1、广东省惠州一中等六校2015届高三上学期第一次联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1（5分）集合A=x|2x2，B=0，2，4，则AB=（）A0B0，2C0，2D0，1，22（5分）已知复数z的实部是1，虚部是2，则zi（其中i为虚数单位）在复平面对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）函数f（x）=loga（2x1）（a0且a1）的定义域是（）A（0，+）B（，0）C（，1）D（1，+）4（5分）圆x2+y22x2y=0上的点到直线x+y+2=0的距离最大为（）AB2C3D2+2
2、5（5分）“平面向量，平行”是“平面向量，满足=|”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6（5分）一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（）A3BC2D7（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z=2x+4y+1的最小值是（）A14B1C5D98（5分）已知|=3，|=6，且+与垂直，则与的夹角是（）A30B90C45D1359（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，若S3=9，S5=25，则S7=（）A41B48C49D5610（5分）定义在R上的奇函数f（x）和定义在x|x0上的偶函数g（x）分别满足f（x）=，g（x）=log2x
3、（x0），若存在实数a，使得f（a）=g（b）成立，则实数b的取值范围是（）A2，2B2，2C，0）（0，D（，22，+）二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分其中1415题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分（一）必做题（1113题）11（5分）已知ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2，B=135，SABC=4，则b=12（5分）阅读如图所示的程序框图若使输出的结果不大于31，则输入的整数i的最大值为13（5分）若不等式+a对任意的x（0，1）恒成立，则a的最大值是（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】1
4、4在极坐标系中，直线sin=m与圆=4cos相切于极轴上方，则m=【几何证明选讲选做题】15（5分）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上异于A，B的点，CDAB，垂足为D若AD=2，BC=2，则半圆O的面积为三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知函数f（x）=A（sincos+cossin）（A0，0）的最大值是2，且f（0）=2（1）求的值；（2）已知锐角ABC的三个内角分别为A，B，C，若f（2A）=，f（2B+）=，求f（2C）的值17（12分）某体育杂志针对2014年巴西世界杯发起了一项调查活动，调查“各球队在世界杯的名次与该队
5、历史上的实力和表现有没有关系”，在所有参与调查的人中，持“有关系”“无关系”“不知道”态度的人数如表所示：有关系无关系不知道40岁以下80045020040岁以上（含40岁）100150300（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从持“有关系”态度的人中抽取45人，求n的值，并求从持其他两种态度的人中应抽取的人数；（2）在持“不知道”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任选取2人，求至少一人在40岁以下的概率18（14分）如图，直角梯形ABCD中，ABCD，AB=CD，ABBC，平面ABCD平面BCE，BCE为等边三角形，M，F分别是BE，BC的中
6、点，DN=DC（1）证明：EFAD；（2）证明：MN平面ADE；（3）若AB=1，BC=2，求几何体ABCDE的体积19（14分）已知各项均为正数的等差数列an满足：anan+1=4n21（nN*），各项均为正数的等比数列bn满足：b1+b2=3，b3=4（1）求数列an和bn的通项公式；（2）若数列cn满足：cn=，其前n项和为Sn，证明1Sn620（14分）已知抛物线C：x2=2py（p0）与直线y=x1相切，且知点F（0，1）和直线l：y=1，若动点P在抛物线C上（除原点外），点P处的切线记为m，过点F且与直线PF垂直的直线记为n（1）求抛物线C的方程；（2）求证：直线l，m，n相交于同
7、一点21（14分）已知函数f（x）=（x2）ex和g（x）=kx3x2（1）若函数g（x）在区间（1，2）不单调，求k的取值范围；（2）当x0，+）时，不等式f（x）g（x）恒成立，求k的最大值广东省惠州一中等六校2015届高三上学期第一次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1（5分）集合A=x|2x2，B=0，2，4，则AB=（）A0B0，2C0，2D0，1，2考点：交集及其运算 专题：集合分析：由A与B，求出两集合的交集即可解答：解：A=x|2x2，B=0，2，4，AB=0，2故选：
8、B点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）已知复数z的实部是1，虚部是2，则zi（其中i为虚数单位）在复平面对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义 专题：数系的扩充和复数分析：由（1+2i）i，化为a+bi的形式，即可判断复数在复平面内对应的点所在的象限解答：解：复数z的实部是1，虚部是2，zi=（1+2i）i=2i，zi在复平面内对应的点（2，1）位于第三象限故选：C点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，解题时要认真审题，熟练掌握共轭复数的概念，合理运用复数的几何意义进行解题3（5分）函数f（x）=loga（
9、2x1）（a0且a1）的定义域是（）A（0，+）B（，0）C（，1）D（1，+）考点：函数的定义域及其求法 专题：函数的性质及应用分析：根据对数函数成立的条件，即可得到结论解答：解：要使函数f（x）有意义，则2x10，解得x0，即函数的定义域为（0，+），故选：A点评：本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件4（5分）圆x2+y22x2y=0上的点到直线x+y+2=0的距离最大为（）AB2C3D2+2考点：直线与圆的位置关系 专题：计算题；直线与圆分析：圆x2+y22x2y=0上的点到直线x+y+2=0的距离最大是：d+r，其中d是圆心到直线的距离计算出即可解答：解：圆x
10、2+y22x2y=0，（x1）2+（y1）2=2，圆心（1，1），半径r=圆心到直线的距离d=2，圆x2+y22x2y=0上的点到直线x+y+2=0的距离最大为2+=3故选：C点评：明确圆上的点到直线的最大距离的计算方法是解题的关键5（5分）“平面向量，平行”是“平面向量，满足=|”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据向量平行的性质以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论解答：解：若=|，则=|cos，=|，则cos，=1，即，=0，此时平面向量，平行，即必要性成立，当，=，满足平面向量，平行，
11、但=|cos，=|，则=|不成立，即充分性不成立，故“平面向量，平行”是“平面向量，满足=|”的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量平行的性质是解决本题的关键6（5分）一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（）A3BC2D考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：根据已知中三视图及其标识的相关几何量，我们易判断这是一个直三棱柱，且底面为直角边长分别等于1和的直角三角形，高为，代入棱柱体积公式即可得到答案解答：解：由三视图得空间几何体为倒放着的直三棱柱，底面为直角三角形，两直角边长分别等于1和，棱柱高等于，故几何体的体积V=1=
12、故选：D点评：本题考查的知识点是由三视图答案求体积，其中根据三视图判断几何体的形状，及棱长等几何量，是解答的关键7（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z=2x+4y+1的最小值是（）A14B1C5D9考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组表示的平面区域，由z=2x+4y+1可得y=x+，则表示直线y=x+在y轴上的截距，截距越小，z越小，结合图象可求z的最小值解答：解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分由z=2x+4y+1可得y=x+，则表示直线y=x+在y轴上的截距，截距越小，z越小，由题意可得，当y=2x+z经过点A时，z最小由可得A（，），此时z=2
13、4+1=14故选：A点评：本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件 下的最值的求解，解题的关键是明确z的几何意义8（5分）已知|=3，|=6，且+与垂直，则与的夹角是（）A30B90C45D135考点：数量积表示两个向量的夹角 专题：平面向量及应用分析：设与的夹角为，再根据 （）=+=0，求得cos 的值，可得的值解答：解：设与的夹角为，则由题意可得=36cos=18cos再根据 （）=+=18+18cos=0，可得cos=，=135，故选：D点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，属于基础题9（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，若S3=
14、9，S5=25，则S7=（）A41B48C49D56考点：等差数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：利用等差数列an的前n项和公式，即可得出解答：解：数列an是等差数列，S3=9，S5=25，3a1+3d=9，5a1+10d=25a1=1，d=2S7=7a1+21d=49故选：C点评：本题考查了等差数列的前n项和公式，属于基础题10（5分）定义在R上的奇函数f（x）和定义在x|x0上的偶函数g（x）分别满足f（x）=，g（x）=log2x（x0），若存在实数a，使得f（a）=g（b）成立，则实数b的取值范围是（）A2，2B2，2C，0）（0，D（，22，+）考点：分段函数的应用 专
15、题：计算题；函数的性质及应用分析：先求x0时，f（x）的值域为0，1，再由f（x）是定义在R上的奇函数，求出x0时f（x）的值域为1，0，从而得到在R上的函数f（x）的值域为1，1由g（x）为偶函数，求出g（x）的表达式，由条件可令1log2|b|1解出即可解答：解：f（x）=，当0x1时，2x10，1，当x1时，（0，1，即x0时，f（x）的值域为0，1，f（x）是定义在R上的奇函数，x0时f（x）的值域为1，0，在R上的函数f（x）的值域为1，1定义在x|x0上的偶函数g（x），x0的g（x）=log2x，g（x）=log2|x|（x0）存在实数a，使得f（a）=g（b）成立，令1g（b）
16、1即1log2|b|1即有|b|2，b2或2b故选：B点评：本题考查分段函数及运用，考查分段函数值域，注意各段的情况，考查函数的奇偶性及应用，考查对数不等式的解法，属于中档题二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分其中1415题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分（一）必做题（1113题）11（5分）已知ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2，B=135，SABC=4，则b=考点：正弦定理 专题：解三角形分析：先利用三角形面积公式和已知条件可求得c，最后利用余弦定理求得b的值解答：解：SABC=acsinB=2c=4，c=4，b=2，故答案为：点评
17、：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用正弦定理和余弦定理常用来解决三角形问题中边角问题的互化12（5分）阅读如图所示的程序框图若使输出的结果不大于31，则输入的整数i的最大值为5考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，据题目对输出s的要求，求出n的最大值，据判断框中n与i的关系求出i的最大值解答：解：经过第一次循环得到S=1，n=1，经过第二次循环得到S=3，n=2，经过第三次循环得到S=7，n=3，经过第四次循环得到S=15，n=4，经过第五次循环得到S=31，n=5，经过第六次循环得到S=63，n=6，输出的结果不大于31n的最大值为5i的最大值
18、为5故答案为：5点评：本题主要考查了循环结构，解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律，属于基础题13（5分）若不等式+a对任意的x（0，1）恒成立，则a的最大值是9考点：基本不等式在最值问题中的应用 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：+=（x+1x）（+），利用基本不等式，即可得出结论解答：解：x（0，1），+=（x+1x）（+）=5+5+4=9，a的最大值是9故答案为：9点评：本题考查基本不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14在极坐标系中，直线sin=m与圆=4cos相切于极轴
19、上方，则m=2考点：点的极坐标和直角坐标的互化 专题：计算题分析：先利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得直线与圆的直角坐标方程，然后根据直线与圆相切求出所求解答：解：圆=4cos的普通方程为：x2+y2=4x，（x2）2+y2=4，直线sin=m的普通方程为：y=m，又直线sin=m与圆=4cos相切于极轴上方，所以m=2故答案为：2点评：本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，同时考查了直线与圆的位置，属于基础题【几何证明选讲选做题】15（5分）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上异于A，B的点，CDAB，垂足为D若AD=2，BC=2，则半圆O的面积为考点：解三角
20、形的实际应用 专题：计算题；解三角形分析：根据在直角三角形中，利用射影定理写出比例式，把已知数据代入，把BA表示成BD与2的和，根据比例式列出关于BD的关系式，做出结果，根据射影定理求出CD，可得AB，即可求出半圆O的面积解答：解：ABC是直角三角形，CD是斜边上的一条高，AD=2，CB=2，BA=BD+2根据射影定理得24=BD（BD+2），BD=4，CD=2，AC=2，AB=BD+AD=6，OA=3半圆O的面积为故答案为：点评：本题考查半圆O的面积，考查射影定理的应用，考查直角三角形中有关的线段成比例，本题是一个基础题三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算
21、步骤16（12分）已知函数f（x）=A（sincos+cossin）（A0，0）的最大值是2，且f（0）=2（1）求的值；（2）已知锐角ABC的三个内角分别为A，B，C，若f（2A）=，f（2B+）=，求f（2C）的值考点：三角函数中的恒等变换应用 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）根据函数f（x）=A（sincos+cossin）（A0）的最大值是2，可得A值，进而根据f（0）=2，0，可得的值；（2）由（1）可知，进而根据f（2A）=，f（2B+）=，可得A，B的正弦值和余弦值，进而根据f（2C）=2cosC=2cos（A+B）=cos（A+B）展开代入可得答案解答：解：（1）函数f（
22、x）的最大值是2，A0A=2（2分）f（0）=2sin=2，sin=1，又0（4分）（2）由（1）可知（6分），（8分），（10分）f（2C）=2cosC=2cos（A+B）=cos（A+B）=2（cosAcosBsinAsinB）=（12分）点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，熟练掌握三角函数的图象和性质及变换公式是解答的关键17（12分）某体育杂志针对2014年巴西世界杯发起了一项调查活动，调查“各球队在世界杯的名次与该队历史上的实力和表现有没有关系”，在所有参与调查的人中，持“有关系”“无关系”“不知道”态度的人数如表所示：有关系无关系不知道40岁以下80045020040岁以上（含
23、40岁）100150300（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从持“有关系”态度的人中抽取45人，求n的值，并求从持其他两种态度的人中应抽取的人数；（2）在持“不知道”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任选取2人，求至少一人在40岁以下的概率考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法 专题：概率与统计分析：（）由题意求出n=100，由此利用分层抽样能求出持其他两种态度的人中应抽取的人数（）设所选取的人中，有m人在40岁以下，由，解得m=2，由此能求出至少一人在40岁以下的概率解答：解：（）由题意，得，解得n=100，（2分）从持“无关系”态度
24、的人中，应抽取人，（3分）从持“不知道”态度的人中，应抽取人（4分）（）设所选取的人中，有m人在40岁以下，则，解得m=2（6分）就是40岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作A1，A2；B1，B2，B3，则从中任取2人的所有基本事件为：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A1，A2），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），共10个（9分）其中至少有1人在40岁以下的基本事件为（A1，B1），（A1，B2），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A1，A2）共7个，（11分）记事件“选取
25、2人中至少一人在40岁以下”为A，则所以选取2人中至少一人在40岁以下的概率为（12分）点评：本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分层抽样的合理运用18（14分）如图，直角梯形ABCD中，ABCD，AB=CD，ABBC，平面ABCD平面BCE，BCE为等边三角形，M，F分别是BE，BC的中点，DN=DC（1）证明：EFAD；（2）证明：MN平面ADE；（3）若AB=1，BC=2，求几何体ABCDE的体积考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质 专题：空间位置关系与距离分析：（1）先证明出EFBC，进而根据面面垂直的性质判断出EF平面ABCD，最后
26、根据线面垂直的性质证明出EFAD（2）取AE中点G，连接MG，DG，先证明出四边形DGMN是平行四边形，推断出DGMN，进而根据线面平行的判定定理证明出MN平面ADE（3）利用梯形面积公式求得底面面积，进而在三角形BCE中求得EF，最后求得体积解答：（1）证明：BCE为等边三角形，F是BC的中点，EFBC，又平面ABCD平面BCE，交线为BC，EF平面BCEEF平面ABCD； 又AD平面ABCD，EFAD（2）证明：取AE中点G，连接MG，DG，AG=GE，BM=ME，GMAB，且，DNAB，且，四边形DGMN是平行四边形，DGMN，又DG平面ADE，MN平面ADE，MN平面ADE（3）依题，
27、直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，AB=1，CD=2，BC=2则直角梯形ABCD的面积为，由（1）可知EF平面ABCD，即EF是四棱锥EABCD的高在等边BCE中，由边长BC=2，得，故几何体ABCDE的体积为点评：本题主要考查了线面垂直和线面平行的判定定理的应用考查了学生分析能力和空间观察能力19（14分）已知各项均为正数的等差数列an满足：anan+1=4n21（nN*），各项均为正数的等比数列bn满足：b1+b2=3，b3=4（1）求数列an和bn的通项公式；（2）若数列cn满足：cn=，其前n项和为Sn，证明1Sn6考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式 专题：
28、综合题；等差数列与等比数列分析：（1）利用等差数列、等比数列的通项公式，即可求数列an和bn的通项公式；（2）利用错位相减求解数列的和，可得1Sn6解答：解：（1）设an的公差为d，bn的公比为q，则依题意有a10，b10，d0，q0解得a1=1，b1=1，d=2，q=2（4分）所以an=2n1，bn=2n1（6分）（2）（7分）设Sn=1+2Sn=2+3+，两式相减得Sn=2+2+=66（11分）又因为，所以SnSn1，所以SnS1=1（13分）综上 1Sn6得证（14分）点评：本题考查等差数列、等比数列的通项公式，考查错位相减求解数列的和，这是数列求和方法的难点所在20（14分）已知抛物线
29、C：x2=2py（p0）与直线y=x1相切，且知点F（0，1）和直线l：y=1，若动点P在抛物线C上（除原点外），点P处的切线记为m，过点F且与直线PF垂直的直线记为n（1）求抛物线C的方程；（2）求证：直线l，m，n相交于同一点考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）联立直线与抛物线方程，利用相切关系求出p，即可得到抛物线C的方程；（2）通过x2=4y，求导，设P（x0，y0），得到则P处的切线方程为：，求出切线方程m方程，求出直线l，m相交于，推出直线PF的斜率为，通过n与直线PF垂直，求出n的方程为，推出直线l，n也相交于，即可说明直线l
30、，m，n相交于同一点解答：（1）解：联立消去y得 x22px+2p=0因为抛物线C与直线y=x1相切，所以=4p28p=0（3分）解得p=0（舍）或p=2（4分）所以抛物线的方程为x2=4y（5分）（2）证明：由x2=4y得，求导有（6分）设P（x0，y0），依题其中x00，则P处的切线方程为：切线方程m：（8分）与直线l：y=1联立得：，即直线l，m相交于（9分）直线PF的斜率为因为n与直线PF垂直，所以（11分）因为n过点F，所以n的方程为（12分）与直线l：y=1联立得：，即直线l，n也相交于（13分）故直线l，m，n相交于于同一点（14分）点评：本题考查直线与抛物线方程的综合应用，抛物
31、线方程的求法，三点共线的证明，考查逻辑推理能力以及计算能力21（14分）已知函数f（x）=（x2）ex和g（x）=kx3x2（1）若函数g（x）在区间（1，2）不单调，求k的取值范围；（2）当x0，+）时，不等式f（x）g（x）恒成立，求k的最大值考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数单调性的性质；函数恒成立问题 专题：导数的综合应用分析：（1）求出g（x）=3kx21，通过当k0时，当k0时，函数g（x）在区间（1，2）不单调，判断导数的符号，得到函数有极值，即可求k的取值范围；（2）构造h（x）=f（x）g（x）=（x2）exkx3+x+2，转化h（x）=（x2）exkx3+x+20
32、在0，+）上恒成立，通过h（0）=0，对时，时，判断函数的单调性，以及函数的最值，是否满足题意，求出k的最大值解答：解：（1）g（x）=3kx21（1分）当k0时，g（x）=3kx210，所以g（x）在（1，2）单调递减，不满足题意；（2分）当k0时，g（x）在上单调递减，在上单调递增，因为函数g（x）在区间（1，2）不单调，所以，解得（4分）综上k的取值范围是（5分）（2）令h（x）=f（x）g（x）=（x2）exkx3+x+2依题可知h（x）=（x2）exkx3+x+20在0，+）上恒成立 （6分）h（x）=（x1）ex3kx2+1，令（x）=h（x）=（x1）ex3kx2+1，有（0）=
33、h（0）=0且（x）=x（ex6k）（7分）当6k1，即时，因为x0，ex1，所以（x）=x（ex6k）0所以函数（x）即h（x）在0，+）上单调递增，又由（0）=h（0）=0故当x0，+）时，h（x）h（0）=0，所以h（x）在0，+）上单调递增又因为h（0）=0，所以h（x）0在0，+）上恒成立，满足题意；（10分）当6k1，即时，当x（0，ln（6k），（x）=x（ex6k）0，函数（x）即h（x）单调递减，又由（0）=h（0）=0，所以当x（0，ln（6k），h（x）h（0）=0所以h（x）在（0，ln（6k）上单调递减，又因为h（0）=0，所以x（0，ln（6k）时h（x）0，这与题意h（x）0在0，+）上恒成立相矛盾，故舍（13分）综上，即k的最大值是（14分）点评：本题考查函数的导数的综合应用，构造法以及转化思想的应用，同时考查分类讨论思想的应用，难度比较大，考查分析问题解决问题的能力