1、要点导学各个击破导数的概念某飞行器在发射后的一段时间内,第ts时的高度h(t)=2t2+3t+1,其中h的单位为m,t的单位是s.(1) 求第1 s内的平均速度;(2) 求第t s末的瞬时速度v(t).思维引导飞行器在t s到(t+t)s时间内的平均速度为=.飞行器在t s末的瞬时速度是,当t0时,=无限趋近的一个常数值A,也就是h(t)在(t,h(t)处的导数,即v(t)=h(t).解答(1) =5(m/s).(2) 因为=2(t)+4t+3,所以,当t0时,4t+3,所以第t s末的瞬时速度v(t)=4t+3.精要点评抓住导数的定义v(t)=h(t)是解决第(2)小题的关键.神舟飞船发射后
2、的一段时间内,第t s时的高度h(t)=5t3+30t2+45t+4,其中h的单位为m,t的单位是s.(1) 求第1 s内的平均速度;(2) 求第t s末的瞬时速度v(t).解答(1) =80(m/s).(2) v(t)=h(t)=15t2+60t+45.已知曲线C:y=x3,求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程.思维引导曲线在点(1,a)处的切线的斜率就是x=1时的导数值,再由切线经过点(1,f(1)就可以求出切线方程.解答y=3x2,所以所求切线的斜率k=3.所以切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.精要点评利用导数的概念进行求导时,要熟悉求导的法则和公式,对于常用的导数计算要
3、熟悉有关的技巧.用定义求函数y=2x3-x-1在x=1处的导数.解答=2x2+6x+5,当x0时,5,所以函数在x=1处的导数为5.导数的几何意义(2014江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b=.答案-3解析因为曲线y=ax2+过点P(2,-5),所以4a+=-5,又y=2ax-,所以4a-=-,由解得所以a+b=-3.【题组强化重点突破】1. (2014江西卷)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.答案(-ln2,2)解析设切点P(a,b),则由
4、y=-e-x,得k=-e-a=-2,e-a=2,所以a=-ln2,b=e-a=2,所以点P的坐标是(-ln2,2).2. 若曲线y=kx+lnx在点(1,k)处的切线平行于x轴,则实数k=.答案-13. 已知曲线y=x3+,那么该曲线过点(2,4)的切线方程为.答案x-y+2=0或4x-y-4=0解析设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点A,则切线的斜率k=y|=.所以切线方程为y-=(x-x0),即y=x-+.因为点P(2,4)在切线上,所以4=2-+,即-3+4=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.4. (2014安庆模拟)若曲线f(
5、x)=x-2在点(a,a-2)(a0)处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为3,则loga=.答案2解析f(x)=-2x-3,所以f(x)在点(a,a-2)处的切线方程为y-a-2=-2a-3(x-a).令x=0,得y=3a-2,令y=0,得x=.所以切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为3a-2|a|=3,解得a=(舍去负值),所以loa=2.5. 已知函数f(x)=ln-ax2+x(a0).若f(1)=f(2),求f(x)的图象在x=1处的切线的方程.解答f(x)=-,因为f(1)=f(2),所以-2a=-,解得a=,所以f(x)=-lnx-x2+x,所以f(1)=,f(1)=-,所以f(
6、x)的图象在x=1处的切线的方程为y-=-(x-1),即2x+4y-5=0.已知函数f(x)=x3+3ax2+(3-6a)x+12a-4(aR).(1) 求证:曲线y=f(x)在x=0处的切线过点(2,2);(2) 若函数f(x)在x=x0处取得最小值,x0(1,3),求实数a的取值范围.规范答题(1) f(x)=3x2+6ax+3-6a.(2分)由f(0)=12a-4,f(0)=3-6a,得曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=(3-6a)x+12a-4.当x=2时,y=2.由此知曲线y=f(x)在x=0处的切线过点(2,2).(6分)(2) 由f(x)=0,得x2+2ax+1-2a=0
7、.当0,即-1a-1时,f(x)没有极小值; (8分)当0,即a-1或a-1时,由f(x)=0,得x1=-a-,x2=-a+,故x0=x2.由题设知1-a+-1时,不等式1-a+3无解;当a-1时,解不等式1-a+3,得-a-1.综合得,a的取值范围是. (14分)1. (2014江师大附中)设函数f(x)=ax+(a,bR),若f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为1,则b=.(用a表示)答案a-1解析f(x)=a-,依题意有f(1)=1,即a-b=1b=a-1.2. (2014全国卷)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=.答案3解析因为y=a-,所以切线的斜率为a-1=2,则a=3.3. 若曲线y=ax2-lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴,则实数a=.答案4. (2014邯郸模拟)已知函数f(x)=ax2-x+2ln(x+1),那么函数f(x)的图象在点(0,f(0)处的切线方程为.答案y=x解析f(0)=0,所以切点为(0,0).因为f(x)=2ax-+,所以f(0)=-+2=,所以所求切线方程为y=x.温馨提醒趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习(第31-32页).