1、平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算【知识梳理】1平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解2平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得axiyj，则(x，y)叫做a的坐标，记作a(x，y)，此式叫做向量的坐标表示3向量i，j，0的坐标表示i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)4平面向量的坐标运算文字符号加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐
2、标的差若a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab(x1x2，y1y2)数乘向量实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标若a(x，y)，R，则a(x，y)重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)【常考题型】题型一、平面向量的坐标表示【例1】已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30角求点B和点D的坐标和与的坐标解由题知B、D分别是30，120角的终边与单位圆的交点设B(x1，y1)，D(x2，y2)由三角函数的定义，得x1cos 30，y1sin 30，B.x2
3、cos 120，y2sin 120，D.，.【类题通法】求点和向量坐标的常用方法(1)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标(2)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标【对点训练】已知O是坐标原点，点A在第一象限，|4，xOA60，(1)求向量的坐标；(2)若B(，1)，求的坐标解：(1)设点A(x，y)，则x4cos 602，y4sin 606，即A(2，6)，(2，6)(2)(2，6)(，1)(，7).题型二、平面向量的坐标运算 【例2】(1)已知三点A(2，1)，B(3,4)，C(2,0)，则向量32_
4、，2_.(2)已知向量a，b的坐标分别是(1,2)，(3，5)，求ab，ab,3a,2a3b的坐标(1)解析A(2，1)，B(3,4)，C(2,0)，(1,5)，(4，1)，(5，4)323(1,5)2(4，1)(38,152)(11,13)2(5，4)2(1,5)(52，410)(7，14)答案(11,13)(7，14)(2)解ab(1,2)(3，5)(2，3)，ab(1,2)(3，5)(4,7)，3a3(1,2)(3,6)，2a3b2(1,2)3(3，5)(2,4)(9，15)(7，11)【类题通法】平面向量的坐标运算技巧在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根
5、据向量的直角坐标运算法则进行计算(直角坐标运算法则即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差，数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积)【对点训练】若向量(2,3)，(4,7)，则()A(2，4)B(3,4)C(6,10) D(6，10)解析：选A(2,3)(4,7)(2，4).题型三、由向量相等求坐标 【例3】(1)若a(1,2)，b(1，1)，c(3，2)，且cpaqb，则p_，q_.(2)已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且3，2，求M，N及的坐标(1)解析a(1,2)，b(1，1)，c(3，2)，paqbp(1,2)q(1，1)(pq,2pq)cpaqb，解得
6、故所求p，q的值分别为1,4.答案14(2)解法一：由A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，可得(2,4)(3，4)(1,8)，(3，1)(3，4)(6,3)，所以33(1,8)(3,24)，22(6,3)(12,6)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则(x13，y14)(3,24)，x10，y120；(x23，y24)(12,6)，x29，y22，所以M(0,20)，N(9,2)，(9,2)(0,20)(9，18)法二：设点O为坐标原点，则由3，2，可得3()，2()，从而32，2，所以3(2,4)2(3，4)(0,20)，2(3，1)(3，4)(9,2)，即点M(0,20)，N(9
7、,2)，故(9,2)(0,20)(9，18)【类题通法】坐标形式下向量相等的条件及其应用(1)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可求某些参数的值【对点训练】已知a，B点坐标为(1,0)，b(3,4)，c(1,1)，且a3b2c，求点A的坐标解：b(3,4)，c(1,1)，3b2c3(3,4)2(1,1)(9,12)(2,2)(7,10)，即a(7,10).又B(1,0)，设A点坐标为(x，y)，则(1x,0y)(7,10)，即A点坐标为(8，10)【练习反馈】1已知(2,4)，则下面说法
8、正确的是()AA点的坐标是(2,4)BB点的坐标是(2,4)C当B是原点时，A点的坐标是(2,4)D当A是原点时，B点的坐标是(2,4)解析：选D由任一向量的坐标的定义可知当A点是原点时，B点的坐标是(2,4)2设平面向量a(3,5)，b(2,1)，则a2b()A(6,3)B(7,3)C(2,1) D(7,2)解析：选Ba(3,5)，b(2,1)，a2b(3,5)2(2,1)(3,5)(4,2)(7,3)3若A(2，1)，B(4,2)，C(1,5)，则2_.解析：A(2，1)，B(4,2)，C(1,5)，(2,3)，(3,3)2(2,3)2(3,3)(2,3)(6,6)(4,9)答案：(4,9)4已知a(3,4)，点A(1，3)，若2a，则点B的坐标为_解析：设点B的坐标为(x，y)，则(x1，y3)，2a(6,8)，若2a，则答案：(7,5)5已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若(R)，试求为何值时，(1)点P在第一、三象限角平分线上？(2)点P在第三象限内？解：设点P的坐标为(x，y)，则(x，y)(2,3)(x2，y3)，(52,43)(7,10)(2,3)(35，17) (R)，(x2，y3)(35，17)，P(55，47)(1)若点P在第一、三象限角平分线上，则5547，故.(2)若点P在第三象限内，则解得故1，即只要1，点P在第三象限内