1、2016届高三数学33个黄金考点总动员考点10 导数的应用（单调性、最值、极值）【考点剖析】1.最新考试说明：1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数不超过三次)2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)4.会利用导数解决某些实际问题.2.命题方向预测：1.利用导数研究函数的单调性、极值是近几年高考的热点2.选择题、填空题侧重于利1用导数确定函数的单调性和极值解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列的综合应用，一
2、般难度较大，属中高档题.3.利用导数研究函数的最值以及解决生活中的优化问题，已成为近几年高考的考点且每年必考！3.课本结论总结：1函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤求f(x)；求方程f(x)0的根；检查f(x)在方程f(x)0的根的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b
3、上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值(3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值4利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f
4、(x)0；(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答5不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题4.名师二级结论：1.f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件2.函数在某区间上或定义域内极大值不是唯一的3.函数的极大值不一定比极小值大4.对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的既不充分也不必要条件5.函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值6.可导函数极值存在的条件：(1)可导
5、函数的极值点x0一定满足f(x0)0，但当f(x1)0时，x1不一定是极值点如f(x)x3，f(0)0，但x0不是极值点(2)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同7函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值8求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小
6、值 5.课本经典习题：（1）选修21第77页抛物线上到直线的距离最小点的坐标是（ ）A B C D解 设则 设距离最小点的坐标为，所以。得到，选B【经典理由】在解析几何中，一些最值问题（如弦长、面积、距离等）常可用导数工具轻松的解决。（2） 必修4第114页例7证明：证明 设则所以（c为常数） 因为，所以。故上式成立【经典理由】证明三角恒等问题，即证明对任意x等式恒成立，可将等式中各项全移到一边，只要证明这一边的导数为零即可。（3） 选修2-2第12页第6题证明：当时，证明令，则因为所以得到即，故上式成立【经典理由】在证明不等式时，可根据不等式特点构造函数，用导数判断单调性，利用函数单调性证明
7、不等式，求出函数的最值，由该函数在取得最值时该不等式成立，可得该不等式成立。（4）必修5第39页求和：解：设由等比数列前n项和公式得因为所以而所以【经典理由】要借助导数解决数列问题，关键是构建合理的函数，借助函数的性质考查数列的性质，数列是特殊的函数。故对数列中如求数列的最值项，前n项和的最值，恒成立问题，若用函数思想来解决，往往会收到意想不到的效果。6.考点交汇展示：(1)导数与三角函数交汇例1.已知函数的导函数如图所示,若为锐角三角形,则下列不等式一定成立的是( )A. B. C. D. 例2.【2015高考安徽，理21】设函数. （）讨论函数在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
8、 （）记，求函数在上的最大值D； （）在（）中，取，求满足时的最大值. (2)导数与数列交汇例1【2015高考湖南，理21】.已知，函数，记为的从小到大的第个极值点，证明：（1）数列是等比数列（2）若，则对一切，恒成立. (3)导数与圆锥曲线交汇例1.已知抛物线y=x2+2，过其上一点P引抛物线的切线l，使l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求l的方程【考点分类】热点1 利用导数研究函数的单调性1. 【2015高考江苏，19】（本小题满分16分） 已知函数. （1）试讨论的单调性； （2）若（实数c是a与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是，求c的值.2.【2
9、014高考安徽卷第18题】设函数,其中.（1） 讨论在其定义域上的单调性；（2） 当时，求取得最大值和最小值时的的值.3. 【2015高考四川，理21】已知函数，其中.（1）设是的导函数，评论的单调性； （2）证明：存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解.【方法规律】求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域(2)求f(x)，令f(x)0，求出它们在定义域内的一切实数根(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间(4)确定f(x)在各个开区间内的符号，根据f(x
10、)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性【解题技巧】讨论函数的单调区间的关键是讨论导数大于0或小于0的不等式的解集，一般就是归结为一个一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解得到导数等于0的根的情况下，根的大小是分类的标准【易错点睛】（1）注意函数定义域的确定（2）解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f(x)0时的情况；区分极值点和导数为0的点热点2 利用导数研究函数的最值极值1.【2015高考山东，理21】设函数，其中. （）讨论函数极值点的个数，并说明理由； （）若成立，求的取值范围.2. 【2015江苏高考，17】（本小题满分14分） 某山区外围有两条相互
11、垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建 一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边 界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到 的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以 所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数 （其中a，b为常数）模型. （1）求a，b的值； （2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t. 请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域； 当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.3. 【2014高考山东卷第20题】设函数（为常数，是
12、自然对数的底数）.（）当时，求函数的单调区间；（）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.【方法规律】1.求函数极值的步骤(1)确定函数的定义域(2)求方程f(x)0的根(3)用方程f(x)0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格(4)由f(x)0的根左右的符号以及f(x)在不可导点左右的符号来判断f(x)在这个根或不可导点处取极值的情况.2.函数的最大(小)值是在函数极大(小)值基础上的发展从函数图象上可以直观地看出：如果在闭区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，只要把函数yf(x)的所有极值连同端点处的函数值进行比较
13、，就可以求出函数的最大(小)值.【解题技巧】1.在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较2.对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件3.可导函数极值存在的条件：(1)可导函数的极值点x0一定满足f(x0)0，但当f (x1)0时，x1不一定是极值点如f(x)x3，f(0)0，但x0不是极值点(2)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同4函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函
14、数值得出来的函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值5求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 【易错点睛】(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念(2)f(x0)0是yf(x)在xx0取极值的既不充分也不必要条件如y|x|在x0处取得极小值，但在x0处不可导；f(x)x3，f(0)0，但x0不是f(x)x
15、3的极值点(3)若yf(x)可导，则f(x0)0是f(x)在xx0处取极值的必要条件【易错点】判断函数极值时要注意导数为0的点不一定是极值点，所以求极值时一定要判断导数为0的点左侧与右侧的单调性，然后根据极值的定义判断是极大值还是极小值热点3 利用导数研究综合问题 1. 【2015高考陕西，理12】对二次函数（为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）A是的零点 B1是的极值点C3是的极值 D. 点在曲线上2. 【2015高考新课标2，理21】（本题满分12分）设函数()证明：在单调递减，在单调递增；（）若对于任意，都有，求的取值范围3. 【20
16、14高考福建理第20题】已知函数（为常数）的图象与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为-1.（I）求的值及函数的极值；（II）证明：当时，；（III）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.4. 【2014高考广东理第21题】设函数，其中.（1）求函数的定义域（用区间表示）；（2）讨论函数在上的单调性；（3）若，求上满足条件的的集合（用区间表示）.【方法规律】利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题比如要证明对任意xa，b都有f(x)g(x)，可设h(x)f(x)g(x)只要利用导数说明h(x)在a，b上的最小值为0即可解题技巧总结如下：（1）树立服
17、务意识：所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式.（2）强化变形技巧：所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式.（3）巧妙构造函数：所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式的结构特征，构造函数，利用函数的最值进行解决.在构造函数的时候灵活多样，注意积累经验，体现一个“巧妙”.【解题技巧】1利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式
18、恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用2在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较【易错点睛】1函数f(x)在某个区间内单调递增，则f(x)0而不是f(x)0 (f(x)0在有限个点处取到)2利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义.【热点预测】1.【2015高考福建，理10】若定义在上的函数 满足 ，其导函数 满足 ，则下列结论中一定错误的是（ ）A B C D 2.定义在上的函数是它的导数，且恒有成立，则（ ）A B C D3.已知函数 ，如果当时，不等式恒成立，则实数的取值范围( )A B
19、C D4.已知函数，若时，则的最小值为（ ）A. B. C. D.5.【高考冲刺关门卷新课标全国卷（理）】已知是定义在上的单调函数，且对任意的，都有，则方程的解所在的区间是（ ） A（0，） B（，1） C（1，2） D（2，3）6. 【2015高考新课标1，理12】设函数=,其中a1，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是（ ）(A)-，1） (B)-，） (C)，） (D)，1）7.已知定义在上的函数满足，且， ，若有穷数列（）的前项和等于，则等于_.8.【江苏省扬州中学2015届高三8月开学考试】已知函数对任意的，恒有.若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，则M的最小值为 9.
20、(本小题满分12分)设函数,其中（I）当时,求的极值点;（II）若在上为单调函数,求的取值范围10【2014安庆二模】（本题满分12分）已知函数，（）若有最值，求实数的取值范围；（）当时，若存在，使得曲线在与处的切线互相平行，求证.11.（14分）已知.（1）求的单调区间和极值；（2）是否存在，使得在的切线相同？若存在，求出及在处的切线；若不存在，请说明理由；（3）若不等式在恒成立，求的取值范围.12.（本小题满分14分）已知函数 (I)求函数在处的切线方程； ()令，若函数在内有极值，求实数的取值范围； ()在()的条件下，对任意，求证：13.已知函数 （、为常数），在时取得极值.（I）求实数的值；（II）求函数的最小值；（III）当时，试比较与的大小并证明.14.已知函数 (为常数)的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为.(1)求的值及函数的极值； (2)证明：当时，
