1、课时分层作业(十)向量应用(建议用时：40分钟)一、选择题1若A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，则ABC的形状为()A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形C(1，1)，(3，3)，0，即，故ABC为直角三角形2河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A10 m/sB2 m/sC4 m/sD12 m/sB由题意知|v水|2 m/s，|v船|10 m/s，作出示意图如图所以小船在静水中的速度大小|v|2(m/s)3用两条成120角的等长的绳子悬挂一个物体，如图，已知物体重力大小为10 N，则每根绳子的拉力大小是
2、()A5 NB8 NC10 ND12 NC因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都等于60，故每根绳子的拉力大小都是10 N4点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是ABC的()A重心B外心 C内心D垂心D由，可得0，()0，即0，同理可证，.所以O是ABC的垂心，即三条高的交点5等腰直角三角形ABC中，C90，且A(1，2)，C(1，1)，则B的坐标为()A(2，1)B(0，1)C(2，3)D(0，1)或(2，3)D设B的坐标为(x，y)，则(x1，y1)，又(2，1)由题意知|，且0，解得或二、填空题6ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，()，且|，则_.1设BC的中点是
3、D，如图所示，则2，则，所以O和D重合，所以BC是圆O的直径，所以BAC90.又|，则|1，|2，所以ABC60，所以|cos 60121.7如图，平行四边形ABCD中，已知AD1，AB2，对角线BD2，则对角线AC的长为_，2222，又，2222，得222(22)又AD1，AB2，BD2，AC.8当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为，两人用力大小都为|F |，若| F |G|，则的值为_120如图，| F 1| F 2|.| F 1| F 2|G|，2cos 1，120.三、解答题9如图在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PEAB，PF BC，垂足分别为E，F ，连接DP，EF
4、.求证：DPEF .证明设正方形ABCD的边长为1，AEa(0a1)，则EPAEa，PF EB1a，APa.于是()()1acos 1801(1a)cos 90aacos 45a(1a)cos 45aa2a(1a)0.所以，所以DPEF.10已知四边形ABCD为平行四边形，点A的坐标为(1，2)，点C在第二象限，(2，2)，且与的夹角为，2.(1)求点D的坐标；(2)当m为何值时，m与垂直解(1)设C(x，y)，D(a，b)，则(x1，y2)与的夹角为，2，化为(x1)2(y2)21.又2(x1)2(y2)2，化为xy2.联立解得或又点C在第二象限，C(1，3)又，(a1，b3)(2，2)，解
5、得a3，b1.D(3，1)(2)由(1)可知(0，1)，m(2m，2m1)，(2，1)m与垂直， (m)4m(2m1)0，解得m.1在四边形ABCD中，若，且|，则四边形ABCD的形状是()A正方形B菱形C矩形D梯形C，且|，四边形ABCD是平行四边形，|，|，|，平行四边形是矩形2已知BC是圆O的直径，H是圆O的弦AB上一动点，BC10，AB8，则的最小值为()A4B25C9D16D以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设点H(x，y)，则B(5，0)，C(5，0)，所以(5x，y)，(5x，y)，则(5x，y)(5x，y)x2y225，又因为AB8，且H为
6、弦AB上一动点，所以9x2y225，其中当取AB的中点时取得最小值，所以92516，故选D3如图2，“六芒星”由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行点A，B是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，若xy，则xy的取值范围是()图1图2A4，4B，C5，5D6，6C如图建立平面直角坐标系，令正三角形边长为3，则i，ij，可得i，j，由图知当点P在点C时，有j23，此时xy有最大值5，同理当点P在与C相对的下顶点时有j23，此时xy有最小值5.故选C4已知ABC中，ABAC3，D为边BC上一点，6，则的值为_以A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面
7、直角坐标系， 设D，则，ABAC3，记BAC，A，B，C(3cos ，3sin )，则，(3cos ，3sin )，6，3x6，3xcos 3ysin ，x2，2cos ysin ，又D为边BC上一点，则y3sin 0，即sin y，又，y，2cos 2cos 1cos ，解得cos ，9cos .5在三角形ABC中，AB2，AC1，ACB，D是线段BC上一点，且，f 为线段AB上一点(1)设a，b，设xayb，求xy；(2)求的取值范围；(3)若F 为线段AB的中点，直线CF 与AD相交于点M，求.解(1)ab，而xaybx，yxy.(2)在三角形ABC中，AB2，AC1，ACB，CAB，BC，不妨设|x，x.式1xcosx2x2x，x，.(3)f 为线段AB的中点，不妨设，.A，M，D三点共线，即， .22.