1、专题六解三角形与平面向量(见学生用书P36)(见学生用书P36)1三角形的有关公式：(1)在ABC中：sin(AB)sin_C，sincos_；(2)正弦定理：2R；(3)余弦定理：a2b2c22bccos_A，cos A；(4)面积公式：Sahaabsin Cr(abc)(其中r为三角形内切圆半径)2平面向量的数量积ab|a|b|cos_(为两个非零向量a，b的夹角)特别地，a2aa|a|2，|a|.当为锐角时，ab0，且ab0是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，ab0，且ab0是为钝角的必要非充分条件3b在a上的射影为|b|cos_4平面向量坐标运算设a(x1，y1)，b(x2，y2)，
2、且a0，b0，则：(1)abx1x2y1y2；(2)|a|，a2|a|2xy；(3)ababx1y2y1x20；(4)abab0|ab|ab|x1x2y1y20.(5)若a、b的夹角为，则cos 5ABC中向量常用结论(1)0P为ABC的重心；(2)P为ABC的垂心；(3)向量(0)所在直线过ABC的内心；(4)|P为ABC的外心(见学生用书P37)考点一解三角形考点精析正、余弦定理、推论及其应用正弦定理余弦定理形式2Ra2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C拓展或推论Sabsin Cbcsin Aacsin Bcos A，cos B，cos C
3、解决的问题类型(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角(2)已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角(1)已知三边，求三个角(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角例 11(2014师大附中模拟)设ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2，B，C，则ABC的面积为()A1 B.1C1 D.1考点：正弦定理，三角形面积求法分析：利用正弦定理列出关系式，将b，sin B，sin C的值代入求出c的值，且根据B与C的度数求出A的度数，由b，c，sin A的值，利用三角形面积公式即可求出ABC的面积解析：在ABC中，b2，B，C，由正弦定理得：c.ABC，sin Asinsi
4、n，SABCbcsin A21.答案：A点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键例 12(2014湖南模拟)ABC中，已知3b2asin B，角A，B，C成等差数列，则ABC的形状为()A直角三角形 B等腰三角形C等边三角形 D等腰直角三角形考点：正弦定理的应用分析：根据条件求出B，然后根据正弦定理即可得到结论解析：A，B，C成等差数列，AC2B，即3B，B.3b2asin B，根据正弦定理得3sin B2sin Asin B，在ABC中，sin B0，32sin A，即sin A，A或.当A时，AB不满足条件A，此时C.故ABC
5、，即ABC的形状为等边三角形答案：C点评：本题主要考查正弦定理的应用，根据等差数列的性质求出角B是解决本题的关键例 13(2014上海模拟)若ABC的三个内角满足sin Asin Bsin C51113，则ABC()A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形考点：余弦定理的应用；正弦定理的应用分析：先根据正弦定理及题设，推断abc51113，再通过余弦定理求得cos C的值小于零，推断C为钝角解析：根据正弦定理，又sin Asin Bsin C51113，abc51113.设a5t，b11t，c13t(t0)，c2a2b22abcos C，co
6、s C0，角C为钝角答案：C点评：本题的关键是应用余弦定理来判断角的类型，注意与正弦定理的巧妙结合规律总结正弦定理，余弦定理是解三角形的基础，是与其他知识的交汇点，因而一直是高考命题的热点问题考查时，既有小题，也有大题，以选择、填空题形式考查正弦定理、余弦定理的常见类型有：一是解三角形及其应用(如例11)；二是判断三角形的形状(如例12)；三是正弦定理、余弦定理与其他知识的综合运用(如例13)变式训练【11】 (2015广东卷)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2，c2，cos A，且bc，则b()A3 B2C2 D.解析：根据余弦定理，cos A，b2a2c22bccos
7、A，即b24126b，解得b2或b4.bc，b2.答案：C【12】 (2015黄冈模拟)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D不确定解析：由正弦定理及已知条件可知sin Bcos Ccos Bsin Csin2A，即sin(BC)sin2A，而BCA，所以sin(BC)sin A，所以sin2Asin A，又0A0，sin A1，即A，故选A.答案：A【13】 (2015东城模拟)在锐角ABC中，AB3，AC4，SABC3，则BC()A5 B.或C. D.解析：由SABCABACs
8、in BAC34sin BAC3，得sin BAC.因为ABC为锐角三角形，所以BAC，故BAC.在ABC中，由余弦定理得，BC2AC2AB22ACABcos BAC4232243cos 13.所以BC，故选D.答案：D例 14(2014广州模拟)已知A、B、C分别为ABC的三边a、b、c所对的角，向量m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，且mn sin 2C.(1)求角C的大小；(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且()18，求边c的长考点：余弦定理；等差数列的性质；平面向量数量积的运算；正弦定理分析：(1)根据n和m表示出mn，求得mnsin C，进
9、而根据已知可推断出sin Csin 2C，再用二倍角公式求得cos C的值，进而求得C.(2)由sin A，sin C，sin B成等差数列，可推断出2sin Csin Asin B，利用正弦定理把角转化为边的问题，进而根据()求得abcos C18，最后由余弦定理求得C.解析：(1)mnsin Acos Bsin Bcos Asin(AB)，在ABC中，由于sin(AB)sin C，mnsin C.又mnsin 2C，sin 2Csin C，即2sin Ccos Csin C，又sin C0，所以cos C，而0C，因此C.(2)由sin A，sin C，sin B成等差数列，得2sin C
10、sin Asin B，由正弦定理得2cab.()18，18，即abcos C18，由(1)知cos C，所以ab36.由余弦定理得c2a2b22abcos C(ab)23ab，c24c2336，整理得c236，c6.点评：本题主要考查了正、余弦定理和平面向量积的运算考查了学生综合分析问题和运算的能力，关键是对公式的熟练掌握，难度中等规律总结以解答题形式考查正弦定理、余弦定理及其综合应用一直是高考命题的热点问题这类问题往往涉及到三角形的面积问题，因此我们必须熟练掌握三角形的面积公式并且这类问题考查的重点是三角形中的三角变换问题变式训练【14】 (2015兰州诊断)在ABC中，角A，B，C所对的边
11、分别为a，b，c，已知.(1)求A的大小；(2)若a6，求bc的取值范围解析：(1)，cos Asin A，tan A，0A，A.(2)4，b4sin B，c4sin C，bc4sin B4sin C4sin Bsin(AB)412sin.B，612sin12，即bc(6，12【15】 (2014黄冈模拟)ABC的外接圆的直径为1，三个内角A、B、C的对边为a、b、c，m(a，cos B)，n(cos A，b)，ab，已知mn.(1)求sin Asin B的取值范围；(2)若abxab，试确定实数x的取值范围解析：(1)mn，mn0，acos Abcos B0.由正弦定理知，1，asin A，
12、bsin B.sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B.A，B(0，)，2A2B或2A2B.AB，或AB.又ab，所以AB，故AB.sin Asin Bsin Acos Asin，A，sin1.sin Asin B的取值范围为(1，(2)abxab，sin Asin Bxsin Asin B，x.令sin Acos At(1，sin Acos A，x.t在(1，上单调递增，00，n0)，mn1，当且仅当mn1时取等号，mn的最大值为1.答案：B点评：本题考查了利用向量的坐标运算求最值问题，需要根据图形的特征建立坐标系，转化为几何问题，根据条件求出两数的和，再由基本不
13、等式求出它们的积的最大值注意验证的三个条件：一正二定三相等，考查了转化思想规律总结综观2015年的高考试题，不难发现：高考对平面向量的考查，主要以选择、填空题为主(至于解答题中，也会涉及到平面向量的有关知识，但考查的重心却是其他知识，此时平面向量只是作为叙述有关条件的工具而已)而且在选择、填空题考查平面向量有关知识题目与前几年相比较又有所变化：现在的高考题，要么非常常规，只要我们熟练掌握平面向量的基本知识和基本方法即可顺利过关；要么是新型问题这正是需要我们在二轮复习中重点突破的地方变式训练【21】 (2014广州模拟)设a(a1，a2)，b(b1，b2)，定义一种向量积ab(a1，a2)(b1
14、，b2)(a1b1，a2b2)已知m，n，点P(x，y)在ysin x的图象上运动，点Q在yf(x)的图象上运动，且满足mn(其中O为坐标原点)，则yf(x)的最大值为_解析：设Q(x，y)，P(x，y)，则由mn得(x，y)，消去x得yf(x)的解析式为ysin，xR，易得yf(x)的最大值为.答案：【22】 (2014温州十校联考)在ABC中，ACB为钝角，ACBC1，xy且xy1，函数f(m)|m|的最小值为，则|的最小值为_解析：如图，ABC中，ACB为钝角，ACBC1，记m，则当N在D处，即ADBC时，f(m)取得最小值，因此|，容易得到ACB120.xy且xy1，O在AB上，当CO
15、AB时，|最小，|min.答案：(见学生用书P43)例在ABC中，sin Acos A，AC2，AB3，求tan A的值和ABC的面积考场错解：sin Acos A，两边平方得2sin Acos A.又02A360，2A210或2A330，即A105或A165.当A105时，tan Atan(4560)，sin Asin(4560)，ABC的面积为ACABsin A；当A165时，tan Atan(45120)2，sin Asin(45120)，ABC的面积为ACABsin A()专家把脉：没有注意到平方是非恒等变形的过程，产生了增根，若A165，则sin A，cos A，此时sin Acos
16、 A，显然与sin Acos A的已知条件矛盾对症下药：(方法1)sin Acos A，cos(A45)，即cos(A45)，又0A180，A4560，即A105.tan Atan(4560)2，sin Asin(4560)，SABCACABsin A()(方法2)sin Acos A，2sin Acos A0.又0A0，cos A0.(sin Acos A)212sin Acos A，sin Acos A.解得sin A，cos A，tan A2，SABCACABsin A()专家会诊：解三角形的题目，一般是利用正弦定理、余弦定理结合三角恒等变形来解要注意角的范围与三角函数值符号之间的联系与
17、影响，注意利用大边对大角来确定解是否合理，要注意利用ABC中，ABC，以及由此推得一些基本关系式sin(BC)sin A，cos(BC)cos A，sincos等，进行三角变换的运用判断三角形的形状，必须从研究三角形的边与边的关系，或角与角的关系入手，要充分利用正弦定理，余弦定理进行边角转换. (见学生用书P159)一、选择题1(2015全国卷)向量a(1，1)，b(1，2)，则(2ab)a()A1 B0C1 D2解析：a(1，1)，b(1，2)，2ab(1，0), (2ab)a110(1)1.答案：C2(2014武汉模拟)在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是()A锐
18、角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不能确定解析：sin2Asin2Bsin2C，由正弦定理可得，a2b2c2，由余弦定理可得cos C0，C，ABC是钝角三角形答案：C3(2014长沙市一中模拟)在ABC中，AB2，AC3，1，则BC()A. B.C2 D.解析：根据题意画出相应的图形，如图所示：1，设B，AB2.2BCcos()1，即cos .又根据余弦定理得：cos ，即BC23，则BC.答案：A4(2014福建模拟)锐角ABC中，若A2B，则的取值范围是()A(1，2) B(1，) C(，2) D(，)解析：ABC为锐角三角形，且A2B，B|ab|，此时|ab|2|a|2|b|2；当
19、a，b夹角为钝角时，|ab|a|2|b|2；当ab时，|ab|2|ab|2|a|2|b|2，故选D.答案：D8(2015荆州质检)如图为函数f(x)sin(x)(0)的部分图象，B，C分别为图象的最高点和最低点，若|2，则()A. B.C. D.解析：由题意可知|2|，由|2知|cos ABC|2，ABC120，过B作BD垂直于x轴于D，则|3，T12，故选C.答案：C二、填空题9(2014黄山一模)设ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acos Bbcos Ac，则的值为_解析：由acos Bbcos Ac及正弦定理可得sin Acos Bsin Bcos Asin C，即s
20、in Acos Bsin Bcos Asin(AB)，即5(sin Acos Bsin Bcos A)3(sin Acos Bsin Bcos A)，即sin Acos B4sin Bcos A，因此tan A4tan B，所以4.答案：410(2015天津卷)在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3，bc2，cos A，则a的值为_解析：因为0A，所以sin A，又SABCbcsin Abc3， bc24，解方程组得b6，c4.由余弦定理得a2b2c22bccos A624226464，所以a8.答案：811(2015湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向
21、正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为 30，则此山的高度CD_m.解析：在ABC中，BAC30，ACB45，AB600 m，由正弦定理得，BC300 m.在RtDBC中，DBC30，tan 30，CDBCtan 30100(m)答案：100三、解答题12(2014山东卷)ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a3，cos A，BA.(1)求b的值；(2)求ABC的面积解析：(1)在ABC中，由题意知，sin A.又因为BA，所以sin Bsin cos A.由正弦定理可得，b3.(2)由BA得
22、，cos Bcos sin A.由ABC，得C(AB)，所以sin Csin (AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.因此ABC的面积Sabsin C33.13(2015陕西卷)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m(a，b)与n(cos A，sin B)平行(1)求A；(2)若a，b2，求ABC的面积解析：(1)因为mn，所以asin Bbcos A0，由正弦定理，得sin Asin Bsin Bcos A0，又sin B0，从而tan A，由于0A0，所以c3.故ABC的面积为bcsin A.(方法2)由正弦定理，得，从而sin B.又由ab，知AB
23、，所以cos B.故sin Csin(AB)sinsin Bcos cos Bsin .所以ABC的面积为absin C.14(2015浙江卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A，b2a2c2.(1)求tan C的值；(2)若ABC的面积为3，求b的值解析：(1)由b2a2c2及正弦定理得sin2Bsin2C，所以cos 2Bsin2C.又由A，即BC，得cos 2Bsin 2C2sin Ccos C，解得tan C2.(2)由tan C2，C(0，)得sin C，cos C.又因为sin Bsin(AC)sin，所以sin B.由正弦定理得cb，又因为A，bcsin
24、A3，所以bc6，故b3.15(2014潍坊联考)已知向量m(cos x，1)，n，f(x)(mn)m.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)已知锐角ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积S，f，a3，求bc的值解析：(1)mn，f(x)(mn)m(cos xsin x)cos xcos2xsin xcos xcos 2xsin 2xcos.令2k2x2k，kZ，则kxk，kZ，f(x)的单调递增区间为(kZ)(2)fcos，cos 2A.0A， 02A， 2A， A.Sbcsin Abc， bc4.由余弦定理得a2b2c22bccos A，即9b2c2bc，又(bc)2b2c22bc93bc21, bc.