1、四川省凉山州2020-2021学年高一下学期理数期末检测试卷一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在平行四边形ABCD中， DC-AC+AB= （ ） A.DBB.BDC.CAD.AC2.在数列 an 中， a1=1 ， an=2an-1-1(n2,nN*) ，则 a8= （ ） A.-1B.1C.7D.83.在 ABC 中， a,b,c 是A，B，C所对的边，且 a=3 ， b=6 ， B=45 ，则角 A= （ ） A.30B.150C.30 或 150D.1354.已知向量 a=(-3,4) ， b=(-1,0) ，则 b 在 a 方向
2、上的投影为（ ） A.-35B.35C.3D.-35.若 ab0 ，则下列不等式正确的是（ ） A.1aa2C.|a|26.若 an 为等比数列，且 a2a7+a3a6=4 ，则 a1a2a3a8= （ ） A.8B.16C.64D.2567.在 ABC 中，角A，B，C满足 sinA:sinB:sinC=2:3:7 ，则角C=（ ） A.6B.4C.3D.28.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A.3B.1+22C.2+3D.2+29.若锐角 ABC 的边长分别为1，2，a，则a的取值范围是（ ） A.(1,3)B.(3,5)C.(1,3)D.(2,5)10.数列 an
3、的 a1=1 ， p=(an+1,n+1) ， q=(n,-an) ，且 pq ，则 a2021= （ ） A.1B.2020C.2021D.202211.在 ABC 中， BABC=9 ， AB=3 ， BD=2DC ，则 ADAB= （ ） A.1B.2C.3D.412.三棱锥 P-ABC 中，二面角 B-PA-C 大小为 120 ，且 PAB=PAC=90 ， AB=AC=1 ， PA=2 .若点P，A，B，C都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A.4B.5C.6D.8二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.an 是等比数列，若 a1=1 ， a2=2 ，则数列 a
4、n 的前n项和 Sn= _. 14.已知 x ， y 满足约束条件 x-y0x+y-202x+y-20 ，则 2x-y 的最大值为_. 15.若 x1 ，则 x2-x+9x-1 的最小值为_. 16.在 ABC 中，角A，B，C所对的边分别为 a,b,c ， A=6 ， a=2 ， O 为 ABC 的外接圆， OP=mOB+nOC ，给出下列四个结论： 若 m=n=1 ，则 |OP|=23 ；若P在 O 上，则 m2+n2+mn=1 ；若P在 O 上，则 m+n 的最大值为2；若 m,n0,1 ，则点P的轨迹所对应图形的面积为 23 .其中所有正确结论的序号是_.三、解答题（共6小题，共70分
5、.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.设 e1 ， e2 是两个相互垂直的单位向量，且 a=e1+2e2 ， b=3e1+e2 . （1）若 ab ，求 的值； （2）若 ab ，求 的值. 18.关于x的不等式： x2-ax-2a0 . （1）当 a=1 时，求不等式的解集； （2）若不等式对一切实数恒成立，求 a 的取值范围. 19.等比数列 an 的各项均为正数，且 a1+6a2=1 ， a3=a1a2 . （1）求数列 an 的通项公式； （2）设 bn=log3an ，求数列 bn 前几项和. 20.设锐角 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ， 2asi
6、nB=3b . （1）求 A ； （2）若 a=3 ， sin(A+C)=33 ，求c的值. 21.如图，四棱锥 P-ABCD 中， ABCD 是正方形， PA 平面 ABCD ，E，F分别 PA ，BC的中点. （1）证明： EF 平面PCD； （2）已知 PA=AB=2 ，G为棱CD上的点， EFBG ，求三棱锥 E-FCG 的体积. 22.数列 an 是首项为1，公差不为0的等差数列，且 a1,a2,a4 成等比数列，数列 bn 满足： b1=1 ， bnbn+1=an2 . （1）求数列 an 的通项公式； （2）证明： 1b1+3b2+5b3+2n-1bn2n-1 . 答案解析一、选
7、择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在平行四边形ABCD中， DC-AC+AB= （ ） A.DBB.BDC.CAD.AC【答案】 A 【考点】向量的加法及其几何意义，向量的减法及其几何意义，向量加减混合运算及其几何意义 【解析】【解答】解：由题意得DC-AC+AB=DC+CA+AB=DB 故答案为：A 【分析】根据向量的加法、减法运算求解即可.2.在数列 an 中， a1=1 ， an=2an-1-1(n2,nN*) ，则 a8= （ ） A.-1B.1C.7D.8【答案】 B 【考点】数列的概念及简单表示法 【解析】【解答】解：由a1=1，
8、an=2an-1-1(n2,nN*)得 a2=2a1-1=21-1=1 a3=2a2-1=21-1=1 a4=2a3-1=21-1=1 a5=2a4-1=21-1=1 a6=2a5-1=21-1=1 a7=2a6-1=21-1=1 a8=2a7-1=21-1=1 故答案为：B 【分析】根据数列的递推公式求解即可.3.在 ABC 中， a,b,c 是A，B，C所对的边，且 a=3 ， b=6 ， B=45 ，则角 A= （ ） A.30B.150C.30 或 150D.135【答案】 A 【考点】正弦定理，正弦定理的应用 【解析】【解答】解：由正弦定理asinA=bsinB ， 得sinA=as
9、inBb=3sin456=12 又A(0,)，ab AB A=30 故答案为：A 【分析】根据正弦定理求解即可.4.已知向量 a=(-3,4) ， b=(-1,0) ，则 b 在 a 方向上的投影为（ ） A.-35B.35C.3D.-3【答案】 B 【考点】向量的物理背景与概念 【解析】【解答】解： a=(-3,4) ， b=(-1,0) ， b在a方向上的投影为bcos=aba=-3-1+40-32+42=35 故答案为：B 【分析】根据向量的投影求解即可.5.若 ab0 ，则下列不等式正确的是（ ） A.1aa2C.|a|2【答案】 D 【考点】不等关系与不等式，基本不等式在最值问题中的
10、应用 【解析】【解答】解：对于A，取a=-2,b=-1，有1a1b ， 故A错误； 对于B，取a=-2,b=-1，有ab|b|，故C错误； 对于D， ab0,ab0 ba+ab2 当且仅当ba=ab ， 即a=b时取等号，而ab2 故D正确. 故答案为：D 【分析】利用反例可判断ABC，根据基本不等式可判断D.6.若 an 为等比数列，且 a2a7+a3a6=4 ，则 a1a2a3a8= （ ） A.8B.16C.64D.256【答案】 B 【考点】等比数列的性质 【解析】【解答】解： an为等比数列，且a2a7+a3a6=4 ， 2a3a6=4 a3a6=2 a1a2a3a8=(a3a6)4
11、=24=16 故答案为：B 【分析】根据等比数列的性质求解即可.7.在 ABC 中，角A，B，C满足 sinA:sinB:sinC=2:3:7 ，则角C=（ ） A.6B.4C.3D.2【答案】 C 【考点】正弦定理的应用，余弦定理的应用 【解析】【解答】解：由正弦定理，及 sinA:sinB:sinC=2:3:7得a:b:c=2:3:7 则可设a=2t，b=3t，c=7t 则由余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab=2t2+3t2-7t222t3t=12 又C(0,) C=3 故答案为：C 【分析】根据正弦定理，余弦定理求解即可.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
12、A.3B.1+22C.2+3D.2+2【答案】 D 【考点】由三视图求面积、体积，由三视图还原实物图 【解析】【解答】解：由题意得，根据三视图还原得该几何体，如图所示， 在该直棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，SA底面ABCD，SA=1， 则S=21211+11+21212=2+2 故答案为：D 【分析】根据三视图的画法，结合棱锥的表面积求解即可.9.若锐角 ABC 的边长分别为1，2，a，则a的取值范围是（ ） A.(1,3)B.(3,5)C.(1,3)D.(2,5)【答案】 B 【考点】一元二次不等式的解法，余弦定理的应用 【解析】【解答】解：当2是ABC的最大边时，有2
13、a，设2所对的角为， 则cos=a2+12-222a10 ， 解得a3 ， 则32，设a所对的角为， 则cos=22+12-a22210 ， 解得2a5 ， 综上得3a1 ，则 x2-x+9x-1 的最小值为_. 【答案】 7 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【解答】解：x1 x-10 则x2-x+9x-1=x+9x-1=x-1+9x-1+12x-19x-1+1=7 当且仅当x-1=9x-1 ， 即x=4时，等号成立 故最小值为7 故答案为：7 【分析】根据基本不等式求解即可.16.在 ABC 中，角A，B，C所对的边分别为 a,b,c ， A=6 ， a=2 ， O 为 ABC
14、 的外接圆， OP=mOB+nOC ，给出下列四个结论： 若 m=n=1 ，则 |OP|=23 ；若P在 O 上，则 m2+n2+mn=1 ；若P在 O 上，则 m+n 的最大值为2；若 m,n0,1 ，则点P的轨迹所对应图形的面积为 23 .其中所有正确结论的序号是_.【答案】 【考点】基本不等式在最值问题中的应用，向量的模，向量的线性运算性质及几何意义 【解析】【解答】解： A=6 ， a=2 ， O为ABC的外接圆， 2R=asinA=212=4 ， R=2 BOC=2A=60，OB=OC=2 若m=n=1，OP=mOB+nOC ， 则OP=OB+OC 则OP2=OB+OC2=OB2+O
15、C2+2OBOC=22+22+222cos60=12则|OP|=23 ， 故正确； 由OP=mOB+nOC得OP2=mOB+nOC2=m2OB2+n2OC2+2mnOBOC=4m2+4n2+4mn=4m2+n2+mn若P在O上，则OP=2 则4m2+n2+mn=4 则m2+n2+mn=1 故正确； 由知m2+n2+mn=1 ， m+n2=1+mn1+m+n22 34m+n21 m+n243 m+n233, 当且仅当m=n时，等号成立，故m+n的最大值为233 故错误； 若m,n0,1 ， 则点P的轨迹： 当m=0,n0,1时，OP=nOC ， 此时点P在线段OC上； 当n=0,m0,1时，OP
16、=mOB ， 此时点P在线段OB上； 当m=1,n0,1时，OP=OB+nOC ， 构造平行四边形OBCD，此时点P在与OC平行的线段BD上； 当n=1,m0,1时，OP=mOB+OC ， 构造平行四边形OBCD，同理，此时点P在与OB平行的线段CD上； 当m(0,1),n(0,1)时，OP=mOB+nOC ， 此时点P在菱形OBCD内部， 综上，P点的轨迹为菱形OBCD组成的图形区域， 则S菱形OBCD=2SOBC=21222sin60=23 故正确 故答案为： 【分析】根据向量的线性运算以及向量的求模公式可判断；根据向量的线性运算，结合点与圆的位置关系可判断；根据，结合基本不等式可判断，根
17、据向量的线性运算，结合点的轨迹及三角形的面积公式可判断三、解答题（共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.设 e1 ， e2 是两个相互垂直的单位向量，且 a=e1+2e2 ， b=3e1+e2 . （1）若 ab ，求 的值； （2）若 ab ，求 的值. 【答案】 （1）若 ab ，且 a0 ，则存在唯一实数 ，使 b=a ， 即 3e1+e2=(e1+2e2) e1,e2 不共线 3=2=6=3 ， =6（2）若 ab ，则 ab=0 ， 即 (e1+2e2)(3e1+e2)=0即为 3e12+(+6)e1e2+2e22=0 e1,e2 是两个相互垂直的单位向量
18、， =-32 .【考点】平行向量与共线向量，向量的共线定理，数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】【分析】（1）根据向量平行的充要条件，结合平面向量的基本定理，以及相等向量的概念求解即可； （2）根据向量垂直的充要条件求解即可.18.关于x的不等式： x2-ax-2a0 . （1）当 a=1 时，求不等式的解集； （2）若不等式对一切实数恒成立，求 a 的取值范围. 【答案】 （1）当 a=1 时，原不等式化为 x2-x-20 ， 方程 x2-x-2=0 的实数根为 x1=-1,x2=2 ，原不等式的解集为 xx2 （2）不等式对一切实数恒成立， =(-a)2-41(-2a)0 ，即 a2
19、+8a0 ，方程 a2+8a=0 的实数根为 -8 和 0 ， -8a0 ， 由题意得 a1+6a1q=1a1q2=a12q ，解得 a1=q=13 ，因此， an=a1qn-1=13(13)n-1=13n ；（2）bn=log3an=log313n=-n ， 则 bn+1-bn=-(n+1)+n=-1 ，所以，数列 bn 是等差数列，首项 b1=-1 ，记数列 bn 前 n 项和为 Sn ，则 Sn=n(b1+bn)2=n(-1-n)2=-n(n+1)2 .【考点】等差数列，等差数列的前n项和，等比数列的通项公式 【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式，运用方程思想求解即可； （2）根
20、据等差数列的定义，结合等差数列的前n项和公式求解即可.20.设锐角 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ， 2asinB=3b . （1）求 A ； （2）若 a=3 ， sin(A+C)=33 ，求c的值. 【答案】 （1） 2asinB=3b由正弦定理 asinA=bsinB ，即 a=bsinAsinB 代入上式得 2sinA=3 ，即 sinA=32 ，又 0A2 ，所以 A=3 .（2）由 sin(A+C)=33 ，得 sinB=33 ， 又 0B0 ， 则 bnbn+1-bn-1bn=bn(bn+1-bn-1)=n2-(n-1)2=2n-1(n2) ，故 bn+1
21、-bn-1=2n-1bn(n2) 即 2n-1bn=bn+1-bn-1(n2) ，当 n=1 时，左式 =1b1=1 ，右式 =21-1=1 ，结论成立； 当n2时，左式=1+(b3-b1)+(b4-b2)+(b5-b3)+(bn-bn-2)+(bn+1-bn-1)=1+bn+bn+1-b1-b2=bn+bn+1-12bnbn+1-1=2n-1 ，即结论也成立. 综上， 1b1+3b2+5b3+2n-1bn2n-1 成立【考点】等差数列的通项公式，等比数列的性质，数学归纳法 【解析】【分析】（1）根据等比中项的性质，结合等差数列的通项公式求解即可； （2）根据递推公式，结合数学归纳法求证即可.