1、第3课时直线与平面的位置关系(2)一、 填空题1. 设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，则“l”是“lm且ln”的_条件答案：充分不必要解析：llm，ln.反之，因为 m，n不一定相交，故lm且ln不一定推出l.2. 下列条件中，能判定直线l平面的是_(填序号) l与平面内的两条直线垂直； l与平面内的无数条直线垂直； l与平面内的某一条直线垂直； l与平面内的任意一条直线垂直答案：解析：由线面垂直的定义及判定定理可知正确3. 下列说法正确的是_(填序号) 若平面外一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面； 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直
2、线； 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面答案：解析：当这两点在平面两侧时，直线与平面相交，错误；正确；中垂直于这条直线的另一条直线可能平行于这个平面或相交但不垂直于这个平面，错误4. 已知平面，和直线m，给出条件： m； m； m； .当满足条件_时，有m.(填序号)答案：解析：若m，则m.故填.5. 已知m，n是两条不同的直线，是一个平面，有下列四个命题： 若m，n，则mn； 若m，n，则mn； 若m，n，则mn； 若m，mn，则n.其中真命题是_(填序号)答案：6. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，ACBC1，ACB90，点D是A1B1
3、的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1平面C1DF，则线段B1F_答案：解析：设B1Fx，因为AB1平面C1DF，DF平面C1DF，所以AB1DF.由已知，得A1B1.设RtAA1B1斜边AB1上的高为h，则DEh.又2h，所以h，DE.在RtDB1E中，B1E .由面积相等，得x，解得x.即线段B1F的长为.7. 如图，PA平面ABC，在ABC中BCAC，则图中直角三角形的个数为_答案：4解析：BC平面PACBCPC， 直角三角形有PAB，PAC，ABC，PBC.8. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1C1与平面ABC1D1所成角的正弦值为_答案：解析：如图，在平
4、面ADD1A1中作A1EAD1于点E，连结C1E，因为正方体ABCDA1B1C1D1中，AB平面ADD1A1，所以A1EAB.因为AD1 ABA，AD1，AB平面ABC1D1，则A1E平面ABC1D1，所以A1C1E就是A1C1与平面ABC1D1所成的角，在RtAA1D1中，AA1A1D1，A1EAD1，所以点E为AD1的中点，且A1EAD1A1C1，所以sinA1C1E.9. 设，是空间中两个不同的平面，m，n是平面及外的两条不同的直线从“ mn； ； n； m”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：_(填序号)答案：或解析：因为当n，m时，平面及所成的二面角与直线
5、m，n所成的角相等或互补，所以若mn，则，从而由正确；同理也正确10. 如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF_时，CF平面B1DF.答案：a或2a解析：由题意可得B1D平面A1ACC1， CFB1D， 为了使CF平面B1DF，只要使CFDF(或CFB1F)设AFx，则CD2DF2FC2， x23ax2a20， xa或x2a.二、 解答题11. 如图，在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为菱形，且PA底面ABCD，PAAC，点E是PA的中点，点F是PC的中点，求证：(1) PC平面BDE
6、；(2) AF平面BDE.证明：(1) 连结OE，因为点O为菱形ABCD对角线的交点，所以点O为AC的中点因为点E为PA的中点，所以OEPC.因为OE平面BDE，PC平面BDE，所以PC平面BDE.(2) 因为PAAC，PAC是等腰三角形，又点F是PC的中点，所以AFPC.又OEPC，所以AFOE.因为PA底面ABCD，BD 平面ABCD，所以PA BD.因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以ACBD.又PAACA，AC平面PAC，PA平面PAC，所以BD平面PAC.又AF平面PAC，所以AFBD .又OEBDO，OE平面BDE，BD平面BDE，所以AF平面BDE.12. 如图，在正三棱柱
7、ABCA1B1C1中，点D在边BC上，ADC1D.(1) 求证： AD平面BCC1B1；(2) 如果点E是B1C1的中点，求证：A1E平面ADC1.证明：(1) 因为ABCA1B1C1是正三棱柱，所以CC1平面ABC.又AD平面ABC，所以CC1AD.又因为ADC1D，CC1，C1D平面BCC1B1，CC1C1DC1，所以AD平面BCC1B1.(2) 因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，点E是B1C1的中点，所以A1EB1C1.因为CC1平面A1B1C1，且A1E平面A1B1C1，所以CC1A1E.又因为B1C1，CC1平面BCC1B1，B1C1CC1C1，所以A1E平面BC
8、C1B1.由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1EAD.又A1E平面ADC1，AD平面ADC1，所以A1E平面ADC1.13. 在直三棱柱ABC A1B1C1中，CACB，AA1AB，D是AB的中点若点P在线段BB1上，且BPBB1.求证：AP平面A1CD.证明： CACB，D是AB的中点， CDAB. 在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC侧面A A1B1B，交线为AB，又CD平面ABC， CD平面AA1B1B. AP平面A1B1BA， CDAP. BB1BA，BB1AA1 ，BPBB1， ， RtABPRtA1AD， AA1DBAP， AA1DA1APBAPA1AP90， APA1D. CDA1DD，CD平面A1CD，A1D平面A1CD， AP平面A1CD.