1、第一章(本卷满分150分，考试用时120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在ABC中，a3，b，c2，则cos B的值为A. B. C. D.解析由余弦定理可知cos B.答案B2.在ABC中，三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a2b2abc2，则角C为A.30 B.45 C.150 D.135解析因为在ABC中，由余弦定理a2b2c22abcos C，又a2b2abc2，所以cos C，所以C45，故选B.答案B3.已知锐角三角形ABC的面积为3，BC4，CA3，则角C的大小为A.75 B.60 C.45
2、 D.30解析面积SBCCAsin C343sin Csin C，又ABC为锐角三角形，所以C60.答案B4.在ABC中，A60，a，b4，满足条件的三角形的个数为A.0 B.1 C.2 D.无数多解析在ABC中，A60，a，b4，由正弦定理，得sin B1，角B不存在.故选A.答案A5.已知在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若a2bcos A，B，c1，则ABC的面积等于A. B. C. D.解析因为a2bcos A，所以由正弦定理有sin A2sin Bcos A，将B代入，得tan A.因为A是三角形内角，所以A，所以ABC是等边三角形，所以S12.故选C.答案C6.
3、在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2(ab)26，C，则ABC的面积是A. B. C. D.2解析由题c2a2b22abcosa2b2ab(ab)23ab(ab)26，解得ab2，所以SABCabsin C2.故选A.答案A7.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则ABC一定是A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形解析由已知及正弦定理，有，即sin Acos Bcos Asin B且cos B0，所以sin Acos Bcos Asin B0，所以sin(AB)0，因为A，B是三角形的内角，所以AB0，即AB，所以ABC是等腰三角
4、形.故选A.答案A8.在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，asin Asin Bbcos2Aa，则等于A.2 B.2 C. D.解析在ABC中，因为asin Asin Bbcos2Aa，利用正弦定理可得sin2Asin Bsin Bcos2Asin A，整理，得sin B(sin2Acos2A)sin Bsin A，即，则由正弦定理得，故选D.答案D9.某人要利用无人机测量河流的宽度，如图，从无人机A处测得正前方河流的两岸B，C的俯角分别为 75，30，此时无人机的高是60米，则河流的宽度BC等于A.240米 B.180(1)米C.120(1)米 D.30(1)米解析在RtABD中
5、，AB60().ABC中，BAC45，C30，由正弦定理有，所以BC120(1).故选C.答案C10.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2b2bc，sin C2sin B，则角A等于A.30 B.60 C.120 D.150解析已知sin C2sin B，由正弦定理知c2b，再由余弦定理得，cos A，所以A30，故选A.答案A11.(2017新课标)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，则CA. B. C. D.解析由sin Bsin A(sin Ccos C)0，得sin(AC)sin Asin Cs
6、in Acos C0，化简得sin C(sin Acos A)0，即sin Acos A0，即sin0，又0A，故A，由正弦定理得，即，故sin C，则C或.又CA，故C.答案B12.如图，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD，2ABBD，BC2BD，则sin C的值为A. B. C. D.解析设ABa，则ADa，BDa，BCa，在ABD中，由余弦定理可得cos A，故sin A，在ABC中，由正弦定理可得sin C.答案D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.在ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2，c2，C，则b_.解析由正弦
7、定理得sin A，因为ac，所以A，则B，则b4.答案414.(2017新课标)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos Bacos Cccos A，则B_.解析2bcos Bacos Cccos A，由正弦定理得，2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos A.又sin Acos Csin Ccos Asin(AC)sin(B)sin B，2sin Bcos Bsin B，又sin B0，2cos B1，cos B，则B.答案15.已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边.若cos B，a10，ABC的面积为42，则b的值为_.解析由cos B，
8、得sin B，SABCacsin B10c42，c14，b2c2a22accos B1421022101419610022472，b6，b6616.答案1616.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60方向的B处，两船相距a海里，乙船向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的倍，则甲船应沿_方向前进才能尽快追上乙船，追上时乙船已行驶了_海里.解析如图所示，设两船在C处相遇，并设CAB，由题意及正弦定理，得sin ，30.从而BCa.即甲船应沿北偏东30方向前进才能尽快追上乙船，追上时乙船已行驶了a海里.答案北偏东30a三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
9、骤)17.(10分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B，cos A，b，(1)求sin C的值；(2)求ABC的面积.解析(1)cos A，sin A，sin Csin(AB)sin Acos cos Asin .(2)由正弦定理得a，SABCabsin C.18.(12分)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，a，b，12cos(BC)0，求边BC上的高.解析由12cos(BC)0和BCA，得12cos A0，所以cos A，sin A.再由正弦定理，得sin B.由ba，知BA，所以B不是最大角，B，从而cos B.由上述结果，知sin Csin(AB)sin
10、 Acos Bcos Asin B.设边BC上的高为h，则hbsin C.19.(12分)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cos B，且21.(1)求ac的值及ABC的面积；(2)若a7，求角C的大小.解析(1)因为21，所以accos B21，所以ac35.又cos B，所以sin B.所以SABCacsin B3514.即ABC的面积为14.(2)因为a7，且ac35，所以c5.又cos B，由b2a2c22accos B32，解得b4，所以cos C.因为0C，所以C.20(12分)(2018天津)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin Aaco
11、s.(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和sin(2AB)的值解析(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsin Aasin B，又由bsin Aacos，得asin Bacos，即sin Bcos，可得tan B.又因为B(0，)，可得B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，有b2a2c22accos B7，故b.由bsin Aacos，可得sin A.因为ac，故cos A .因此sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2A1.所以，sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B.21.(12分)某人在塔的正东C处沿着南偏西60的方向前进40 m
12、到D处以后，望见塔在东北方向.若沿途测得塔的最大仰角为30，求塔的高度.解析在BDC中，CD40 m，BCD906030，DBC4590135.由正弦定理，得，所以BD20(m).在RtABE中，tanAEB，AB为定值，故要使AEB最大，需要BE最小，即BECD，这时AEB30.在RtBED中，BDE1801353015，所以BEBDsinBDE20sin 1510(1)(m).在RtABE中，ABBEtanAEB10(1)tan 30(3)(m).即塔的高度为(3)m.22.(12分)在锐角ABC中，a、b、c分别为A、B、C所对的边，且a2csin A.(1)确定C的大小；(2)若c，求ABC周长的取值范围.解析(1)已知a、b、c分别为A、B、C所对的边，由a2csin A，得sin A2sin Csin A，又sin A0，则sin C，C60或C120，ABC为锐角三角形，C120舍去，C60.(2)c，sin C，由正弦定理得：2，即a2sin A，b2sin B，又ABC，即BA，abc2(sin Asin B)223sin Acos A22sin，ABC是锐角三角形，A，sin1，则ABC周长的取值范围是(3，3.