1、峨眉二中2022届高二下期4月月考数学试卷理科命题人: 审题人: 本试题卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)两部分.第一部分1至2页,第二部分3至4页.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷.草稿纸上答题无效.满分150分,考试时间120分钟.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回. 第一部分(选择题 共50分)注意事项:1选择题必须用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上. 2第一部分共12小题,每小题5分,共60分.一、 选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题只有一项是符合题目要求的. 1.()A.i B.i C.i D.i2函数yf(x)的导函
2、数yf(x)的图象如图所示,则函数yf(x)在区 间(a,b)内的极大值点的个数为( )A1 B2C3 D43函数f(x)(x3)ex的单调递减区间是( )A(,2) B(0,3) C(1,4) D(2,)4已知函数f(x)logax(a0且a1),若f(1)1,则a( )Ae B. C. D.5. 已知a为实数,若复数z(a21)(a1)i为纯虚数,则( )A1 B0 C1i D1i 6f(x)x(2 020ln x),若f(x0)2 021,则x0等于( )A1 Bln 2 Ce De27函数f(x)xex,x0,4的最大值为( )A0 B. C. D.8已知函数f(x)xln x,则f(
3、x)( )A在(0,)上单调递增 B在(0,)上单调递减C在上单调递减 D在上单调递增9.一个几何体的三视图如图所示,则它的表面积为( )A242 B244 C204D20210.正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值()A. B. C. D.11已知f1(x)sin xcos x,fn1(x)是fn(x)的导函数,即f2(x)f1(x),f3(x)f2(x),fn1(x)fn(x),nN*,则f2 021(x)( )Asin xcos x Bsin xcos x Csin xcos x Dsin xcos x12.已知函数f(x1)是偶函数,
4、当x(1,)时,函数f(x)sin xx,设af,bf(3),cf(0),则a,b,c的大小关系为( )Aabc Bcab Cbca Dbac第二部分(非选择题 90分)注意事项:1考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答,作图题可先用铅笔画线,确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚,答在试题卷上无效.2本部分共11小题,共100分.二、填空题:本大题共4小题;每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.13已知函数f(x) x2x,则f(x)_ 14.设z,则|z|_ 15.若函数f(x)xsin 2xasin x在(,)单调递增,则a的取值范围是_16.已知曲线
5、f(x)x3ax在x0处的切线与曲线g(x)ln x相切,则a的值为_三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17(本题10分) (1)已知曲线yx3.求曲线在点P(1,2)处的切线方程;(2)若函数f(x)x3x2ax4恰在1,4上单调递减,则实数a的值为?18(本题12分)已知函数f(x)ln x,定义域(0,)其中aR,且曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值19(本题12分)已知函数f(x)xb(x0),其中a,bR.(1)若曲线yf(x)在点P(1,f(1)处的切线方程为y3x
6、1,求函数f(x)的解析式;(2)讨论函数f(x)的单调性;(3)若对于任意的a,不等式f(x)10在上恒成立,求b的取值范围20.(本题12分)峨眉山市某商场销售脆红李的经验表明,该脆红李每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y10(x6)2,其中3x6,a为常数,已知销售价格为5元/千克时,每日可售出脆红李11千克(1)求a的值;(2)若脆红李的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售脆红李所获得的利润最大21.(本题12分)如图所示,四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,DABDCB,E为线段BD上的一点,且EBEDECBC,连接CE并延长交A
7、D于F.(1)若G为PD的中点,求证:平面PAD平面CGF;(2)若BC2,PA3,求二面角BCPD的余弦值22.(本题12分)已知函数f(x)ln xx2axa (aR)(1)若函数f(x)在(0,)上为单调递增函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)在xx1和xx2处取得极值,且x2 x1(e为自然对数的底数),求f(x2)f(x1)的最大值2022届高二下期4月月考数学试卷理科答案二、 选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.1.(B)A.i B.i C.i D.i2函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示,则函数yf(x)在区间(a,b)内的极大值点的个数为(A)A
8、1 B2C3D43.设x,yR,若(xy)(y1)i(2x3y)(2y1)i,则复数zxyi在复平面上对应的点位于(D)A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4已知函数f(x)logax(a0且a1),若f(1)1,则a(C)Ae B. C. D.5. 已知a为实数,若复数z(a21)(a1)i为纯虚数,则(D)A1 B0 C1i D1i6f(x)x(2 020ln x),若f(x0)2 021,则x0等于(A)A1 Bln 2 Ce De27函数f(x)xex,x0,4的最大值为(D)A0 B. C. D.8已知函数f(x)xln x,则f(x)(C)A在(0,)上单调递增 B在(0
9、,)上单调递减 C在上单调递减 D在上单调递增9.一个几何体的三视图如图所示,则它的表面积为(A)A242 B244 C204D202解析:如图所示,三视图所对应的几何体是长、宽、高分别为2,2,3的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱ABIEDCMH,则该几何体的表面积S(22)52212242.10.正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值()A. B. C. D.解析:如图,连接BE,因为ABCD,所以异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角,即EAB.不妨设正方体的棱长为2,则CE1,BC2,由勾股定理得BE.又由AB平面BCC1
10、B1可得ABBE,所以tanEAB.故选C.11已知f1(x)sin xcos x,fn1(x)是fn(x)的导函数,即f2(x)f1(x),f3(x)f2(x),fn1(x)fn(x),nN*,则f2 021(x)(C)Asin xcos x Bsin xcos x Csin xcos x Dsin xcos x解析:f1(x)sin xcos x,f2(x)f1(x)cos xsin x,f3(x)f2(x)sin xcos x,f4(x)f3(x)cos xsin x,f5(x)f4(x)sin xcos x,fn(x)的解析式以4为周期重复出现,2 02145051,f2 021(x)
11、f1(x)sin x+cos x.12.已知函数f(x1)是偶函数,当x(1,)时,函数f(x)sin xx,设af,bf(3),cf(0),则a,b,c的大小关系为(D)Aabc Bcab Cbca Dbac解析:函数f(x1)是偶函数,函数f(x)的图象关于直线x1对称,aff,bf(3),cf(0)f(2)又当x(1,)时,函数f(x)sin xx,当x(1,)时,f(x)cos x10,即f(x)sin xx在(1,)上为减函数,bac.二、填空题:本大题共4小题;每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.13已知函数f(x) x2x,则f(x)_解析:f(x)2x1.14.设z,则
12、|z|_解析:zi,|z|1.15.若函数f(x)xsin 2xasin x在(,)单调递增,则a的取值范围是_解析:函数f(x)xsin 2xasin x在(,)单调递增,等价于f(x)1cos 2xacos xcos2xacos x0在(,)恒成立设cos xt,则g(t)t2at0在1,1恒成立,所以解得a.16.已知曲线f(x)x3ax在x0处的切线与曲线g(x)ln x相切,则a的值为_解析:由f(x)x3ax,得f(x)3x2a.f(0)a,f(0),曲线yf(x)在x0处的切线方程为yax.设直线yax与曲线g(x)ln x相切于点(x0,ln x0),g(x),将代入得ln x
13、0,x0e,ae三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17(本题10分) (1)已知曲线yx3.求曲线在点P(1,2)处的切线方程;(2)若函数f(x)x3x2ax4恰在1,4上单调递减,则实数a的值为?解(1)P(1,2)在曲线yx3上,且yx2,.2分在点P(1,2)处的切线的斜率为y|x11.4分曲线在点P(2,4)处的切线方程为y21(x1),即xy+10.5分(2)f(x)x23xa,.7分且f(x)恰在1,4上单调递减,f(x)x23xa0,.8分因此1,4是方程f(x)0的两根,则a(1)44.10分18(本题12分)已知函数f(x)ln
14、x,定义域(0,)其中aR,且曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值解:(1)对f(x)求导,得f(x)(x0),.2分由f(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于直线yx,f(1)2.4分知f(1)a2,解得a.6分(2)由(1)知f(x)ln x,则f(x),.8分令f(x)0,解得x1(舍去)或x5.9分当x(0,5)时,f(x)0,故f(x)在(5,)为增函数.11分由此知函数f(x)在x5时取得极小值f(5)ln 5,无极大值.12分19(本题12分)已知函数f(x)xb(x0),其中a,bR.(1)若曲线yf(x)
15、在点P(1,f(1)处的切线方程为y3x1,求函数f(x)的解析式;(2)讨论函数f(x)的单调性;(3)若对于任意的a,不等式f(x)10在上恒成立,求b的取值范围解:(1)f(x)1(x0),由已知及导数的几何意义得f(1)3,则a2.2分由切点P(1,f(1)在直线y3x1上可得1b4,解得b5,.3分所以函数f(x)的解析式为f(x)x5.4分(2)由(1)知f(x)1(x0)当a0时,显然f(x)0,这时f(x)在(,0),(0,)上是增函数.5分当a0时,令f(x)0,解得x,.6分当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(,)(,0)(0,)(,)f(x)00f(x)极
16、大值极小值所以当a0时,f(x)在(,),(,)上是增函数,在(,0),(0,)上是减函数.8分(3)由(2)知,对于任意的a,不等式f(x)10在上恒成立等价于.10分即对于任意的a成立,从而得b,所以满足条件的b的取值范围是.12分20.(本题12分)峨眉山市某商场销售脆红李的经验表明,该脆红李每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y10(x6)2,其中3x6,a为常数,已知销售价格为5元/千克时,每日可售出脆红李11千克(1)求a的值;(2)若脆红李的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售脆红李所获得的利润最大解(1)因为x5时,y11,所以
17、1011,a2.2分(2)由(1)知,该商品每日的销售量y10(x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)10(x6)2210(x3)(x6)2, 3x6.4分从而,f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6).6分于是,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减(若没有例表,求出单调递增或单调递减范围各给2分),表中有一处错扣一分.10分由上表可得,x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点所以,当x4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.答当销售价格为4元/
18、千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.12分21.(本题12分)如图所示,四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,DABDCB,E为线段BD上的一点,且EBEDECBC,连接CE并延长交AD于F.(1)若G为PD的中点,求证:平面PAD平面CGF;(2)若BC2,PA3,求二面角BCPD的余弦值解:(1)证明:在BCD中,EBEDECBC,故BCD90,CBEBEC60.DABDCB,BADBCD90,ABECBE60,FEDBECABE60.ABEF,EFDBAD90,EFAD,AFFD.又PGGD,GFPA.2分又PA平面ABCD,GF平面ABCD,AD平面ABCD,GFAD.又GFE
19、FF,(没有就扣1分)AD平面CGF.又AD平面PAD,平面PAD平面CGF.6分(2)以A为坐标原点,射线AB,AD,AP分别为x轴,y轴,z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(3,,0),D(0,2,0),P(0,0,3),故(1,,0),(3,,3),(3,,0)设平面BCP的一个法向量为n1(1,y1,z1),则即解得即n1.8分设平面DCP的一个法向量为n2(1,y2,z2),则即解得即n2(1,2).10分所以cosn1,n2,由图知二面角BCPD为钝角,所以二面角BCPD的余弦值为.12分(符号错就扣1分)22.(本题12分)已知函数
20、f(x)ln xx2axa(aR)(1)若函数f(x)在(0,)上为单调递增函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)在xx1和xx2处取得极值,且x2 x1(e为自然对数的底数),求f(x2)f(x1)的最大值解(1)f(x)xa(x0),.2分又f(x)在(0,)上单调递增,恒有f(x)0,即xa0恒成立,amin,.4分而x2 2,当且仅当x1时取“”,a2 (没有“三相等,扣1分”)即函数f(x)在(0,)上为单调递增函数时,a的取值范围是(,2.6分(2)f(x)在xx1和xx2处取得极值,且f(x)xa(x0),.8分x1,x2是方程x2ax10的两个实根,由根与系数的关系得x1x2a,x1x21,.9分f(x2)f(x1)ln(xx)a(x2x1)ln(xx)ln(xx)ln,.10分设t(t ),令h(t)ln t(t ),则h(t)0,h(t)在,)上是减函数,.12分h(t)h(),故f(x2)f(x1) 的最大值为.