1、高考资源网（） 您身边的高考专家22直接证明与间接证明22.1综合法和分析法考点学习目标核心素养综合法理解综合法的思考过程、特点，会用综合法证明数学问题逻辑推理分析法理解分析法的思考过程、特点，会用分析法证明数学问题逻辑推理 问题导学预习教材P85P89，并思考下列问题：1综合法的定义是什么？有什么特点？2分析法的定义是什么？有什么特点？1综合法定义推证过程特点利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法(P表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)顺推证法或由因导果法名师点拨 (1)综合法的思维特点是
2、从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，即“由因导果”，推理过程实际上是逐步寻找它们的必要条件(2)综合法的思维过程是原因结果，又可称为顺推证法或由因导果法2分析法定义框图表示特点从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止这种证明方法叫做分析法逆推证法或执果索因法名师点拨 (1)分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是寻找使结论成立的充分条件(2)分析法从命题的结论入手，寻求使结论成立的条件，直至归结为已知条件、定义、公理、定理等 判断正误(对的打“”，错的打“”)(1
3、)综合法是执果索因的逆推证法()(2)分析法就是从结论推向已知()(3)分析法与综合法证明同一个问题时，一般思路恰好相反，过程相逆()答案：(1)(2)(3) 下面对命题“函数f(x)x是奇函数”的证明不是用综合法的是()AxR且x0有f(x)(x)f(x)，所以f(x)是奇函数BxR且x0有f(x)f(x)x(x)0，所以f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数CxR且x0，因为f(x)0，所以1，所以f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数D取x1，则f(1)12，又f(1)12，则f(1)f(1)，所以f(x)是奇函数解析：选D.A，B，C选项中的证明过程都是“由因导果”，因此是综合法，而选
4、项D是特值法验证，并不能证明命题 用分析法证明，要证AB，只需证C6abc.证明：因为a，b，c是正数，所以b2c22bc，所以a(b2c2)2abc.同理，b(c2a2)2abc，c(a2b2)2abc.因为a，b，c不全相等，所以b2c22bc，c2a22ca，a2b22ab三式中不能同时取到“”所以式相加得a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc.2已知P是直角三角形ABC所在平面外一点，O是斜边AB的中点，且PAPBPC，求证：PO平面ABC.证明：连接OC，如图所示因为AB是RtABC的斜边，O是AB的中点，所以OAOBOC，因为PAPBPC，所以POAPOBPOC，所以P
5、OAPOBPOC.因为POAPOB180，所以POAPOB90，所以POC90，即POOA，POOC，因为OAOCO，所以PO平面ABC.分析法的应用 已知ab0，求证： .【证明】因为ab0，所以和都是正数，所以要证 ，只需证.只需证()2()2，只需证 ，只需证a(1b)(1a)b，只需证ab.因为ab，所以 成立分析法证明数学问题的方法 已知非零向量a，b，且ab，求证： .证明：abab0，要证 ，只需证|a|b| |ab|，只需证|a|22|a|b|b|22(a22abb2)，只需证|a|22|a|b|b|22a22b2，只需证|a|2|b|22|a|b|0，即证(|a|b|)20，
6、上式显然成立，故原不等式得证综合法与分析法的综合应用 ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其对边分别为a，b，c.求证：(ab)1(bc)13(abc)1.【证明】法一：要证(ab)1(bc)13(abc)1，即证，即证3，即证1.只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，只需证c2a2acb2.因为ABC三个内角A，B，C成等差数列，所以B60.由余弦定理，有b2c2a22cacos 60，即b2c2a2ac，c2a2acb2，此式即分析中要证明的等式，所以原式得证法二：因为ABC三个内角A，B，C成等差数列，所以B60.由余弦定理，有b2c2a22accos 60，得c2a2acb2，
7、两边同时加abbc，得c(bc)a(ab)(ab)(bc)，两边同时除以(ab)(bc)，得1，所以3，所以，所以(ab)1(bc)13(abc)1.分析法与综合法是两种思路相反的推理方法，分析法是倒溯，综合法是顺推，分析法容易探路，综合法条理清晰，易于表达，但思路不太好想，因此在选择证明方法时，一定要有“综合性选取”的意识，明确数学证明方法不是孤立的，应当善于将两种不同的证明方法结合在一起运用 设a，b(0，)，且ab，求证：a3b3a2bab2.证明：法一：(分析法)要证a3b3a2bab2成立，即需证(ab)(a2abb2)ab(ab)成立又因ab0，故只需证a2abb2ab成立，即需证
8、a22abb20成立，即需证(ab)20成立而依题设ab，则(ab)20显然成立由此不等式得证法二：(综合法)abab0(ab)20a22abb20a2abb2ab.因为a0，b0，所以ab0，所以(ab)(a2abb2)ab(ab)所以a3b3a2bab2.1欲证，只需证()A()2()2B()2()2C()2()2D()2()2解析：选A.欲证，只需证，只需证()2yBxyD不确定解析：选B.因为x0，y0，要比较x，y的大小，只需比较x2，y2的大小，即比较与ab的大小，因为a，b为不相等的正数，所以2ab.所以ab，即x2y2，所以x1，则ABC是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角
9、形D不确定解析：选A.因为tan Atan B1，所以A、B只能都是锐角，所以tan A0，tan B0，又因为tan Atan B1，所以1tan Atan B0，所以tan(AB)90，所以C为锐角故选A.5(2019山东日照一中高二下期中考试)已知f(x)ax1(0a1)，若x1，x2R，且x1x2，则()A.fB.f解析：选D.因为x1x2，所以a1f，所以f.6设a2，b2，则a，b的大小关系为_解析：a2，b2，两式的两边分别平方，可得a2114，b2114，显然， .所以ab.答案：a0；|5；|2，|2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是_(用序号
10、及“”表示)解析：因为0，|2，|2，所以|222288283225，所以|5.答案：9如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点(1)求证：PABD；(2)求证：平面BDE平面PAC.证明：(1)因为PAAB，PABC，ABBCB，AB，BC平面ABC，所以PA平面ABC.又因为BD平面ABC，所以PABD.(2)因为ABBC，D为AC的中点，所以BDAC.由(1)知，PABD，PAACA，所以BD平面PAC.又因为BC平面BDE，所以平面BDE平面PAC.10在ABC中，已知(abc)(abc)3ab，且2cos Asin Bsin C判
11、断ABC的形状解：因为ABC180，所以sin Csin(AB)又2cos Asin Bsin C，所以2cos Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以sin(AB)0.又因为A与B均为ABC的内角，所以AB.又由(abc)(abc)3ab，得(ab)2c23ab，a2b2c2ab.又由余弦定理c2a2b22abcos C，得a2b2c22abcos C.所以2abcos Cab，cos C，因为0C180，所以C60.又因为AB，所以ABC为等边三角形B能力提升11若a，b，cR，且abbcca1，则下列不等式成立的是()Aa2b2c24B(abc)23Ca2b2c23D
12、(abc)24解析：选B.因为a，b，cR，所以a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac，当且仅当abc时，等号同时成立，所以a2b2c2abbcac1，当且仅当abc时，等号成立，所以(abc)2a2b2c22ab2bc2aca2b2c223，当且仅当abc时，等号成立12(2019安徽太和中学高二下期中考试)设角A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角，Msin Asin Bsin C，Ncos A2cos B，则()AMNDM，N大小不确定解析：选C.因为0A，B，C90，则sin Asin(90B)，即sin Acos B；同理sin Bcos A；sin Ccos B，将以上三个
13、不等式两边相加可得MN，故选C.13已知a，b是不等正数，且a3b3a2b2，求证：1aba2abb2得(ab)2ab，又因为ab0，所以ab1，要证ab，即证3(ab)0，所以只需证明3(ab)24(ab)，又因为aba2abb2，即证3(ab)20.因为a，b是不等正数，故(ab)20成立故ab成立综上，得证1ab.14(选做题)设数列an的前n项和为Sn，已知a11，a26，a311，且(5n8)Sn1(5n2)SnAnB，nN*，其中A、B为常数(1)求A与B的值；(2)证明：数列an为等差数列解：(1)由已知得S1a11，S2a1a27，S3a1a2a318.由(5n8)Sn1(5n2)SnAnB，得即解得(2)证明：由第一问得(5n8)Sn1(5n2)Sn20n8.所以(5n3)Sn2(5n7)Sn120n28.，得(5n3)Sn2(10n1)Sn1(5n2)Sn20.所以(5n2)Sn3(10n9)Sn2(5n7)Sn120.，得(5n2)Sn3(15n6)Sn2(15n6)Sn1(5n2)Sn0.因为an1Sn1Sn，所以(5n2)an3(10n4)an2(5n2)an10.因为5n20，所以an32an2an10.所以an3an2an2an1，nN*.又因为a3a2a2a15，所以数列an为等差数列高考资源网版权所有，侵权必究！