1、2022精编复习题（三十七） 直线、平面垂直的判定与性质小题常考题点准解快解 小题常考题点准解快解1(2021广东广州模拟)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A若，m，n，则mnB若m，mn，n，则C若mn，m，n，则D若，m，n，则mn解析：选B若，m，n，则m与n相交、平行或异面，故A错误；m，mn，n，又n，故B正确；若mn，m，n，则与的位置关系不确定，故C错误；若，m，n，则mn或m，n异面，故D错误故选B.2(2021湖南一中月考)下列说法错误的是()A两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直C如果共点
2、的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直D如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行解析：选D如果两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线可以平行、相交、异面3.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC内部解析：选A连接AC1(图略)，由ACAB，ACBC1，得AC平面ABC1.AC平面ABC，平面ABC1平面ABC.C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上4(2021河北唐山模拟)如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中
3、点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()AAG平面EFHBAH平面EFHCHF平面AEFDHG平面AEF解析：选B根据折叠前、后AHHE，AHHF不变，AH平面EFH，B正确；过A只有一条直线与平面EFH垂直，A不正确；AGEF，EFGH，AGGHG，EF平面HAG，又EF平面AEF，平面HAGAEF，过点H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，C不正确；由条件证不出HG平面AEF，D不正确故选B.5.如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱长为2，ACBC1，ACB90，D是A1B1的中点，F是BB
4、1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1平面C1DF，则线段B1F的长为()A.B1C.D2解析：选A设B1Fx，因为AB1平面C1DF，DF平面C1DF，所以AB1DF.由已知可得A1B1，设RtAA1B1斜边AB1上的高为h，则DEh.又2h，所以h，DE.在RtDB1E中，B1E .由面积相等得 x，得x.6.如图，已知BAC90，PC平面ABC，则在ABC，PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线是_；与AP垂直的直线是_解析：PC平面ABC，PC垂直于直线AB，BC，AC.ABAC，ABPC，ACPCC，AB平面PAC，又AP平面PAC，ABAP，与AP垂直的直线是AB.答案：A
5、B，BC，ACAB7.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：如图，连接AC，BD，则ACBD，PA底面ABCD，PABD.又PAACA，BD平面PAC，BDPC，当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD.而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.答案：DMPC(或BMPC等)8.(2021福建泉州模拟)如图，一张A4纸的长、宽分别为2a，2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体
6、下列关于该多面体的命题，正确的是_(写出所有正确命题的序号)该多面体是三棱锥；平面BAD平面BCD；平面BAC平面ACD；该多面体外接球的表面积为5a2.解析：由题意得该多面体是一个三棱锥，故正确；APBP，APCP，BPCPP，AP平面BCD，又AP平面ABD，平面BAD平面BCD，故正确；同理可证平面BAC平面ACD，故正确；该多面体的外接球半径Ra，所以该多面体外接球的表面积为5a2，故正确综上，正确命题的序号为.答案：大题常考题点稳解全解1.如图，四棱锥PABCD 中， AP平面PCD，ADBC，ABBCAD，E，F分别为线段AD，PC 的中点求证： (1)AP平面BEF；(2)BE平
7、面PAC.证明：(1)设ACBEO，连接OF，EC，如图所示由于E为AD的中点，ABBCAD，ADBC，所以AEBC，AEABBC，因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点又F为PC 的中点，因此在PAC中，可得APOF.又OF平面BEF，AP平面BEF.所以AP平面BEF.(2)由题意知EDBC，EDBC.所以四边形BCDE为平行四边形，因此BECD.又AP平面PCD，所以APCD，因此APBE.因为四边形ABCE为菱形，所以BEAC.又APACA，AP，AC平面PAC，所以BE平面PAC.2.(2018广州模拟)在三棱锥P ABC中，PAB是等边三角形，APCBPC60.(1)求证：A
8、BPC；(2)若PB4，BEPC，求三棱锥B PAE的体积解：(1)证明：因为PAB是等边三角形，APCBPC60，所以PBCPAC，所以ACBC.如图，取AB的中点D，连接PD，CD，则PDAB，CDAB，因为PDCDD，所以AB平面PDC，因为PC平面PDC，所以ABPC.(2)由(1)知，ABPC，又BEPC，ABBEB，所以PC平面ABE，所以PCAE.因为PB4，所以在RtPEB中，BE4sin 602，PE4cos 602，在RtPEA中，AEPEtan 602，所以AEBE2，所以SABEAB4.所以三棱锥B PAE的体积VB PAEVP ABESAEBPE42.3(2021合肥
9、质检)如图，平面五边形ABCDE中，ABCE，且AE2，AEC60，CDED，cosEDC.将CDE沿CE折起，使点D到P的位置，且AP，得到四棱锥P ABCE.(1)求证：AP平面ABCE；(2)记平面PAB与平面PCE相交于直线l，求证：ABl.证明：(1)在CDE中，CDED，cosEDC，由余弦定理得CE2.连接AC(图略)，AE2，AEC60，AC2.又AP，在PAE中，PA2AE2PE2，即APAE.同理，APAC.而AC平面ABCE，AE平面ABCE，ACAEA，故AP平面ABCE.(2)ABCE，且CE平面PCE，AB平面PCE，AB平面PCE.又平面PAB平面PCEl，ABl
10、.4.(2021山西省重点中学联考)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，且ABBC，E，F分别在线段AB，CD上，G，H在线段PC上，EFPA，且.求证：(1)EH平面PAD；(2)平面EFG平面PAC.证明：(1)如图，在PD上取点M，使得，连接AM，MH，则，所以MHDC，MHCD，又AEAB，四边形ABCD是矩形，所以MHAE，MHAE，所以四边形AEHM为平行四边形，所以EHAM，又AM平面PAD，EH平面PAD，所以EH平面PAD.(2)取AB的中点N，连接DN，则NEDF，NEDF，则四边形NEFD为平行四边形，则DNEF，在DAN和CDA中，DANCDA，则DANC
11、DA，则ADNDCA，则DNAC，则EFAC，又EFPA，ACPAA，所以EF平面PAC，又EF平面EFG，所以平面EFG平面PAC.5.(2021福州五校联考)如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，BAC90，AA1BC，AA1AC2AB4，且BC1A1C.(1)求证：平面ABC1平面A1ACC1；(2)设D是A1C1的中点，判断并证明在线段BB1上是否存在点E，使得DE平面ABC1.若存在，求三棱锥E ABC1的体积解：(1)在三棱柱ABC A1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，AA1AB，又AA1BC，ABBCB，A1A平面ABC，A1AAC，又A1AAC，A1
12、CAC1.又BC1A1C，BC1AC1C1，A1C平面ABC1，又A1C平面A1ACC1，平面ABC1平面A1ACC1.(2)当E为B1B的中点时，连接AE，EC1，DE，如图，取A1A的中点F，连接EF，FD，EFAB，DFAC1，又EFDFF，ABAC1A，平面EFD平面ABC1，又DE平面EFD，DE平面ABC1.此时VE ABC1VC1 ABE224.6如图，在四棱锥S ABCD中，平面SAD平面ABCD.四边形ABCD为正方形，且点P为AD的中点，点Q为SB的中点(1)求证：CD平面SAD.(2)求证：PQ平面SCD.(3)若SASD，点M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平
13、面DMN平面ABCD？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由解：(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，所以CDAD.又因为平面SAD平面ABCD，且平面SAD平面ABCDAD，所以CD平面SAD.(2)证明：如图，取SC的中点R，连接QR，DR.由题意知：PDBC且PDBC.在SBC中，点Q为SB的中点，点R为SC的中点，所以QR BC且QRBC，所以PDQR，且PDQR，所以四边形PDRQ为平行四边形，所以PQDR.又因为PQ平面SCD，DR平面SCD，所以PQ平面SCD.(3)存在点N为SC的中点，使得平面DMN平面ABCD.证明如下：如图，连接PC，DM交于点O，连接D
14、N，PM，SP，NM，ND，NO，因为PDCM，且PDCM，所以四边形PMCD为平行四边形，所以POCO.又因为点N为SC的中点，所以NOSP.易知SPAD，因为平面SAD平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD，并且SPAD，所以SP平面ABCD，所以NO平面ABCD.又因为NO平面DMN，所以平面DMN平面ABCD.1(2021河北保定模拟)有下列命题：若直线l平行于平面内的无数条直线，则直线l；若直线a在平面外，则a；若直线ab，b，则a； 若直线ab，b，则a平行于平面内的无数条直线其中真命题的个数是()A1B2 C3D4解析：选A命题l可以在平面内，是假命题；命题直线a与平面可以是相
15、交关系，是假命题；命题a可以在平面内，是假命题；命题是真命题2(2021湖南湘中名校联考)已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中正确的是()A若m，n，则mnB若m，m，则C若，则D若m，n，则mn解析：选DA中，两直线可能平行，相交或异面；B中，两平面可能平行或相交；C中，两平面可能平行或相交；D中，由线面垂直的性质定理可知结论正确，故选D.3设m，n是不同的直线，是不同的平面，且m，n，则“”是“m且n”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A若m，n，则m且n；反之若m，n，m且n，则与相交或平行，即“”是“m且n”的充分不必要条
16、件4(2021襄阳模拟)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是()AMN与CC1垂直BMN与AC垂直CMN与BD平行DMN与A1B1平行解析：选D如图所示，连接AC，C1D，BD，则MNBD，而C1CBD，故C1CMN，故A、C正确，D错误，又因为ACBD，所以MNAC，B正确5.(2021湖南长郡中学质检)如图所示的三棱柱ABC A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是()A异面B平行C相交D以上均有可能解析：选B在三棱柱ABC A1B1C1中，ABA1B1，AB平面ABC，A1B1平面ABC，A
17、1B1平面ABC，过A1B1的平面与平面ABC交于DE.DEA1B1，DEAB.6已知正方体ABCDA1B1C1D1，下列结论中，正确的结论是_(只填序号)AD1BC1；平面AB1D1平面BDC1；AD1DC1；AD1平面BDC1.解析：连接AD1，BC1，AB1，B1D1，C1D1，BD，因为AB綊C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形，故AD1BC1，从而正确；易证BDB1D1，AB1DC1，又AB1B1D1B1，BDDC1D，故平面AB1D1平面BDC1，从而正确；由图易知AD1与DC1异面，故错误；因AD1BC1，AD1平面BDC1，BC1平面BDC1，故AD1平面BDC1，故正
18、确答案：7.如图所示，在四面体ABCD中，M，N分别是ACD，BCD的重心，则四面体的四个面所在平面中与MN平行的是_解析：连接AM并延长，交CD于点E，连接BN，并延长交CD于点F，由重心性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点E，连接MN，由，得MNAB.因此，MN平面ABC且MN平面ABD.答案：平面ABC、平面ABD8.如图所示，三棱柱ABC A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B平面B1CD，则A1DDC1的值为_解析：设BC1B1CO，连接OD.A1B平面B1CD且平面A1BC1平面B1CDOD，A1BOD，四边形BCC1B1是菱形，O为BC1的中
19、点，D为A1C1的中点，则A1DDC11.答案：1大题常考题点稳解全解1.如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点求证：(1)BE平面DMF；(2)平面BDE平面MNG.证明：(1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为ABE的中位线，所以BEMO，又BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DEGN，又DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.又M为AB的中点，所以MN为ABD的中位线，所以BDMN，又MN平面MNG，BD平面MNG，所以BD平面MN
20、G，又DE，BD平面BDE，DEBDD，所以平面BDE平面MNG.2.(2021长春质检)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是菱形，PD平面ABCD，点D1为棱PD的中点，过D1作与平面ABCD平行的平面与棱PA，PB，PC相交于点A1，B1，C1，BAD60.(1)求证：B1为PB的中点；(2)已知棱锥的高为3，且AB2，AC，BD的交点为O，连接B1O.求三棱锥B1ABO外接球的体积解：(1)证明：连接B1D1.由题意知，平面ABCD平面A1B1C1D1，平面PBD平面ABCDBD，平面PBD平面A1B1D1B1D1，则BDB1D1，即B1D1为PBD的中位线，即B1为PB的中点(
21、2)由(1)可得，OB1，AO，BO1，且OAOB，OAOB1，OBOB1，即三棱锥B1 ABO的外接球为以OA，OB，OB1为长，宽，高的长方体的外接球，则该长方体的体对角线长d，即外接球半径R.则三棱锥B1 ABO外接球的体积VR33.3.如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点求证：(1)BFHD1；(2)EG平面BB1D1D；(3)平面BDF平面B1D1H.证明：(1)如图所示，取BB1的中点M，连接MH，MC1，易证四边形HMC1D1是平行四边形，HD1MC1.又MC1BF，BFHD1.(2)取BD的中点O，连接EO，D
22、1O，则OE綊DC，又D1G綊DC，OE綊D1G，四边形OEGD1是平行四边形，GED1O.又GE平面BB1D1D，D1O平面BB1D1D，EG平面BB1D1D.(3)由(1)知BFHD1，又BDB1D1，B1D1，HD1平面B1D1H，BF，BD平面BDF，且B1D1HD1D1，DBBFB，平面BDF平面B1D1H.4.如图，四棱锥P ABCD中，ABCD，AB2CD，E为PB的中点(1)求证：CE平面PAD.(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD平面CEF？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由解：(1)证明：取PA的中点H，连接EH，DH，因为E为PB的中点，所以EHAB，EHAB，又ABCD，CDAB，所以EHCD，EHCD，因此四边形DCEH是平行四边形，所以CEDH，又DH平面PAD，CE平面PAD，因此CE平面PAD.(2)存在点F为AB的中点，使平面PAD平面CEF，证明如下：取AB的中点F，连接CF，EF，所以AFAB，又CDAB，所以AFCD，又AFCD，所以四边形AFCD为平行四边形，因此CFAD，又CF平面PAD，所以CF平面PAD，由(1)可知CE平面PAD，又CECFC，故平面CEF平面PAD，故存在AB的中点F满足要求