1、第6节正弦定理和余弦定理及其应用 【选题明细表】知识点、方法题号用正、余弦定理解三角形1、8、9、12与三角形面积有关的问题2、4判断三角形的形状3、11实际应用问题7、13综合应用5、6、10、14一、选择题1.(2013广东湛江十校联考)在ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知b=2,B=30,C=15,则a等于(A)(A)2(B)2(C)-(D)4解析:A=180-30-15=135,由正弦定理=,得=,即a=2.故选A.2.(2013安阳模拟)已知ABC的一个内角是120,三边长构成公差为4的等差数列,则三角形的面积是(D)(A)10(B)30(C)20(D)15解析:
2、设A、B、C所对边长分别为b-4,b,b+4,则cos 120=,b2-10b=0,b=10或b=0(舍去),b=10,b-4=6,三角形的面积S=106=15.故选D.3.(2013湖州模拟)在ABC中,若sin2A+sin2Bsin2C,则ABC的形状是(D)(A)钝角三角形(B)直角三角形(C)锐角三角形(D)不能确定解析:sin2A+sin2Bsin2C,a2+b2c2,即a2+b2-c20,cos C=0,又C(0,),0C,但仅由角C为锐角不能判定三角形的形状.故选D.4.在ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,若角A、B、C依次成等差数列,且a=1,b=,则SABC等
3、于(C)(A)(B)(C)(D)2解析:A、B、C成等差数列,A+C=2B,B=60.又a=1,b=,=,sin A=,A=30,C=90.SABC=1=.故选C.5.(2013年高考新课标全国卷)已知锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b等于(D)(A)10(B)9(C)8(D)5解析:由题意知,23cos2A+2cos2A-1=0,即cos2A=,又因为ABC为锐角三角形,所以cos A=.在ABC中,由余弦定理知72=b2+62-2b6,即b2-b-13=0,即b=5或b=-(舍去),故选D.6.(2012年高考陕西卷)在
4、ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2,则cos C的最小值为(C)(A)(B)(C)(D)-解析:由余弦定理得cos C=,当且仅当a=b,即ABC为等腰三角形时取到等号.故选C.二、填空题7.某居民小区为了美化环境,给居民提供更好的生活环境,在小区内的一块三角形空地上(如图,单位:m)种植草皮,已知这种草皮的价格是120元/m2,则购买这种草皮需要元.解析:三角形空地面积S=1225sin 120=225(m2),故共需225120=27000(元).答案:270008.(2012年高考北京卷)在ABC中,若a=2,b+c=7,cos B=-,则b=.解析:
5、由已知根据余弦定理b2=a2+c2-2accos B得b2=4+(7-b)2-22(7-b)-,即15b-60=0,得b=4.答案:49.(2013哈尔滨模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos A=,cos B=,b=3,则边c=.解析:cos A=,cos B=,A,B(0,),sin A=,sin B=,sin(A+B)=+=.即sin C=.由正弦定理=得c=.答案:10.在ABC中,设角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a=(cos C,2a-c),b=(b,-cos B)且ab,则B=.解析:由ab,得ab=bcos C-(2a-c)cos B=0,利用正弦
6、定理,可得sin Bcos C-(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C+cos Bsin C-2sin Acos B=0,即sin(B+C)=sin A=2sin Acos B,因为sin A0,故cos B=,因此B=.答案:11.在ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c若sin C+sin(B-A)=sin 2A,则ABC的形状为.解析:由sin C+sin (B-A)=sin 2A得sin(A+B)+sin(B-A)=sin 2A,2sinBcos A=2sin Acos A.cos A=0或sin A=sin B.0A、B,来源:学科网ZXXKA=或A=
7、B,ABC为直角三角形或等腰三角形.答案:等腰或直角三角形三、解答题来源:学科网ZXXK12.(2013兰州市第一次诊断)在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,a2=b2+c2+bc.(1)求角A的大小;(2)若a=2,b=2,求c的值.解:(1)由a2=b2+c2+bc,得=-.cos A=-.0A,A=.(2)由正弦定理,得sin B=sin A=.A=, 0B,B=.C=-(A+B)=.c=b=2.13.如图所示,A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75,30,于水面C处测得B点和D点的仰角均为
8、60,AC=0.1 km.(1)试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离会相等?(2)求B、D的距离.解:(1)如图所示,在ADC中,DAC=30,ADC=60-DAC=30,来源:Zxxk.ComCD=AC=0.1 km,又BCD=180-60-60=60,CED=90,CB是CAD底边AD的中垂线,BD=BA.(2)在ABC中,ABC=75-60=15,由正弦定理得=,AB=(km),BD=(km).故B、D间的距离是km.14.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin B(tan A+tan C)=tan Atan C.(1)求证:a,b,c成等比数列;(2)若a=
9、1,c=2,求ABC的面积S.(1)证明:在ABC中,sin B(tan A+tan C)=tan Atan C,sin B=,sin B(sin Acos C+cos Asin C)=sin Asin C,sin Bsin(A+C)=sin Asin C,A+C=-B,sin(A+C)=sin B,sin2 B=sin Asin C,由正弦定理得,b2=ac,a,b,c成等比数列.(2)解:a=1,c=2,b2=ac=2,b=,cos B=,0B0)的最小正周期为.(1)求的值;(2)讨论f(x)在区间上的单调性.解:(1)f(x)=4cos xsin xcos +cos xsin =4co
10、s xsin x+cos x=2sin xcos x+2cos2 x=sin 2x+(cos 2x+1)=sin 2x+cos 2x+=2sin2x+,因为f(x)的最小正周期为且0,故=,则=1.(2)由(1)知,f(x)=2sin2x+.若0x,则2x+.当2x+,即0x时,f(x)单调递增;当2x+,即x时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在区间0,上单调递增,在区间,上单调递减.3.(2012年高考江西卷)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知A=,bsin+C-csin+B=a.(1)求证:B-C=;(2)若a=,求ABC的面积.(1)证明:由bsin+C-csin
11、+B=a,应用正弦定理,得sin Bsin+C-sin Csin+B=sin A,sin Bsin C+cos C-sin Csin B+cos B=,整理得sin Bcos C-cos Bsin C=1,即sin(B-C)=1.由于0B,C0)在一个周期内的图象如图所示,A为图象的最高点,B、C为图象与x轴的交点,且ABC为正三角形.(1)求的值及函数f(x)的值域;(2)若f(x0)=,且x0-,求f(x0+1)的值.解:(1)f(x)=6cos2+sin x-3=3cos x+sin x=2sinx+.由题意知正三角形ABC的高为2,则BC=4,所以函数f(x)的周期T=42=8,即=8
12、,解得=.所以函数f(x)的值域为-2,2.(2)因为f(x0)=,由(1)有f(x0)=2sin+=,即sin+=,由x0-,得+-,.即cos+=,来源:学_科_网故f(x0+1)=2sin+=2sin+=2sin+cos+cos+sin=2+=.8.(2013大庆模拟)在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知2SABC=.(1)求角B的大小;(2)若b=2,求a+c的取值范围.解:(1)由已知得acsin B=accos B,tan B=.0B,B=.(2)法一由余弦定理得4=a2+c2-2accos,4=(a+c)2-3ac(a+c)2-32=(当且仅当a=c时取等号),解得0b,2a+c4,a+c的取值范围是(2,4.法二由(1)知B=,由正弦定理得a=sin A,c=sin C,a+c=(sin A+sin C)=sin A+sin(A+B)=sin A+sinA+=sin A+sin A+cos A=4sin A+cos A=4sinA+.0A,A+,sinA+1,a+c的取值范围是(2,4.