1、第2课时向量数量积的坐标表示学 习 目 标核 心 素 养1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算(重点)2能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式会求已知三角形的高(重点)3能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直(重点、难点)通过平面向量数量积的学习与应用，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.设i，j是两个互相垂直且分别与x轴，y轴的正半轴同向的单位向量ii，jj，ij分别是多少？取i，j为坐标平面内的一组基底，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，试将a，b用i，j表示，并计算ab. 1平面向量数量积的坐标运算若两个向量
2、为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和2向量的长度、夹角、垂直的坐标表示(1)向量的模：设a(x，y)，则a2x2y2，即|a|.(2)向量的夹角公式：设两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，它们的夹角为，则cos .特别地，若ab，则x1x2y1y20；反之，若x1x2y1y20，则ab.思考：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何计算向量的模？提示：(x2x1，y2y1)，|.1已知a(1，1)，b(2，3)，则ab()A1B1C5D5Ba(1，1)，b(2，3)，ab1231.2已知a(2，x)，b(0，1
3、)，若ab3，则x_.3a(2，x)，b(0，1)，abx3.3(一题两空)已知a(5，5)，b(0，3)，则|a|_，a与b的夹角为_5ab15，|a|5，|b|3，cos ，又0，.4已知a(3，1)，b(x，5)，若ab，则x_.ab，ab0，3x50，x.数量积的坐标运算【例1】已知a(1，3)，b(2，5)，c(2，1)，求(1)ab；(2)(ab)(2ab)；(3)(ab)c.思路点拨先求相关向量的坐标，再代入坐标运算表达式求解解(1)ab123517.(2)ab(3，8)，2ab(4，11)，(ab)(2ab)1288100.(3)(ab)c17c(34，17)利用数量积的条件求
4、平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件，找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算，列出方程组来进行求解跟进训练1已知a与b同向，b(1，2)，ab10.(1)求a的坐标；(2)若c(2，1)，求a(bc)及(ab)c.解(1)设ab(，2)(0)，则有ab410，2，a(2，4)(2)bc12210，ab10，a(bc)0a0，(ab)c10(2，1)(20，10).向量的夹角【例2】已知A(2，2)，B(5，1)，C(1，4)，求BAC的余弦值思路点拨先求，再代入向量夹角公式求BAC的余弦值解(5，1)(2，2)(3，3)，(1，4)(2，2)(1，6
5、)，3(1)3615.又|3，|，cosBAC.已知a，b的坐标求夹角时，应先求出a，b及|a|，|b|，再代入夹角公式，由夹角的余弦值确定夹角的大小跟进训练2已知向量a(1，2)，b(2，4)，|c|，若(cb)a，则a与c的夹角为_120ab10，(cb)acabaca10，ca.设a与c的夹角为，则cos .又0，180，120.向量垂直的综合应用探究问题1已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，若ab，则其坐标间满足什么等量关系？与向量a垂直的一个向量，能用x1，y1表示出来吗？提示abx1x2y1y20.与向量a垂直的一个向量，能用x1，y1表示为(y1，x1)2在ABC中，已知点A
6、，B，C的坐标，如何用向量法求BC边上的高的大小？提示设高AD交边BC于点D，由B，D，C三点共线及0可求点D的坐标，进而可求|.3在ABC中， AEBC，则向量在上的投影向量的模有什么几何意义？提示如图，向量在上的投影向量，其模有什么几何意义就是BC边上的高【例3】已知在ABC中，A(2，1)，B(3，2)，C(3，1)，AD为BC边上的高，求|.思路点拨法一：设D(x，y)，由及0可求D，进而求|.法二：先求出与垂直的一个向量，再求出向量在上的投影向量的模即高AD的大小解法一：设点D坐标为(x，y)，则(x2，y1)，(6，3)，(x3，y2)，D在直线BC上，即与共线，存在实数，使，即(
7、x3，y2)(6，3)，x32(y2)，即x2y10.又ADBC，0，即(x2，y1)(6，3)0，6(x2)3(y1)0，即2xy30.由可得即D点坐标为(1，1)，(1，2)，|，即|.法二：在ABC中，A(2，1)，B(3，2)，C(3，1)，所以(6，3)，(1， 3)与垂直的一个向量(3，6)，所以|3，15.向量在上的投影向量(|cos )(其中为和的夹角)所以|.向量的垂直问题主要借助于结论：abab0x1x2y1y20，把几何问题转化为代数问题它对于解决向量以及平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握(1)与向量a(x，y)垂直的一个向量可以设为b(y，x)；(2)求AB
8、C中BC边上的高AD，可以先求出与垂直的一个向量，再求出(或)在上的投影向量的模，就是高AD的大小跟进训练3已知在AOB中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中x1 y2x2y10，求证：SAOB|x1y2x2y1|.证明在AOB中，A(x1，y1)，B(x2，y2)所以(x1，y1)， |，(x2，y2)，所以与垂直的一个向量(y1，x1). 所以向量在上的投影的模，即AO边上的高h，h .所以SAOB|h|x1y2x2y1|.1本节课的重点是向量的坐标表示以及用向量的坐标解决模、夹角、垂直等问题2要掌握平面向量数量积的坐标运算及应用(1)求平面向量的数量积；(2)解决向量模的问题；(3
9、)解决向量的夹角与垂直问题特别是求已知三角形的高的问题，两种思路：方程思想先求垂足坐标，利用投影向量的模3本节课的易错点解决两向量的夹角问题时，易忽视夹角为0或的特殊情况1设向量a(1，0)，b，则下列结论中正确的是()A|a|b|BabCab与b垂直Dab与b垂直C由题知|a|1，|b|，ab10，(ab)bab|b|20，故ab与b垂直2向量m(x5，1)，n(4，x)，mn，则x_.44(x5)x0，x4.3已知a(1，3)，b(2，1)，则a与b的夹角为_cos ，又0，.4已知三点A(2，1)，B(3，2)，D(1，4)(1)求证：ABAD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度解(1)证明：A(2，1)，B(3，2)，D(1，4)，(1，1)，(3，3)则1(3)130，即ABAD(2)，四边形ABCD为矩形，.设C点的坐标为(x，y)，则(x1，y4)，从而有即C点的坐标为(0，5)(4，2)，|2，即矩形ABCD的对角线的长度为2.