1、第三章不等式3 基本不等式3.1 基本不等式内 容 标 准学 科 素 养1.了解算术平均数、几何平均数的定义.2.理解两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释.3.会用基本不等式证明其他不等式.严格分类讨论准确数形结合规范公式应用01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点 基本不等式预习教材 P8890，思考并完成以下问题如图(1)是在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标，将其抽象成如图(2)形式设直角三角形的直角边长为 a、b(ab)，那么正方形的边长为 a2b2.(1)根据抽象的图形，你能从中得到一个什么样
2、的不等关系？提示：(a2b2)2412ab 即 a2b22ab.(2)当中间的四边形 EFGH 缩为一点，即四个直角三角形变为等腰直角三角形时，可以得到什么结论？结合问题 1 你有什么发现？提示：a2b22ab，结合问题 1 可得出结论 a2b22ab.(3)在 a0，b0 时，用 a，b分别代替 a、b，可以得到什么结论？提示：ab2 ab.知识梳理 基本不等式(均值不等式)思考：1.若 ab0，则baab2 成立吗？若成立，什么时候取等号？提示：成立由已知ba0，ab0，及基本不等式得，baab2baab2，当且仅当baab，即 a2b2，即 ab 时，取等号2设 0，2，不等式 sin
3、2sin 2 2中的“”能否成立？为什么？提示：不能成立因为由基本不等式中等号成立的条件，应有 sin 2sin，即 sin22，这是不可能的，故“”不可能成立自我检测1若 x2y24，则 xy 的最大值是()A.12B1C2 D4解析：xyx2y222，当且仅当 xy 时取“”故选 C.答案：C2设 ab0，则下列不等式中一定成立的是()Aab0 B0ab1C.abab2Dabab解析：ab0，由基本不等式知 abab2 一定成立故选 C.答案：C3已知 x，yR，且 xy100，则 xy 的最小值为_解析：xy2 xy20，当且仅当 xy10 时取“”答案：20探究一 对基本不等式的理解
4、例 1 给出下列结论：若 x0，则 x4x4；若 a0，b0，则log2alog2b2 log2alog2b；若2m2n2 2m2n，则必有 m，n0；若 aR，则 a214a.其中正确的结论的序号是_解题指南 从基本不等式成立的条件以及基本不等式的变形入手，对每一个结论分别进行研究，找出其中的正确结论解析 对于，只有当 x0 时，才有 x4x2x4x4 成立，故错误；对于，虽然有 a0，b0，但 log2a 和 log2b 不一定都是正数，因此不一定有log2alog2b2 log2alog2b，故错误；对于，当 m，nR 时，有 2m，2n0，因此一定有2m2n2 2m2n，故错误；对于，
5、由于 a214a21222a12a，所以正确答案 方法技巧 基本不等式应用的注意事项(1)基本不等式的使用条件(两数均为正)；(2)基本不等式具有将“和式”转化为“积式”，或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能；同时要注意结合和式的性质跟踪探究 1.已知 a0，b0，设 Aa2b22，Bab2，C ab，D 21a1b，试判断 A、B、C、D 的大小解析：由基本不等式可得ab2 ab，即 BC，再由基本不等式可得D 21a1b221a1b abC，Aa2b222ab2 abC，而又 A2B2a2b22（ab）242（a2b2）（a2b22ab）4a22abb24（ab）240，AB，综上可得
6、ABCD.探究二 用基本不等式证明(判断)不等式阅读教材 P88 例 1 及解答设 a，b 均为正数，证明不等式：ab 21a1b.题型：用基本不等式证明不等式方法步骤：利用基本不等式得1a1b2 1ab.利用不等式性质两边取倒数得 ab 21a1b.强调“”成立的条件例 2(2019徐州高二检测)设 a，b，c 都是正数，求证：bca acb abc abc.解题指南 利用基本不等式即bca acb 2c，acb abc 2a，bca abc 2b 及不等式的性质(可加性)去证明证明 因为 a，b，c 都是正数，所以bca，acb，abc 也都是正数，所以bca acb 2c，acb abc
7、 2a，bca abc 2b.三式相加得 2bca acb abc 2(abc)即bca acb abc abc，当且仅当 abc 时取等号延伸探究 1.若将例 2 改为“a，b，c 都是负数”，求证：bca acb abc abc.证明：因为 a，b，c 都是负数，所以bca，acb，abc 也都是负数，所以bca acb bca acb 2c，acb abc acb abc 2a，bca abc bca abc 2b，三式相加得 2bca acb abc 2(abc)，即bca acb abc abc，当且仅当 abc 时取等号2若例 2 的条件不变，如何证明bacbaccabcab？证明
8、：因为 a，b，c 都是正数，所以bacb2ca，baac2bc，cbac2ab，因此 2bacbac 2cabcab，即bacbaccabcab.当且仅当 abc 时取等号方法技巧 利用基本不等式证明不等式的思路利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接利用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之转化为能使用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系当已知条件中含有“1”时，要注意“1 的代换”另外，解题时要注意等号能否取到跟踪探究 2.(1)已知 a，b，c，d 都是正数，求证：(abcd)(acbd)
9、4abcd.(2)已知 a0，b0，且 ab2，求证：1a1b2.证明：(1)因为 a，b，c，d 都是正数，所以 abcd2 abcd，acbd2 abcd，于是(abcd)(acbd)2 abcd2 abcd4abcd.当且仅当 abcd，且 acbd 时等号成立故(abcd)(acbd)4abcd.(2)由于 ab2，所以1a1b12aba abb12baab2 122baab2 2，当且仅当baab，即 ab 时等号成立故1a1b2.课后小结(1)应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当 a0，b0 时，才会有 abab2.对于“当且仅当时，成立”这句话要从两个方面理解：一方面，
10、当 ab 时，ab2 ab；另一方面：当ab2 ab时，也有 ab.(2)应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构素养培优忽视基本不等式成立的条件致错求函数 yx1x的值域易错分析 由于 yx1x的定义域为(，0)(0，)，故要对 x 的符号加以讨论，否则不能用基本不等式在基本不等式ab2 ab中，a，b 均为非负数，应用该不等式时，一定要符合这一前提条件，先将各项化为正值，再运用基本不等式，最后还应验证“”是否成立自我纠正 当 x0 时，x1x2x1x2，当且仅当 x1x，即 x1 时，“”成立，所以 y2.当 x0 时，x1xx 1x 2x 1x2，当且仅当x 1x，即 x1 时，“”成立所以 y2.故函数 yx1x的值域为(，22，).课时跟踪训练