1、13.3.2空间图形的体积学 习 目 标核 心 素 养1.了解柱、锥、台和球的体积的计算公式(不要求记忆公式)(重点)2会求柱、锥、台和球的体积(重点、易错点)3会求简单组合体的体积及表面积(难点)1.通过对柱、锥、台的体积公式与球的体积，表面积公式的理解，培养学生直观想象素养2通过利用柱、锥、台和球的体积公式求几何体的体积，培养学生数学运算素养.取一摞书或一摞纸张堆放在桌面上，将它按如图所示的方式改变一下形状，这时高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而这摞书或纸张的体积与变形前相等这就是中国古代的“祖暅原理”，是我们研究空间图形的体积公式的理论基础1柱体、锥体、台体的体积空间图形体积柱体
2、V柱体Sh(S为底面面积，h为高)，V圆柱r2h(r为底面半径)锥体V锥体Sh(S为底面面积，h为高)，V圆锥r2h(r为底面半径)台体V台体h(SS)(S，S分别为上、下底面面积，h为高)，V圆台h(r2rrr2)(r，r分别为上、下底面半径)思考：柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系提示：VShV(SS)hVSh.2球的体积和表面积若球的半径为R，则(1)球的体积VR3.(2)球的表面积S4R2.1若正方体的体对角线长为a，则它的体积为_a3设正方体的边长为x，则xa，故x，Va3.2若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方体，则此圆柱的体积为_设圆柱的底面半径为r，高为h，则有2r2，即r
3、，故圆柱的体积为Vr2h2.3如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1V2_.124设三棱柱A1B1C1ABC的高为h，底面三角形ABC的面积为S，则V1ShShV2，即V1V2124.4若球的表面积为36，则该球的体积等于_36设球的半径为R，由题意可知4R236，R3.该球的体积VR336.多面体的体积【例1】如图，已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AC4，BC3，ACBC，点D是AB的中点，求三棱锥A1B1CD的体积思路点拨法一：VVVVV.法二：利用等体积法求解，VV
4、解AA1AC4，BC3，ACBC，ABA1B15.法一：由题意可知VSABCAA143424.又VSABCAA1SABCAA14.VSABCBB1SABCBB14.VSCC18，VVVVV244488.法二：在ABC中，过C作CFAB，垂足为F，由平面ABB1A1平面ABC知，CF平面A1B1BA又SA1B1AA15410.在ABC中，CF.VVSCF108.空间图形的体积的求法(1)直接法：直接套用体积公式求解(2)等体积转移法：在三棱锥中，每一个面都可作为底面为了求解的方便，我们经常需要换底，此法在求点到平面的距离时也常用到(3)分割法：在求一些不规则的空间图形的体积时，我们可以将其分割成
5、规则的、易于求解的空间图形(4)补形法：对一些不规则(或难求解)的空间图形，我们可以通过补形，将其补为规则(或易于求解)的空间图形跟进训练1如图，在三棱锥PABC中，PAa，ABAC2a，PABPACBAC60，求三棱锥PABC的体积解ABAC，BAC60，ABC为正三角形，设D为BC的中点，连接AD，PD，作PO平面ABCPABPAC且ABAC，OAD作PEAB于点E，连接OE，则OEAB在RtPAE中，PEasin 60a，AE.在RtAEO中，OEtan 30a.OPa.又SABCBCADa2.VPABCSABCOPa3.旋转体的体积【例2】圆台上底的面积为16 cm2，下底半径为6 c
6、m，母线长为10 cm，那么圆台的侧面积和体积各是多少？思路点拨解答本题作轴截面可以得到等腰梯形，为了得到高，可将梯形分割为直角三角形和矩形，利用它们方便地解决问题解如图，由题意可知，圆台的上底圆半径为4 cm，于是S圆台侧(rr)l100(cm2)圆台的高hBC4(cm)，V圆台h(SS)4(1636)(cm3)求台体的体积关键是求高，为此常将有关计算转化为平面图形(三角形或特殊四边形)来计算对于棱台往往要构造直角梯形和直角三角形；在旋转体中通常要过旋转轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形跟进训练2如图，ABC的三边长分别是AC3，BC4，AB5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求
7、所得旋转体的表面积和体积解如图所示，所得的旋转体是两个底面重合的圆锥的组合体，高的和AB5，底面半径DC，故S表DC(BCAC)，VCD2DACD2BDCD2(DABD).空间图形的外接圆内切球的问题探究问题1如果两个球的体积之比为827，那么两个球的表面积之比为多少？提示V1V2827RR，R1R223，S1S2RR49.2一底面边长为4的正六棱柱，高为6，则它的外接球(正六棱柱的顶点都在此球面上)的表面积是多少？提示因为正六棱柱的底面边长为4，所以它的底面圆的半径为4，所以球的半径为5，故球的表面积为4r2425100.【例3】已知正四面体的棱长为a，四个顶点都在同一个球面上，试求这个球的
8、表面积和体积思路点拨正四面体的顶点都在同一个球面上，球心和正四面体的中心是同一个点，球心与正四面体各顶点的距离即球的半径解如图所示，设正四面体PABC的高为PO1，球的球心为O，半径为R，则AO1ABa.在RtPO1A中，PO1a，在RtOO1A中，AO2AOOO，即R2，解得Ra.所以球的表面积S4R24a2，体积VR3a3.处理有关空间图形外接球的问题时，要注意球心的位置与空间图形的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总是在空间图形的特殊位置，比如中心、对角线中点等该类问题的求解就是根据空间图形的相关数据求球的直径或半径跟进训练3已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一
9、半，且ACBC6，AB4，求球面面积与球的体积解如图，设球心为O，球半径为R，作OO1平面ABC于点O1，由于OAOBOCR，则O1是ABC的外心，设M是AB的中点，由于ACBC，则O1CM.设O1Mx，易知O1MAB，则O1A，O1CCMO1Mx.又O1AO1C，x，解得x.O1AO1BO1C.在RtOO1A中，O1O，OO1A90，OAR，由勾股定理得R2，解得R，则S球4R254，V球R327.1本节课的重点是通过对柱体、锥体、台体和球的研究，掌握柱体、锥体、台体、球的体积的求法，难点是会求组合体的体积2本节课要重点掌握的规律方法(1)求空间图形体积的常用方法(2)求与组合体有关的体积的
10、方法3本节课的易错点是求空间图形体积时易把相关数据弄错1将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为()ABCDD将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，该球为正方体的内切球，其半径为，所以球的体积为.故选D2已知一个长方体共顶点的三个面的面积为，这个长方体的对角线长是_设ab，bc，ac，则abc，c，a，b1.l.3学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，如图，该模型为长方体ABCDA1B1C1D1挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，ABBC6 cm，AA14 cm，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3
11、.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.118.8由题易得长方体ABCDA1B1C1D1的体积为664144(cm3)，四边形EFGH为平行四边形，如图所示，连接GE，HF，易知四边形EFGH的面积为矩形BCC1B1面积的一半，即6412(cm2)，所以V四棱锥OEFGH31212(cm3)，所以该模型的体积为14412132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为1320.9118.8(g)4如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，BCD135，侧面PAB底面ABCD，BAP90，ABACPA6，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上(1)求证：EF平面PA
12、C；(2)当时，求四棱锥MECDF的体积证明(1)在平行四边形ABCD中，E，F分别为BC，AD的中点，所以EFAB，在平行四边形ABCD中，BCD135，所以ABC45在ABC中，ABAC，ABC45，所以ABAC，因为EFAB，所以EFACPA平面ABCD，因为EF平面ABCD，所以PAEF.EF平面PAC(2)因为，所以点M到面ABCD的距离为点P到平面ABCD距离的，由(1)知，PA平面ABCD，所以点M到面ABCD的距离为4，S四边形ECDF18，VMECDF18424，所以四棱锥MECDF的体积为24.5已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若这个球的体积是，求此三棱柱的体积解由R3，得R2，正三棱柱的高h4.设其底面边长为a，则a2，a4，V(4)2448.