案B2.如图,在菱形ABCD中,BAD=120,则以下说法错误的是()A.与AB相等的向量只有一个(不含AB)B.与AB的模相等的向量有9个(不含AB)C.BD的模恰为DA的模的3倍D.CB与DA不共线解析由于AB=DC,因此与AB相等的向量只有DC,而与AB的模相等的向量有DA,DC,AC,CB,AD,CD,CA,BC,BA.因此选项A,B正确;在RtAOD中,ADO=30,|DO|=32|DA|,故|DB|=3|DA|,因此选项C正确;因为CB=DA,所以CB与DA是共线的,故选项D错误.答案D3.如图,在梯形ABCD中,对角线A
7、C与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,且EFAB,则下列等式成立的是()A.AD=BCB.AC=BDC.PE=PFD.EP=PF解析根据相等向量的定义,分析可得,选项A,B中等式不成立;选项C中,PE与PF方向相反,故PE=PF不成立;D中,EP与PF方向相同,且长度都等于线段EF长度的一半,故EP=PF成立.答案D4.已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点,则|PD|AD|的值为()A.12B.13C.1D.2解析因为四边形ABPC是平行四边形,D为对角线BC与AP的交点,所以D为PA的中点,所以|PD|AD|的值为1.答案C5.若四边形ABCD满足AD=BC,且
8、|AC|=|BD|,则四边形ABCD是.(填四边形ABCD的形状)解析AD=BC,ADBC,且|AD|=|BC|,四边形ABCD是平行四边形.又由|AC|=|BD|知该平行四边形对角线相等,故四边形ABCD是矩形.答案矩形6.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量AB是平行向量,与BC是共线向量,则m=.解析平行向量又叫共线向量,而与不共线向量AB,BC都共线的向量只能是零向量.答案07.如图,D,E,F分别是等边三角形ABC各边的中点.图中所示向量与向量FD相等的向量是,图中所示向量与向量DE共线的向量是.答案CE,EBAC,AF,FC8.一辆消防车从A地去B地执行任务,先从A地向北偏东30方向行驶2千米到D地,然后从D地沿北偏东60方向行驶6千米到达C地,从C地又向南偏西30方向行驶2千米才到达B地.(1)画出AD,DC,CB,AB;(2)求B地相对于A地的位置向量.解(1)画出向量AD,DC,CB,AB如图所示.(2)由题意知AD=BC,ADBC,则四边形ABCD为平行四边形,AB=DC,则B地相对于A地的位置向量为“北偏东60,6千米”.