1、第一章学业质量标准检测时间120分钟，满分150分一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若物体的运动规律是sf(t)，则物体在时刻t0的瞬时速度可以表示为(B)(1) ；(2) ；(3)f (t0)；(4)f (t)A(1)(2)B(1)(3)C(2)(3)D(2)(4)2若函数f(x)kxln x在区间(1，)上单调递增，则实数k的取值范围是(D)A(，2B(，1C2，)D1，)解析f(x)k，函数f(x)kxln x在区间(1，)单调递增，f(x)0在区间(1，)上恒成立k，而y在区间(1，)上单调递减，k1，k的取值
2、范围是1，)故选D3(2019全国卷文，8)若x1，x2是函数f(x)sin x(0)两个相邻的极值点，则(A)A2BC1D解析由题意及函数ysin x的图象与性质可知，T， T， ， 2.故选A4已知函数yf(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程是yx2，则f(1)f(1)的值等于(D)A0B1CD3解析点M(1，f(1)在切线上，所以f(1)12根据导数几何意义，所以f(1) 所以f(1)f(1)3.5函数f(x)(B)A在(0,2)上单调递减B在(，0)和(2，)上单调递增C在(0,2)上单调递增D在(，0)和(2，)上单调递减解析f (x).令f (x)0，得x10，x22.x(
3、，0)和x(2，)时，f (x)0，x(0,1)和x(1,2)时，f (x)1，则f(x)x的解集是(C)A(0,1)B(1,0)(0,1)C(1，)D(，1)(1，)解析不等式f(x)x可化为f(x)x0，设g(x)f(x)x，则g(x)f (x)1，由题意g(x)f (x)10，函数g(x)在R上单调递增，又g(1)f(1)10，原不等式g(x)0g(x)g(1)x1，故选C8曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离为(A)AB2C3D2解析设曲线上的点A(x0，ln(2x01)到直线2xy30的距离最短，则曲线上过点A的切线与直线2xy30平行因为y(2x1)，所以y|xx0
4、2，解得x01.所以点A的坐标为(1,0)所以点A到直线2xy30的距离为d.二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9已知函数f(x)xlnxx2，x0是函数f(x)的极值点，下列选项正确的是(AC)A0x0Cf(x0)x00Df(x0)x00解析函数f(x)xlnxx2，(x0)f(x)lnx1x，易得f(x)lnx1x在(0，)递增，f()0，x0，f(x)，0x0，即A正确，B不正确；lnx01x00，f(x0)x0x0lnx0xx0x0x0，即C正确，D不正确故选AC10已
5、知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数 f(x)的图象大致形状不可能的是(ACD)解析依题意可设f(x)ax2c(a0)，于是f(x)2ax，显然f(x)的图象为直线，过原点，且斜率2a0，故选ACD11若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为(ABC)Af(x)tan2xBf(x)x5sin2xCf(x)1sin2xDf(x)exx解析对于A，由f(x)tan2x可得f(x)，则f(x)为偶函数，关于y轴对称，故A满足题意；对于B，由f(x)x5sin2x可得f(x)5x42cos2x, f(x)为偶函数，关于y轴对称，故B满足题意；对于C，由f(x)1sin
6、2x可得f(x)2cos2x(xR)，则f(x)为偶函数，关于y轴对称，故C满足题意；对于D，由f(x)exx可得f(x)ex1(xR)，则f(x)ex1，所以f(x)是非奇非偶函数，不关于y轴对称，故D不满足题意；故选ABC12设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f(x)，g(x)为其导函数，当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)0且g(3)0，则使得不等式f(x)g(x)0成立的x的取值范围是(BD)A(，3)B(3,0)C(0,3)D(3，)解析f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f(x)f(x)，g(x)g(x)，令h(x)f(x)g(x)，则h(
7、x)h(x)，故h(x)f(x)g(x)为R上的奇函数，当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)0，即x0时，h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)0，h(x)f(x)g(x)在区间(，0)上单调递减，奇函数h(x)在区间(0，)上也单调递减，又g(3)0，h(3)h(3)0，当x(3,0)(3，)时，h(x)f(x)g(x)0，故选BD三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13函数yxex在其极值点处的切线方程为_y_.解析yf(x)xexf(x)(1x)ex，令f(x)0x1，此时f(1).函数yxex在其极值点处的切线方程为y.14若函数f(x
8、)x(xa)2在x2处取得极小值，则a_2_.解析求导函数可得f(x)3x24axa2，所以f(2)128aa20，解得a2或a6，当a2时，f(x)3x28x4(x2)(3x2)，函数在x2处取得极小值，符合题意；当a6时，f(x)3x324x363(x2)(x6)，函数在x2处取得极大值，不符合题意，所以a2.15已知函数f(x)x3ax2(2a3)x1.(1)若f(x)的单调减区间为(1,1)，则a的取值集合为_0_.(2)若f(x)在区间(1,1)内单调递减，则a的取值集合为_a|a0_.解析f(x)3x22ax2a3(x1)(3x2a3)(1)f(x)的单调减区间为(1,1)，1和1
9、是方程f(x)0的两根，1，a0，a的取值集合为0(2)f(x)在区间(1,1)内单调递减，f(x)0在(1,1)内恒成立，又二次函数yf(x)开口向上，一根为1，必有1，a0，a的取值集合为a|a016已知a0，函数f(x)ax3lnx，且f (1)的最大值为12，则实数a的值为_2_.解析f (x)3ax2，则f (1)3a.a0)(1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1上 的最大值为，求a的值解析函数f(x)的定义域为(0,2)，f(x)a，(1)当a1时，f(x)，当x(0，)时，f(x)0，当x(，2)时，f(x)0，即f(x)在(0,1上单调递增，故f(x)
10、在(0,1上的最大值为f(1)a，因此a.19(本题满分12分)设函数f(x)x3ax2bxc(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)设ab4，若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围解析(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.因为f(0)c，f(0)b，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为ybxc.(2)当ab4时，f(x)x34x24xc，所以f(x)3x28x4.令f(x)0，得3x28x40，解得x2或x.f(x)与f(x)在区间(，)上的情况如下：x(，2)2f(x)00f(x)cc所以，当c0且c0时，存在x1(4，2)，x
11、2，x3，使得f(x1)f(x2)f(x3)0.由f(x)的单调性知，当且仅当c时，函数f(x)x34x24xc有三个不同零点20(本题满分12分)已知a为实数，函数f(x)x22aln x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在1，)上的最小值g(a)；(3)若a0，求使方程f(x)2ax有唯一解的a的值解析(1)由题意，函数f(x)x22aln x，可得f(x)的定义域为(0，)，且f(x)，当a0时，f(x)0，则f(x)在(0，)上是增函数；当a0时，令f(x)0，解得0x；令f(x)0，得x，所以f(x)在(0，)上是减函数，在(，)上是增函数. (2)由()可知，当
12、a0时，f(x)在1，)上是增函数，所以g(a)f(x)minf(1)1；当a0时，f(x)在(0，)上是减函数，在(，)上是增函数，若01，即0a1时，f(x)在1，)上是增函数，所以g(a)f(x)minf(1)1；若1，即a1时，f(x)在(1，)上是减函数，在(，)上是增函数，所以g(a)f(x)minf()aaln a，综上可得g(a).(3)若方程f(x)2ax有唯一解，设g(x)f(x)2ax0有唯一解，令g(x)0，可得x2axa0，因为a0，x0，所以x1或x1(舍去)，当x(0，x1)时，g(x)0，g(x)在(0，x1)上是单调递减函数；当x(x1，)时，g(x)0，g(
13、x)在(x1，)上是单调递增函数，所以当xx1时，函数取得最小值，最小值为g(x)g(x1)，因为g(x)0有唯一解，所以g(x1)0，所以，即，所以2aln x1ax1a0，因为a0，所以2lnx1x110，设函数h(x)2ln xx1，x0时，h(x)是增函数，所以h(x)0至多有一个解，且h(1)0，所以方程2ln x1x110得解为x11，即x11，解得a，所以当a0时，方程f(x)2ax有唯一解时a的值为.21(本题满分12分)某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P与日产量x(万件)之间大体满足关系：P(其中c为小于6的正常
14、数)(注：次品率次品数/生产量，如P0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品)已知每生产1万件合格的仪器可盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的函数(2)当日产量为多少时，可获得最大利润？解析(1)当xc时，P，所以Tx2x10.当1xc时，P，所以T(1)x2()x1.综上，日盈利额T(万元)与日产量x(万件)的函数关系为：T(2)由(1)知，当xc时，每天的盈利额为0，当1xc时，T，令T0，解得x3或x9.因为1xc，c6，所以()当3c6时，Tmax3，此时x3.()
15、当1c3时，由T知函数T在1,3上递增，所以Tmax，此时xc.综上，若3c6，则当日产量为3万件时，可获得最大利润；若1c3，则当日产量为c万件时，可获得最大利润22(本题满分14分)已知函数f(x)ln xbx(aR，bR)(1)当a0时，若函数f(x)在(0，)上有两个零点，求b的取值范围；(2)当b0时，是否存在aR，使得不等式f(x)(x1)恒成立？若存在，求出a的取值集合；若不存在，请说明理由解析(1)当a0时，f(x)ln xbx，f(x)b(x0)，当b0时，f(x)0，f(x)在(0，)上单递增，不合题意，舍去；当b0时，f(x)0，x，进而f(x)在上单调递增，在上单调递减
16、，依题意有f0，ln10，e，解得b0，又f(1)b0，且e1，f(x)在上单调递增，进而由零点存在定理可知，函数f(x)在上存在唯一零点；下面先证lnxx(x0)恒成立，令(x)xln x，则(x)，当x(0，e)时，(x)0，函数(x)单调递减，当x(e，)时，(x)0，函数(x)单调递增，进而(x)(e)0，xln x，ln x2ln xxx，可得f(x)ln xbxxbx，若xbx0，得x，因为e，则e2，即当x时，取x0，有f0，即存在x0使得f(x0)0，进而由零点存在定理可知f(x)在上存在唯一零点；(2)当b0时，存在a1，使得不等式f(x)(x1)恒成立证明如下：当b0时，设g(x)ln x(x1)，则g(x)，依题意，函数g(x)0恒成立，又由g(1)0，进而条件转化为不等式g(x)g(1)对x0恒成立，所以g(1)是函数g(x)的最大值，也是函数g(x)的极大值，故g(1)0，解得a1.当a1时，g(x)(x0)，令g(x)0可得0x1，令g(x)0可得x1.故g(x)在(0,1)上递增，在(1，)上递减因此g(x)g(1)0，即不等式f(x)(x1)恒成立综上，存在且a的取值集合为1