1、第七章推理与证明第1课时合情推理与演绎推理一、 填空题1. 某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为_答案：55解析：因为211，321，532，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为213455.2. 我们把 1，4，9，16，25，这些数称为正方形数，则第 n 个正方形数是_答案：n2解析： 112，422，932，1642，2552， 由此可推得第n个正方形数是n2.3. 观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)
2、为f(x)的导函数，则g(x)_答案：g(x)解析：由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(x)g(x)4. 如图是网格工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行，数字6，5，4(从左至右)出现在第3行； 数字7，8，9，10出现在第4行，依此类推，则第20行从左到右第4个数字为_答案：194解析：前19行共有190(个)数字第19行最左端的数为190第20行从左到右第4个数字为194.5. 观察等式：，1，.照此规律，对于一般的角，有等式_答案：tan 解析：等式中左端三角函数式中两角之和的一半的正切值恰好等于右端的数值，故tan .6. 已知命题：在平面
3、直角坐标系xOy中，ABC的顶点A(p，0)和C(p，0)，顶点B在椭圆1(mn0，p)上，椭圆的离心率是e，则.试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题是_答案：在平面直角坐标系xOy中，ABC的顶点A(p，0)和C(p，0)，顶点B在双曲线1(m0，n0，p)上，双曲线的离心率是e，则解析：由正弦定理和椭圆定义可知，类比双曲线应有.7. 如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，若共得到1 023个正方形，设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为_答案：解析：设1242n11 023，即1 023，解得
4、n10.正方形边长构成数列，从而最小正方形的边长为.8. 将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为_135791113151719212325272931答案：809解析：前20行共有正奇数13539202400(个)，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是24051809.9. 已知“整数对”按如下规律排成一行：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，则第60个“整数对”是_答案：(5，7)解析：依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n组中每个“整数对”的和均
5、为n1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，注意到60，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各整数对依次为(1，11)，(2，10)，(3，9)，(4，8)，(5，7)，因此第60个“整数对”是(5，7)10. 已知结论：“在三边长都相等的ABC中，若D是BC的中点，点G是ABC外接圆的圆心，则2”若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若点M是BCD的三边中线交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则_”答案：3解析：如图，设四面体ABCD的棱长为a，则
6、由M是BCD的重心，得BMa，AMa.设OAR，则OBR，OMaR，于是由R2，解得Ra.所以3.11. 某电子设备的锁屏图案设计的操作界面如图所示，屏幕解锁图案的设计规则如下：从九个点中选择一个点为起点，手指依次划过某些点(点的个数在1到9个之间)就形成了一个线路图(线上的点只有首次被划到时才起到确定线路的作用，即第二次被划到不会成为确定线路的点)，这个线路图就形成一个屏幕解锁图案，则图所给线路中可以成为屏幕解锁图案的是_(填序号)答案：a，b解析：由解锁图案的设计规则可知，构成线路图的所有的点能且只能起到一次确定线路的作用a，b均满足题意，c中第二排第三列的点至少起到两次确定线路的作用二、
7、 解答题12. 已知函数f(x)，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明解：f(0)f(1)，同理可得f(1)f(2)，f(2)f(3).由此猜想f(x)f(1x).证明如下：f(x)f(1x).13. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图为他们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形(1) 求出f(5)的值；(2) 利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3) 求n2时，的值解：(1) f(5)41.(2) 因为f(2)f(1)441，f(3)f(2)842，f(4)f(3)1243，f(5)f(4)1644，由此式规律，所以得出f(n1)f(n)4n.f(n1)f(n)4nf(n1)f(n)4nf(n)f(n1)4(n1)f(n2)4(n1)4(n2)f(n3)4(n1)4(n2)4(n3)f(1)4(n1)4(n2)4(n3)42n22n1.(3) 当n2时，所以1(1)1.