1、专题07 与导数有关的构造函数一命题陷阱：1.图形考虑不周陷阱；2.思维定式陷阱（与等式有关的构造函数）；3. 已知条件中含有导函数值而无从下手；4.恒成立中的最值陷阱5. 含有导函数的式子中的和差构造陷阱6.与三角函数有关的构造函数7.忽视分母造成解集不完备8.与指数函数对数函数有关的构造二典例分析及练习（一）图形考虑不周陷阱例1. 已知，若关于的方程恰好有 4 个不相等的实数解，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】化简可得= 当时， ，当0x1时，当时，在（0，1）上单调递增，在（1，+）单调递减；当x0时， 0，f（x）为减函数，函数在（0，+）上有一个最大
2、值为，作出函数的草图如图：则方程等价为，要使关于x的方程恰好有4个不相等的实数根，等价为方程有两个不同的根m1且0m2，设，则 解得1t1+，故答案选：C.陷阱预防：这类问题根据已知条件画出函数的图象，利用图象求解时注意切线等特殊位置练习1. 已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】画出函数f（x）的图象，练习2. 已知函数，关于的不等式只有1个整数解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由得。当时， 单调递增；当时， 单调递减。当时， 有最大值，且，且时，；时，；故在(0,1)上， ，在(1,+)上， ，作出函
3、数f(x)的图象如下：当时，由得，解集为(0,1)(1,+)，所以不等式的整数解有无数多个，不合题意；当时，由得或。当时，解集为(1,+)，有无数个整数解；当时，解集为(0,1)的子集，不含有整数解。故不合题意。综上，选D。【方法规律】函数图象在研究零点个数、解的个数中的应用 （1）研究两函数图象的交点个数：在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解；（2）确定方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；（3）研究不等式的解：当不等式问
4、题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解（二）思维定式陷阱（与等式有关的函数构造）例2. 若函数满足，则当时， （ ）A. 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值又无极小值【答案】C【解析】由题设知，当时， ，可得为常数），又，得C=0所以.故选B.陷阱预防：这类问题在构造函数是，注意逆向思维，构造出的函数的导函数与已知条件相同，或者能够利用已知条件求解.练习1. 函数的导函数为，满足，且，则的极值情况为（ ）A. 有极大值无极小值 B. 有极小值无极大值C. 既有极大
5、值又有极小值 D. 既无极大值也无极小值【答案】D【解析】 将代入可得： 则 =令则，当时， ，当时， ，故当时， 取最大值0，故恒成立，故恒成立，故既无极大值也无极小值，故选练习2. 若函数在上可导，且，则( )A. B. C. D. 以上都不对【答案】C【方法规律】常用的构造函数有：，构造xf(x)；2xf(x)+x2f(x)，构造x2f(x)；，构造;，构造；，构造.等等.（三）已知条件中含有导函数值陷阱例3.已知函数在R上可导，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由可得： ，令得，所以令代入原式得： 陷阱预防： 根据已知条件先求特殊值的导函数值后再求解练习1.若
6、函数在上可导，且，则( )A. B. C. D. 以上都不对【答案】C练习2. 若函数满足，则等于( )A. 1 B. 2C. 2 D. 0【答案】B【解析】，令函数，可得，即函数为奇函数，故选B.（四）恒成立中的最值陷阱例4. 已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】画出函数f（x）的图象，由y= 可得直线在y轴上的截距为4，若4 恒成立， 图像恒在分段函数的上方，故 故选：D陷阱预防： 恒成立问题中要分清求的是最大值还是最小值练习1. 函数在实数集上连续可导，且在上恒成立，则以下不等式一定成立的是（）A. B. C. f（-2）e3f（1
7、） D. f（-2）e3f（1）【答案】A练习2. 设函数的导函数为，且在上恒成立，则， ， 的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设函数，则，因为在上恒成立，故当时， 恒成立，所以函数在时，单调递减，所以，即成立，故选D.【方法规律】函数恒成立求参的问题，方法一般有：变量分离，转化成函数最值问题；直接构造函数，使函数最值和0比较；分离成两个函数，让其中一个函数在另一个的上方或者下方. （五）含有导函数的式子中的和差构造例5.函数在其定义域内满足 ，（其中为函数的导函数），则函数A. 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值
8、又无极小值【答案】B故选：B陷阱预防： 根据含有导函数式子中和差，一般情况下，和考虑构造函数的积，差考虑函数的商，余弦函数正好相反.练习1. 已知定义在上的奇函数的导函数为，当时， 满足， ，则在上的零点个数为（ ）A. 5 B. 3 C. 1或3 D. 1【答案】D【解析】根据题意可构造函数 则 由题当时， 满足， ， 即函数 在 时是增函数，又 当 成立，对任意是奇函数， 时， 即只有一个根就是0故选D。练习2. 设是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 由，即，令，则当时，得，即在上是增函数， ， ，即不等式等价为， 在上
9、是增函数， 由得， ，即，又因为是定义在，所以，故，不等式的解集为故选C.（六）与三角函数有关的构造函数例6.定义在上可导函数的导数为，且，则下列判断中，一定正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A故选A.陷阱预防： 构造函数时注意正弦、余弦的导数公式，尤其注意余弦的导数公式的符号练习1.定义在上的函数， 是它的导函数，且恒有成立，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】构造函数,则 ,即g(x)在 上单调递增,所以,即,故选B.练习2.定义在上的函数满足： 恒成立，则下列不等式中成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A故答案选A.【方法规律】根据含导函数的不等式构造原函数
10、时要注意从以下几种类型考虑： 原函数是函数和差的组合； 原函数是函数乘除的组合； 原函数是函数与的乘除的组合； 原函数是函数与的乘除的组合； 原函数是函数与的乘除的组合； 原函数是函数与的乘除的组合.（七）忽视分母造成解集不完备例7. 已知函数是定义在的可导函数， 为其导函数，当且 时， ，若曲线在处的切线的斜率为，则 （ ）A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C【解析】当 且 时， ，可得： 时， 时， 令 可得： 时， ； 时， 可得：函数在处取得极值， 故答案为陷阱预防： 解答时讨论分母的正负练习1. 对于上可导的任意函数，若满足，则必有（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析
11、】试题分析：由题意时， ， 递减， 时， ， 递增，因此， ，所以故选A练习2. 设为定义在上的函数的导函数，且恒成立，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，即，设，则，当时， 恒成立，即在上单调递增， ， ，故选A.【方法规律】求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题根据，联想到函数，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.（
12、八）与指数函数对数函数有关的构造例8.定义在上的函数与其导函数满足，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由可得。令，则。函数在在上为增函数，即，.选A.陷阱预防：构造函数时注意原函数是函数与的乘除的组合,原函数是函数与的乘除的组合练习1.定义域为 的可导函数的导函数为,满足,且则不等式的解集为( )A. B. C. D. 【答案】B练习2.已知定义在上的函数的导数为，且满足， 则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】令g（x）= ，则g（x） ,故g（x）在（0，+）递增，故g（e）g（e2）g（e3），故6f（e）3f（e2）2f（e3），故选：
13、B练习3.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，即 ，设，则即，则当时，得，即在上是减函数， ， ，即不等式等价为 ， 在是减函数，可得， ，即，又因为定义在，所以, 不等式的解集为,故选C.【方法规律】解答这类题的关键是构造函数，主要考查导数运算法则的逆用.根据含导函数的不等式构造原函数时要注意从以下几种类型考虑：原函数是函数和差的组合；原函数是函数乘除的组合；原函数是函数与的乘除的组合；原函数是函数与的乘除的组合；原函数是函数与的乘除的组合；原函数是函数与的乘除的组合.三高考
14、真题体验1.若是函数的极值点，则的极小值为（ ）A. B. C. D.1【答案】A【解析】试题分析：由题可得因为，所以，故令，解得或，所以在单调递增，在单调递减所以极小值为，故选A。2.函数y=f(x)的导函数的图像如图所示，则函数y=f(x)的图像可能是【答案】D【解析】试题分析：原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D3.已知函数有唯一零点，则a=ABCD1【答案】C【解析】试题分析：函数的零点满足，设，则，当时，当时，函数 单调递减，当时，函数 单调递增，当时，函数取得最小值，设 ，当时，函数取得最小值 ，若，函数与函数没有交点，当时，时，此时函数和有一个交点，即，
15、解得 .故选C.4.设函数=,其中a1，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是（ ）(A)-，1） (B)-，） (C)，） (D)，1）【答案】D当时，=-1，直线恒过（1,0）斜率且，故，且，解得1，故选D.5.设函数是奇函数的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）A BC D【答案】A【解析】记函数，则，因为当时，故当时，所以在单调递减；又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在单调递减，且当时，则；当时，则，综上所述，使得成立的的取值范围是，故选A6.对二次函数（为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）A是的零点 B1是的极值点C3是的极值 D. 点在曲线上【答案】A【解析】若选项A错误时，选项B、C、D正确，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A7.曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为 .【答案】【解析】在同一坐标系内作出两个函数的图象，解议程组得两曲线的交点坐标为，由图可知峡谷曲线所围成的封闭图形的面积.8.若定义在上的函数 满足 ，其导函数 满足 ，则下列结论中一定错误的是（ ）A B C D 【答案】C