1、专题30 复数一、学习目标【学习目标】1理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，并会应用2了解复数的代数形式的表示方法，能进行复数的代数形式的四则运算3了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义，会简单应用二知识点与方法总结1复数的有关概念(1)复数的概念形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部，若b0，则abi为虚数，若a=0，则abi为纯虚数，i为虚数单位(2)复数相等：复数abicdia =c ,b=d (a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi与cdi共轭a =c ,b=-d (a，b，c，dR)(4)复数的模向量的模r叫做复数zabi(a，bR
2、)的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|2复数的四则运算设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则(1)加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(2)减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(3)乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；(4)除法：i(cdi0)3两条性质(1)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，inin1in2in30(其中nN*)；(2)(1i)22i，i，i.4.方法规律总结（1）.设zabi(a，bR)，利用复数相等的充要条件转化为实数问题是求解复数常用的方法.（2）.实数的共轭复数是它本身，两个
3、纯虚数的积是实数.（3）.复数问题几何化，利用复数、复数的模、复数运算的几何意义，转化条件和结论，有效利用数和形的结合，取得事半功倍的效果.三命题类型及陷阱措施1.复数模的几何意义2.复数的代数运算3.共轭复数4.复数幂的运算5.复数与向量的综合四命题陷阱讲解及练习1.复数模的几何意义例1. 1已知， ， ， ，则（）A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D2已知， ，则的最大值和最小值分别是（）A. 和 B. 3和1C. 和 D. 和3【答案】A【解析】 ，设，则 ,表示在以为圆心为半径的圆上，则表示到的距离，根据圆的几何性质可知，圆上的动点到点的最大值为，最小值为，故选A.3表示（）A.
4、 点与点之间的距离 B. 点与点之间的距离C. 点与原点的距离 D. 点与点之间的距离【答案】A4复数 (为虚数单位），则（ ）A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C【解析】5在复平面内，复数（为虚数单位），则为（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】D【解析】故选2.复数的代数运算例2已知复数满足是虚数单位,则复数的虚部是A. B. C. D. 【答案】B【解析】，所以虚部是，故选B。练习1已知，复数，若的虚部为1，则（ ）A. 2 B. -2 C. 1 D. -1【答案】B【解析】，所以， 。故选B。2已知复数z12i，那么等于()A. B. i C. D. 【答案】C【解
5、析】，选C.3已知，其中m为实数，i为虚数单位，若，则m的值为（ ）A. 4 B. C. 6 D. 0【答案】B【解析】由题意， ，解得，故选B。4若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C5设复数，设（ ）A. B. C. 2 D. -2【答案】C【解析】故选6已知复数， （ ）A. -3 B. -1 C. 1 D. 3【答案】B【解析】，选B3.共轭复数例3已知，则复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D练习1设复数互为共轭复数， ，则()A. 2i B. 4 C. 2 D.
6、 2i【答案】B【解析】由题意得，选B2设是虚数单位，若复数，则的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】复数 ，根据共轭复数的概念得到，共轭复数为： 。故答案为：D。3若复数，则复数对应的点在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解析】因为复数 ，所以 ， 对应点坐标为 ，由此复数对应的点在第三象限，故选C.4若z=4+3i,则=()A. 1 B. -1 C. +i D. -i【答案】D【解析】 由题意得，所以，故选D.4.复数幂的运算例4.(1+i)20-(1-i)20的值是()A. -1024 B. 1024 C. 0 D. 5
7、12【答案】C【解析】(1+i)20-(1-i)20=(1+i)210-(1-i)210=(2i)10-(-2i)10=(2i)10-(2i)10=0.故答案为：C。【方法讲解】：这个题目考查的是复数的乘方运算，i的平方等于-1，根据这个可以得到规律，这是周期为4的一个周期性地规律，对于次数较高的复数运算，可以根据这个规律计算。练习1. 已知复数，则在复平面内，复数所对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解析】，故，故在第三象限.2在复平面内，复数对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解
8、析】因为 ，复数对应的点的坐标为 ，故复数对应的点位于第三象限,故选C.3复数（ ）A. 1 B. 1+ C. D. 1- 【答案】B4. 已知为虚数单位，复数满足，则复数等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】故选D5. 设 (nN*)，则集合f(n)中元素的个数为_【答案】3【解析】因为f(n)in(i)n，所以f(1)0，f(2)2，f(3)0，f(4)2，f(5)0f(1)，故集合f(n)中共有3个元素6已知复数z，则复数z在复平面内对应的点为_【答案】 【解析】分子则复数在复平面内对应的点为5.复数与向量的综合例5在复平面内，把复数对应的向量按顺时钟方向旋转，所得向量对应
9、的复数是：（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得所得向量对应的复数是 选B.练习1、已知A,B,C是复平面内的三个不同点,点A,B对应的复数分别是-2+3i,-i,若=,则点C表示的复数是()A. -2+2i B. -2+4iC. -1+i D. -1+2i【答案】C【解析】设表示的复数为,点对应的复数分别是,，因为所以，解得，所以点表示的复数是，故选C.2在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量,对应的复数分别是3+i,-1+3i,则对应的复数是()A. 2+4i B. -2+4iC. -4+2i D. 4-2i【答案】D【解析】 由题意可得，在平行四边形
10、中，则，所以对应的复数为，故选D3. 如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则|z1z2|()A. 2 B. 3 C. 2 D. 3【答案】A【解析】由题图可知，z12i，z2i，则z1z22，|z1z2|2，故选A.五高考真题演练1.【2017课标1，理3】设有下面四个命题：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数，则.其中的真命题为A.BCD【答案】B【解析】当时，满足，但，知不正确；对于，因为实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故正确，故选B.【考点】复数的运算与性质.【名师点睛】分式形式的复数，分子分母同乘分母的共轭复数，化简成的形式进行
11、判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.2.【2017课标II，理1】（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：由复数除法的运算法则有：，故选D。【考点】 复数的除法【名师点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除。除法实际上是分母实数化的过程。在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z1，z2互为共轭复数，则z1z2|z1|2|z2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化。3.【2017山东，理2】已知,i是虚数单位，若，则a=（A）1或-1 （B） （C）- （D）【答案】A【名师点睛】复数的共轭复数是，据此结合已知条件，求得的方程即可.5.【20
12、17课标3，理2】设复数z满足(1+i)z=2i，则z=ABCD2【答案】C【解析】试题分析：由题意可得： ，由复数求模的法则： 可得： .故选C.【考点】 复数的模；复数的运算法则【名师点睛】共轭与模是复数的重要性质，注意运算性质有：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) .6.【2017北京，理2】若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（A）（，1） （B）（，1）（C）（1，+） （D）（1，+）【答案】B【解析】【考点】复数的运算【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和
13、虚部满足的方程(不等式)组即可复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)复数zabi(a，bR) 平面向量.7. 【2016新课标理】设其中,实数,则( )（A）1 （B） （C） （D）2【答案】B【解析】试题分析：因为所以故选B.考点：复数运算【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性.8.【2015高考安徽，理1】设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
14、（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限【答案】B【解析】由题意，其对应的点坐标为，位于第二象限，故选B.【考点定位】1.复数的运算；2.复数的几何意义.【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，要将复数分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另外，复数在复平面内一一对应的点为.9. 【2014高考广东卷.理.2】已知复数满足，则( ) A. B. C. D.【答案】A【考点定位】本题考查复数的四则运算，属于容易题.【名师点晴】本题主要考查的是复数的除法运算，属于容易题解题时一定注意分子和分母同时乘以的共轭复数，否则很容易出
15、现错误解本题需要掌握的知识点是复数的除法运算，即，10. 【2016高考新课标3理数】若，则（ ）(A)1 (B) -1 (C) (D) 【答案】C【解析】试题分析：，故选C考点：1、复数的运算；2、共轭复数【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把换成1.复数除法可类比实数运算的分母有理化复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解11.【2015高考广东，理2】若复数 ( 是虚数单位 )，则（ ） A B C D【答案】【解析】因为，所以，故选【考点定位】复数的基本运算，共轭复数的
16、概念【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算，共轭复数的概念和运算求解能力，属于容易题；复数的乘法运算应该是简单易解，但学生容易忘记和混淆共轭复数的概念，的共轭复数为12.【 2014湖南1】满足（是虚数单位）的复数（ ）A. B. C. D. 【答案】B【考点定位】复数 复数除法【名师点睛】在对复数之间进行乘法运算时，直接利用多项式的乘法分配律进行计算，在最后一步的计算中，根据，最后根据复数的加法原则，实部与实部相加，虚部与虚部相加便可得到最终结果；在进行复数的除法运算时，首先将分式的分子分母同时乘以分母的共轭复数，分子的运算遵循复数的乘法运算法则，从而得到相应的结果.13.【2016高考新课
17、标2理数】已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】试题分析：【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)复数zabi(a，bR) 平面向量.14.【2016高考山东理数】若复数z满足 其中i为虚数单位，则z=（ ）（A）1+2i（B）12i（C） （D）【答案】B【解析】试题分析：设，则，故，则，选B.考点：1.复数的运算；2.复数的概念.【名师点睛】本题主要考查复数的运算及
18、复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之一.15.【2015高考山东，理2】若复数满足，其中为虚数为单位，则=（ ）（A） （B） （C） （D） 【答案】A【解析】因为，所以， ，所以， 故选：A.【考点定位】复数的概念与运算.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.16. 【2015高考新课标2，理2】若为实数且，则（ ） A B C D【答案】B【名师点睛】本题考查复数的运算，要利用复数相等列方程求解，属于基础题17. 【20
19、14新课标，理2】设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，则（ ）A. - 5 B. 5 C. - 4+ i D. - 4 - i【答案】A【解析】由题意知：，所以-5，故选A。【考点定位】复数的运算及概念.【名师点睛】本题考查了复数的乘法运算，复数的几何意义，本题属于基础题，注意运算的准确性.18【2015高考四川，理2】设i是虚数单位，则复数( )（A）-i （B）-3i （C）i. （D）3i【答案】C【解析】，选C.【考点定位】复数的基本运算.【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.19.【2015高考新课
20、标1，理1】设复数z满足=，则|z|=( )（A）1 （B） （C） （D）2【答案】A【解析】由得，=，故|z|=1，故选A.【考点定位】本题主要考查复数的运算和复数的模等.【名师点睛】本题将方程思想与复数的运算和复数的模结合起来考查，试题设计思路新颖，本题解题思路为利用方程思想和复数的运算法则求出复数z，再利用复数的模公式求出|z|,本题属于基础题，注意运算的准确性.20. 【2015高考北京，理1】复数（ ）ABCD【答案】A【名师点睛】本题考查复数的乘法运算，本题属于基础题，数的概念的扩充部分主要知识点有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时
21、注意，注意运算的准确性,近几年高考主要考查复数的乘法、除法，求复数的模、复数的虚部、复数在复平面内对应的点的位置等.21. 【2014天津，理1】是虚数单位，复数（） （A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】试题分析：，故选A考点：复数的运算【名师点睛】本题考查复数的乘法运算，本题属于基础题，数的概念的扩充部分主要知识点有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时注意，注意运算的准确性,近几年高考主要考查复数的乘法、除法，求复数的模、复数的虚部、复数在复平面内对应的点的位置等.22. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷1】 为虚数单位
22、，则（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：因为，故选A.考点：复数的运算，容易题.【名师点睛】本题考查了复数的四则运算，属容易题. 其难度虽然不大，但仍能较好的考查复数的基本概念和基本运算法则，充分体现了高考始终坚持基本概念、基本操作和基本技能的考查，注重基础，强调教材的重要性.23. 【2015高考湖北，理1】 为虚数单位，的共轭复数为（ ） A B C1 D【答案】A【解析】,所以的共轭复数为，选A .【考点定位】共轭复数.【名师点睛】复数中，是虚数单位,.24. 【2014福建，理1】复数的共轭复数等于（ ） 【答案】C【解析】25. 【2014辽宁理2】设复数z满足，
23、则（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：因为，故选A.考点： 复数的运算.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，其解答利用方程思想，采用分母实数化求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.26. 【2015湖南理1】已知（为虚数单位），则复数=（ ）A. B. C. D.【答案】D.【解析】【名师点睛】本题主要考查了复数的概念与基本运算，属于容易题，意在考查学生对复数代数形式四则运算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数的乘法进行计算，而复数的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理.27.【2017天津，理9】已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为 .【答案
24、】 【解析】为实数，则.【考点】 复数的分类【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可复数，当时，为虚数，当时，为实数，当时，为纯虚数.28.【2017浙江，12】已知a，bR，（i是虚数单位）则 ，ab= 【答案】5，2【解析】试题分析：由题意可得，则，解得，则【考点】复数的基本运算和复数的概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共
25、轭为29. 【2016高考天津理数】已知，i是虚数单位，若，则的值为_.【答案】2【解析】【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、共轭为30. 【2015江苏高考，3】设复数z满足（i是虚数单位），则z的模为_.【答案】【解析】【考点定位】复数的模【名师点晴】在处理复数相等的问题时，一般将问题中涉及的两个复数均化成一般形式，利用复数相等的充要条件“实部相等，虚部相等”进行求解.本题涉及复数的模，利用复数模的性质求解就比较简便：31.【2016年高考北京
26、理数】设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则_.【答案】.【解析】试题分析：，故填：.考点：复数运算【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化32.【2015高考重庆，理11】设复数a+bi（a，bR）的模为，则（a+bi）（a-bi）=_.【答案】3【名师点晴】复数的考查核心是代数形式的四则运算，即使是概念的考查也需要相应的运算支持本题首先根据复数模的定义得，复数相乘可根据平方差公式求得，也可根据共轭复数的性质得33. 【2016高考江苏卷】复数其中i为虚数单位，则z的实部是_. 【答案】5【解析】试题分析：，故z的实部是5考点：复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、共轭为