1、专题27 直线与圆锥曲线一命题陷阱1.不用韦达定理与用韦达定理的选择陷阱2.范围不完备陷阱3.圆锥曲线中三角形面积公式选取陷阱4不用定义直接化简的陷阱（圆锥曲线定义的灵活运用）5.圆锥曲线中的求定点、定直线只考虑一般情况不考虑特殊位置陷阱6.圆锥曲线中的求定值只考虑一般情况不考虑特殊位置陷阱二、知识回顾1.椭圆的标准方程(1) ，焦点，其中(2) ，焦点，其中2.双曲线的标准方程(1) ，焦点，其中(2) ，焦点，其中3抛物线的标准方程(1) 对应的焦点分别为：.三典例分析1.不用韦达定理与用韦达定理的选择陷阱例1. 设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距
2、离为.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.【答案】 （1）， .（2），或.（）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以.所以，直线的方程为，或.【陷阱防范】：分析题目条件与所求关系，恰当选取是否使用韦达定理练习1. 已知椭圆，且椭圆上任意一点到左焦点的最大距离为，最小距离为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的动直线交椭圆于两点，试问：在坐标平面上是否存
3、在一个定点，使得以线段为直径的圆恒过点?若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由.【答案】(1) 椭圆方程为;(2) 以线段为直径的圆恒过点.下面证明为所求：若直线的斜率不存在，上述己经证明. 若直线的斜率存在，设直线， ，由得， .，即以线段为直径的圆恒过点.练习2.设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.【答案】 （1）， .（2），或.【解析】（）设的坐标为.依题意，解得，于是.所以，椭圆的方程为，抛物线的方
4、程为.练习3. 已知椭圆： ，曲线上的动点满足：.（1）求曲线的方程；（2）设为坐标原点，第一象限的点分别在和上， ，求线段的长.【答案】(1) ;(2) .【解析】（1）由已知，动点到点， 的距离之和为，且，所以动点的轨迹为椭圆，而， ，所以，故椭圆的方程为. （2）两点的坐标分别为，由及（1）知， 三点共线且点不在轴上，因此可设直线的方程为.将代入中，得，所以，将代入中，得，所以，又由，得，即，解得，故2.范围不完备陷阱例2. 已知椭圆： 的离心率为，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为.（）求椭圆的方程；（）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为、，当动点在定直线上运动时，直线分别交
5、椭圆于两点、，求四边形面积的最大值.【答案】（）；（） .【解析】（）由题设知， ，又，解得，故椭圆的方程为.故四边形的面积为 .由于，且在上单调递增，故，从而，有.当且仅当，即，也就是点的坐标为时，四边形的面积取最大值6.【陷阱防范】：涉及含参数问题，求最值或范围时要注意运用均值不等式还是运用函数的单调性.练习1.设点，动圆经过点且和直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程；（2）设曲线上一点的横坐标为，过的直线交于一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点，若是的切线，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】(1)过点作直线垂直于直线于点，由题意得，所以动点的轨迹是以为焦点，直
6、线为准线的抛物线.所以抛物线得方程为.，解得，或.而抛物线在点的切线斜率， ， 是抛物线的切线， ，整理得，解得（舍去），或.练习2. 已知双曲线的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点。(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点作倾斜角为的直线，直线与双曲线交于不同的两点，求的长。【答案】（1）（2）【解析】（1）因为双曲线的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，所以，即（2）经过双曲线右焦点作倾斜角为的直线 与双曲线联立方程组消y得 ，由弦长公式解得 练习3. 已知椭圆的方程为，双曲线的一条渐近线与轴所成的夹角为，且双曲线的焦距为.(1)求椭圆的方程；(2)设分别为椭圆的左，右焦点，过
7、作直线 (与轴不重合)交椭圆于， 两点，线段的中点为，记直线的斜率为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)一条渐近线与轴所成的夹角为知，即，又，所以，解得， ，所以椭圆的方程为.(2)由(1)知，设， ，设直线的方程为.联立得，由得，又，所以直线的斜率.当时， ；当时， ，即.综合可知，直线的斜率的取值范围是.练习4.如图，在平面直角坐标系中，已知直线，抛物线（1）若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程；（2）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和.求证：线段的中点坐标为；求的取值范围.【答案】（1）（2）详见解析，由消去得因为P 和Q是抛物线C上的相异两点，所以从而，化简得.
8、方程（*）的两根为，从而因为在直线上，所以因此，线段PQ的中点坐标为因为在直线上所以，即由知，于是，所以因此的取值范围为【方法总结】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围3.圆锥曲线中三角形面积公式选取陷阱例3. 已知圆，圆心为，定点， 为圆上一点，线段上一点满足，直线上一点，满足（）求点的轨
9、迹的方程；（）为坐标原点， 是以为直径的圆，直线与相切，并与轨迹交于不同的两点当且满足时，求面积的取值范围【答案】（）；（） .设椭圆的标准方程为， 则， ，.点的轨迹的方程为。（）圆与直线相切，即，由，消去.直线与椭圆交于两个不同点，将代入上式，可得，设， ，则， ， ，解得.满足。又，设，则. ，故面积的取值范围为。【陷阱防范】：涉及到三角形面积时用弦长公式还是用把三角形分成两个或几个三角形求面积练习1. 设， 是椭圆上的两点，椭圆的离心率为，短轴长为2，已知向量， ，且， 为坐标原点.（1）若直线过椭圆的焦点，（ 为半焦距），求直线的斜率的值；（2）试问： 的面积是否为定值？如果是，请给
10、予证明；如果不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）见解析.（2）直线斜率不存在时，即， ，即 又点在椭圆上 ，即 ， ，故的面积为定值1当直线斜率存在时，设的方程为，联立得： ， ， 所以三角形的面积为定值1.练习2.设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.【答案】 （1）， .（2），或.【解析】（）设的坐标为.依题意，解得，于是.所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.（）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得
11、点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以.所以，直线的方程为，或.4不用定义直接化简的陷阱（圆锥曲线定义的灵活运用）例4. 已知椭圆与抛物线共焦点，抛物线上的点M到y轴的距离等于，且椭圆与抛物线的交点Q满足（I）求抛物线的方程和椭圆的方程；（II）过抛物线上的点作抛物线的切线交椭圆于、 两点，设线段AB的中点为，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）抛物线上的点到轴的距离等于，点M到直线的距离等于点到焦点的距离，得是抛物线的准线，即，解得，抛物线的方程为；可知椭圆的右焦点，左焦点，由
12、得，又，解得，由椭圆的定义得，又，得，椭圆的方程为【陷阱防范】：涉及圆锥曲线方程时要考虑定义的几何意义，往往可以简化解题步骤.练习1. 已知双曲线的渐近线方程为: ，右顶点为.（）求双曲线的方程；（）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点为，当时，求的值。【答案】（1） （2）【解析】（1）因为双曲线的渐近线方程为: ，所以 ，又右顶点为，所以，即 （2）直线与双曲线联立方程组消y得 的值为练习2. 设椭圆的左、右焦点分别为，其焦距为，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】点在椭圆的外部,则，解得，即。由椭圆的
13、定义得 ，,恒成立，解得，即.所以椭圆离心率的取值范围是.选D.5.圆锥曲线中的求定点定直线（只考虑一般情况不考虑特殊位置）陷阱例5. 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且.（1）求该抛物线的方程；（2）已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.【答案】（1）；（2）定点【解析】（1）拋物线的焦点 ，直线的方程为: .联立方程组，消元得: ，. 解得.抛物线的方程为： .（2）由（1）可得点，可得直线的斜率不为0，设直线的方程为： ，联立，得，则.设，则. 即，得： ，即或，代人式检验均满足，直线的方程为： 或.直线过定点（定点不满足题意，故舍
14、去）.【陷阱防范】：1.定点与定值问题的解决，一般通过取极端位置(即特定位置)探索出定点或定值，然后再进行一般性证明.2.解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.练习1已知抛物线，直线交于两点， 是的中点，过作轴的垂线交于点.（1）证明：抛物线在点处的切线与平行；（2）是否存在实数，使以为直径的圆经过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)
15、见解析;(2) 存在实数使以为直径的圆经过点.【解析】（1）证明：设， ，把代入得.所以， ，所以.因为，所以抛物线在点处的切线斜率为，故该切线与平行.（2）假设存在实数，使以为直径的圆经过点，则.由（1）知 ，又因为垂直于轴，所以，而 .所以，解得.所以，存在实数使以为直径的圆经过点.练习2. 已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：双曲线的离心率，若是真命题，求实数的取值范围【答案】或为真，则6.圆锥曲线中的求定值只考虑一般情况不考虑特殊位置陷阱例6. 在平面直角坐标系中，点，直线与动直线的交点为，线段的中垂线与动直线的交点为（1）求动点的轨迹的方程；（2）过动点作曲线的两条切线，切点分
16、别为， ，求证： 的大小为定值【答案】（1）曲线的方程为（2）详见解析（2）由题意，过点的切线斜率存在，设切线方程为，联立 得，所以，即（*），因为，所以方程（*）存在两个不等实根，设为，因为，所以，为定值【陷阱防范】：1.定值问题的解决，一般通过取极端位置(即特定位置)探索出定值，然后再进行一般性证明.2.解决定值方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明定值与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定值.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.练习1. 点是双曲线上的点， 是其焦点，双曲线的离
17、心率是，且,若的面积是9，则的值等于( )A. 4 B. 7 C. 6 D. 5【答案】B【解析】双曲线的离心率是 ， 的面积 在 中，由勾股定理可得 故选 C练习2. 如图，抛物线与双曲线有公共焦点，点是曲线在第一象限的交点，且.（）求双曲线的方程；（）以为圆心的圆与双曲线的一条渐近线相切，圆.已知点，过点作互相垂直且分别与圆、圆相交的直线和，设被圆截得的弦长为，被圆截得的弦长为.试探索是否为定值？请说明理由.【答案】（）；（）为定值.【解析】（）抛物线的焦点为，双曲线的焦点为.设在抛物线上，且.由抛物线的定义得，.，.又点在双曲线上，由双曲线定义得，.双曲线的方程为：.（）为定值.下面给出
18、说明：设圆的方程为：，双曲线的渐近线方程为：.圆与渐近线相切，圆的半径为.故圆.依题意的斜率存在且均不为零，所以设的方程为，即，设的方程为，即，点到直线的距离为，点到直线的距离为，直线被圆截得的弦长，直线被圆截得的弦长，故为定值.四真题再现1.平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.()求椭圆的方程；（）设椭圆，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆 于两点，射线 交椭圆于点.( i )求的值；（ii）求面积的最大值.【答案】（I）；（II）( i )2；（ii） .（II）由（I）知椭圆E的方程为,（i）设， ，
19、由题意知 因为,又 ，即 ,所以 ，即 .（ii）设 将代入椭圆E的方程，可得由 ，可得 则有 所以 因为直线与轴交点的坐标为 所以的面积 令 ,将 代入椭圆C的方程可得 由 ，可得 由可知 因此 ,故 当且仅当 ，即 时取得最大值 由（i）知， 面积为 ,所以面积的最大值为 .2.已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为（I）求椭圆的离心率；（II）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程【答案】（I）；（II）【解析】（I）过点，的直线方程为，则原点到直线的距离，由，得，解得离心率.(II)解法一：由（I）知，椭圆的方程为. (1)依题意，圆心是线段的中点，且.易
20、知，不与轴垂直，设其直线方程为，代入(1)得故椭圆的方程为.解法二：由（I）知，椭圆的方程为. (2)依题意，点，关于圆心对称，且.设则，两式相减并结合得.易知，不与轴垂直，则，所以的斜率因此直线方程为，代入(2)得所以，.于是.由，得，解得.故椭圆的方程为.3.如图，设椭圆（a1）.（I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.【答案】（I）；（II）【解析】（I）设直线被椭圆截得的线段为，由得，故，因此（II）假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，满足记直线，
21、的斜率分别为，且，由（I）知，故，所以由于，得，因此， 因为式关于，的方程有解的充要条件是，所以因此，任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为，由得，所求离心率的取值范围为5. 已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为 ()证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由【答案】()详见解析；（）能，或【解析】()设直线，将代入得，故，于是直线的斜率，即所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值（）四边形能为平行四边形因为直线过点，所以不过原点且与有两个交点的充要条件是，由()得的方程为
22、设点的横坐标为由得，即将点的坐标代入直线的方程得，因此四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即于是解得，因为，所以当的斜率为或时，四边形为平行四边形6.已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于两点，点在上，（）当时，求的面积；（）当时，求的取值范围【答案】（）；（）.【解析】（I）设，则由题意知，当时，的方程为，.由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.将代入得.解得或，所以.因此的面积.（II）由题意，.将直线的方程代入得.由得，故.由题设，直线的方程为，故同理可得，由得，即.7.如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当
23、直线平行与轴时，直线被椭圆E截得的线段长为.(1)求椭圆E的方程；（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，Q点的坐标为.（2）当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于C、D两点.如果存在定点Q满足条件，则，即.所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为.当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于M、N两点.则，由，有，解得或.所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点的坐标只可能为.下面证明：对任意的直线，均有.当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立.当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，A、B的坐标分别为.联立得.其判别式，所以，.因此.易知，点B关于y轴对称的点的坐标为.又，所以，即三点共线.所以.故存在与P不同的定点，使得恒成立.