1、多面体与正多面体知识精讲：一、基本概念：1、若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体、把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体、每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同的数目的棱的凸多面体，叫做正多面体4、表面经过连续变形，能变为一个球面的多面体，叫做简单多面体、凸多面体都是简单多面体二、欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为，面数为，棱数为，那么简单多面体的顶点数为，则内角总和为（V-2）360注意：欧拉公式中，经常运用顶点数与棱数E的关系, 面数与棱数的关系E=各面多边形的边数之和的一半E=顶点数与其过该点棱数之积的一半三
2、、五种正多面体的顶点数，棱数和面数项目类型过顶点的棱数各 面边 数面的特征正四面体正三角形正六面体正方形正八面体正三角形正十二面体正五边形正二十面体正三角形例题选讲:例1：（）给出下列命题正四棱柱是正多面体直四棱柱是简单多面体简单多面体就是凸多面体以正四面体各面中心为顶点的四面体仍为正四面体，其中真命题个数为（）个()每个顶点处棱都是3条的正多面体共有_种()一个凸多面体的棱数为 ，面数为，则它的各面多边形的内角总和为解：(1)B（）3（）由欧拉公式，所以内角总和为（V-2）360=6480例2:(考例4) 已知某金属元素的单晶体外形是简单几何体,此晶体有三角形和八边形两种晶面,如果此晶体有2
3、4个顶点,以每个顶点为一端都有三条棱,计算此晶体的两种晶面的数目解：由于晶体各面不都是边数相同的多边形，因此面数是两种多边形面数之和，棱数仍然是各面边数总和的一半，另一方面，由顶点数及每一顶点发出的棱数也可求出多面体的棱数，设三角形晶面x个，八边形晶面有y个，则x+y，同时，由欧拉公式：24+(x+y)-36=2, x+y=14, E=(3x+8y)=36, x=8, y=6例3、（考例3）一个简单多面体，每个面的边数相同，每个顶点出发的棱数也相同，若各个面的内角总和为3600，求这个多面体的面数、顶点数及棱数解：设每个面的边数为x，每个点出发的棱数为y。则，. .代入欧拉公式得又代入上式有x
4、得 V=12, F=20, E=30思维点拨：运用公式例4： 连结正方体相邻面的中心，得到一个正八面体，那么这个正八面体与正方体的体积之比是解：设正方体棱长为，则正八面体的棱长为，体积为所以体积之比为:思维点拨：研究多面体时，不要脱离棱柱棱锥,特别是计算体积时挖掘：（）正八面体相邻两个面所成二面角的大小（）（）棱长为正八面体的对角线长为（）思考题：如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EFAB，EF，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为（）（A） （B）5 （C）6 （D）解：D例5：（高考新题） 如图在棱长为a的正四面体ABCD内, 作一个正三棱柱A1B1C1
5、-A2B2C2, 当A1取在什么位置时,三棱柱的体积最大?ABCDA1B1C1A2B2C2解:设A A1=x (0xa) 平面A1B1C1平面BCD又四面体ABCD为正四面体 四面体A A1B1C1也是正四面体, 则A1B1= B1C1 =A1C1=x, 这两四面体的高分别为和则棱柱的高等于 V三棱锥=(当取等号)当点A1为棱AB上的分点时,体积最大为.思维点拨： 解有关组合体问题，主要考虑内外线段之间的关系式，有时需作一截面(备用)三个1212的正方形，如图，都被连接相邻两边中点的直线分成、两片（如图），把片粘在一个正六边形的外面，然后折成多面体（如图），求此多面体的体积解：（一）补成一个正方体，如图，V=864（二）补成一个三棱锥，如图，V=V大三棱锥-3V小三棱锥=864 思维点拨：割补法是求多面体体积的常用方法三、课堂小结正多面体必备两个条件各面都是有相同边数的正多边形在各顶点都有相同数目的棱欧拉公式描述了简单多面体的顶点数，面数，棱数之间的规律有关多面体的计算问题与棱柱，棱锥的联系四作业布置： P387 基础强化3、5、7、8 能力提高2、8
