1、第三章不等式2 一元二次不等式2.1 一元二次不等式的解法内 容 标 准学 科 素 养1.通过实例了解一元二次不等式.2.理解一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系.3.掌握一元二次不等式的解法.规范数形结合准确分类讨论提升数学运算01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 一元二次不等式的概念预习教材 P7581，思考并完成以下问题从未知数的个数以及未知数的最高次数看，不等式 x22x30，x25x0，3x26x10，4x210 等有什么共同特点？提示：它们只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2.知识梳理 一元二次不等式的概念及
2、形式(1)概念：我们把只含有_未知数，并且未知数的最高次数是_的不等式，称为一元二次不等式(2)形式：ax2bxc0(a0)；ax2bxc0(a0)；ax2bxc0(a0)；ax2bxc0(a0)(3)解集：一般地，使某个一元二次不等式_的 x 的_叫做这个不等式的解，一元二次不等式的_组成的集合叫做这个一元二次不等式的_一个2 成立值所有解解集知识点二 一元二次不等式的解法思考并完成以下问题1方程 x22x30 的根是什么？提示：由 x22x30，得(x3)(x1)0，所以 x3 或 x1，所以方程 x22x30 的根为 3 或1.2画出函数 yx22x3 的图像，并指出函数的图像与 x 轴
3、交点的坐标提示：函数 yx22x3(x1)24 的图像如图所示，由图可知函数的图像与 x 轴的交点坐标为(1，0)和(3，0)3观察图像，试写出不等式 x22x30 和 x22x30 的解集提示：通过图像可知，x22x30 的解集为x|x3 或 x1；x22x30 的解集为x|1x3知识梳理 二次函数的图像、一元二次方程的解、一元二次不等式的解集之间的关系b24ac000yax2bxc(a0)的图像ax2bxc0(a0)的解x1，x2(x1x2)x0 b2a没有实数根 ax2bxc0(a0)的解集_ax2bxc0(a0 的解集)_x|xx2或xx1 x|xx0 R x|x1xx2 思考：1若不
4、等式 ax2bxc0(a0)的解集是(4，3)，则函数 yax2bxc(a0)与x 轴的交点坐标是什么？提示：(4，0)和(3，0)2若不等式 ax2bxc0(a0)的解集是(，4)(3，)，则由此能确定 a的正负吗？提示：能，a0.3不等式 ax2bxc0(a0)的解集能只有一个实数吗？提示：不能自我检测1已知下列不等式：ax22x10；x2y0；x23x0；xx230.其中是一元二次不等式的个数为()A1 B2 C3 D4解析：中当 a0 时，它不是一元二次不等式；中有两个未知数，它不是一元二次不等式；是一元二次不等式；是分式不等式故选 A.答案：A2不等式 2x2x10 的解集为()AB
5、RC.x12x1D.xx14解析：因为 1870，且对应函数图像的开口向上，所以不等式的解集为.故选 A.答案：A3不等式6x2x20 的解集是_解析：因为6x2x20，所以 6x2x20，即(2x1)(3x2)0，故 x12或 x23.答案：xx23或x12探究一 解不含参数的一元二次不等式 阅读教材 P7677 例 1，2，3，4，5 及解答题型：解不含参数的一元二次不等式方法步骤：确定对应方程 ax2bxc0 的解；画出对应函数 yax2bxc 的图像简图；由图像得出不等式的解集例 1 解下列不等式(1)2x23x20.(2)3x26x2.(3)4x218x814 0.解题指南 二次项系
6、数化正 看判别式的符号 求根 写解集解析(1)因为 250，且方程 2x23x20 的两根分别为 x112，x22，又a20，所以函数 y2x23x2 的图像开口向上，与 x 轴有两个交点(如图)观察图像得不等式 2x23x20 的解集为x|x12或x2.(2)不等式化为 3x26x20，因为 0，方程 3x26x20 的两根是 x11 33，x21 33，又 a30，所以函数 y3x26x2 的图像开口向上，与 x 轴有两个交点(如图)观察图像得不等式 3x26x20 的解集为x|1 33 x1 33，即为原不等式的解集(3)因为 1824(4)814 0.所以方程4x218x814 0，两
7、相等实根是 x1x294，又 a40，所以函数 y4x218x814 的图像开口向下，与 x 轴有一个交点(如图)观察图像得不等式4x218x814 0 的解集为x|x94.方法技巧 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)化标准通过对不等式的变形，使不等式的右侧为 0，使二次项系数为正(2)判别式对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式(3)求实根求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根(4)画草图根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图(5)写解集根据图像写出不等式的解集跟踪探究 1.解下列不等式：(1)4x220 x25；(2)(x3)(x7
8、)0；(3)3x25x40；(4)x(1x)x(2x3)1.解析：(1)不等式可化为 4x220 x250，由于 0，且对应的二次函数的图像是开口向上的抛物线，所以不等式的解集是.(2)由题意知不等式对应方程的两个根是 3 和 7，且对应的二次函数的图像是开口向上的抛物线，故不等式的解集是x|3x7(3)不等式3x25x40 可化为 3x25x40，由于判别式 2548230，函数 y3x25x4 的图像开口向上，所以不等式的解集是 R.(4)不等式 x(1x)x(2x3)1 可化为 3x24x10.因为方程 3x24x10 的两个根是13，1，函数 y3x24x1 的图像开口向上，所以不等式
9、的解集是x13x1.探究二 解含参数的一元二次不等式阅读教材 P87 例 7、8 及解答题型：解含参数的一元二次不等式方法步骤：确定对应方程的解讨论方程解的大小结合图像写出解集例 2 解关于 x 的不等式 ax2(2a1)x20(a0)解题指南 将原不等式左端因式分解求出相应的一元二次方程的两根，然后对 a 进行分类讨论确定两根的大小进而求出原不等式的解集解析 不等式 ax2(2a1)x20 可化为(ax1)(x2)0，由于 a0，故不等式可化为x1a(x2)0.若 0a12，则1a2，此时不等式的解集为x2x1a.若 a12，则不等式为(x2)20，此时不等式的解集为.若 a12，则1a2，
10、此时不等式的解集为x1ax2.综上可知：当 0a12时，不等式的解集为x2x1a.当 a12时，不等式的解集为.当 a12时，不等式的解集为x1ax2.延伸探究 1.若将不等式“ax2(2a1)x20(a0)”改为“ax2(2a1)x20(a0)”，又如何求解？解析：不等式 ax2(2a1)x20 可化为(ax1)(x2)0，由于 a0，故不等式可化为x1a(x2)0，则不等式x1a(x2)0 对应的方程的两个根分别为 x11a，x22，由于 a0，故 21a，所以原不等式的解集为x1ax2.2若将本题中的条件“(a0)”去掉，又如何求解关于 x 的不等式 ax2(2a1)x20 呢？解析：不
11、等式 ax2(2a1)x20 可化为(ax1)(x2)0.(1)当 a0 时，不等式可化为x1a(x2)0.若 0a12，则1a2，此时不等式的解集为x2x1a.若 a12，则不等式为(x2)20，此时不等式的解集为.若 a12，则1a2，此时不等式的解集为x1ax2.(2)当 a0 时，不等式化为x20，此时不等式的解集为x|x2(3)当 a0 时，不等式可化为x1a(x2)0，由于1a2，故不等式的解集为xx1a或x2.综上所述：当 a0 时，不等式的解集为xx1a 或x2.当 a0 时，不等式的解集为x|x2当 0a12时，不等式的解集为x2x1a.当 a12时，不等式的解集为.当 a1
12、2时，不等式的解集为x1ax2.方法技巧 解含参数的一元二次不等式的方法在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的讨论：二次项的系数 a0，a0，a0；(2)关于不等式所对应的方程的根的讨论：两根(0)，一根(0)，无根(0)；(3)关于不等式对应的方程的大小的讨论：x1x2，x1x2，x1x2.跟踪探究 2.解关于 x 的不等式 ax2(a1)x10.解析：当 a0 时，原不等式即为x10，解得 x1.当 a0 时，原不等式化为x1a(x1)0，解得 x1a或 x1.当 a0 时，原不等式化为x1a
13、(x1)0.若 a1，即1a1 时，不等式无解；若 a1，即1a1 时，解得1ax1；若 0a1，即1a1 时，解得 1x1a.综上可知，当 a0 时，不等式的解集为xx1a或x1；当 a0 时，不等式的解集为x|x1；当 0a1 时，不等式的解集为x1x1a.当 a1 时，不等式的解集为.当 a1 时，不等式的解集为x1ax1.探究三 一元二次不等式与相应函数、方程的关系 例 3 已知不等式 ax2bxc0 的解集为(，)，且 0，求不等式 cx2bxa0 的解集解题指南 先判断二次项系数的符号，再根据三个“二次”之间的关系得到字母之间的关系，即可求解不等式的解集解析 法一：由已知不等式的解
14、集为(，)可得 a0，为方程 ax2bxc0 的两根，由根与系数的关系可得ba（）0 ca0 .a0，由得 c0，则 cx2bxa0 可化为 x2bcxac0，得bc（）11 0，由得ac 1110，1、1为方程 x2bcxac0 的两根0，不等式 cx2bxa0 的解集为xx1或x1.法二：由已知不等式解集为(，)，得 a0，且，是 ax2bxc0 的两根，ba，ca，cx2bxa0cax2bax10()x2()x10(x1)(x1)0 x1 x1 0.0，11，x1或 x1，cx2bxa0 的解集为xx1或x1.方法技巧 已知不等式的解集求参数的解题思路已知不等式的解集求参数的问题的实质是
15、考查三个“二次”间的关系其解题的一般思路为：(1)根据所给解集确定相应方程的根和二次项系数的符号；(2)由根与系数的关系，或将根直接带入方程，求出参数的值或参数之间的关系，进而求解跟踪探究 3.已知关于 x 的不等式 x2axb0 的解集为(1，2)，求关于 x 的不等式bx2ax10 的解集解析：关于 x 的不等式 x2axb0 的解集为(1，2)，1，2 是关于 x 的方程 x2axb0 的两根由根与系数的关系，得a12，b12，解得a3，b2.将其代入所求不等式 bx2ax10，得 2x23x10.由 2x23x10，得(2x1)(x1)0，解得 x12或 x1.故 bx2ax10 的解
16、集为，12(1，).课后小结(1)对于一元二次不等式 ax2bxc0(a0)或 ax2bxc0(a0)的求解，要善于联想两个方面的问题：二次函数 yax2bxc 与 x 轴的交点及图像方程 ax2bxc0 的根(2)含有参数的不等式的求解，要注意按某一恰当的分类标准进行讨论(3)“三个二次”之间的关系不但是解一元二次不等式的理论依据，还可以确定参数的值或范围素养培优忽视参数的分类讨论致误解关于 x 的不等式 x22ax30(aR)易错分析 求解含参数的一元二次不等式时，如果相应方程的根的情况不明确，应对方程根的情况进行讨论，以确定不等式的解集，若是讨论不全会导致漏解自我纠正 当 4a2120，即 a 3或 a 3时，方程 x22ax30 有两个不相等的实数根，即 x12a 4a2122a a23，x22a 4a2122a a23.且 x1x2，所以不等式的解集为x|xa a23或 xa a23；当 4a2120，即 3a 3时，方程 x22ax30 没有实数根，所以不等式的解集为 R；当 4a2120，即 a 3时，方程 x22ax30 有两个相等的实数根，所以不等式的解集为 R.综上所述，当 a 3或 a 3时，不等式的解集为x|xaa23或 xaa23；当 3a 3时，不等式的解集为 R.课时跟踪训练