1、第11课时导数的概念与运算一、 填空题1. 设yx2ex，则y_答案：(2xx2)ex解析：y2xexx2ex(2xx2)ex.2. 若函数f(x)，则f(2)_答案：解析： f(x)， f(2).3. 设曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，则a_答案：1解析：y2ax，点(1，a)在曲线yax2上，依题意得ky|x12a2，解得a1.4. 曲线yxcos x在点处的切线方程为_答案：2xy0解析：ky(1sin x)|x2，切线过点，切线方程为y2，即2xy0.5. 设f(x)aexbln x，且f(1)e，f(1)，则实数ab_答案：1解析：因为f(x)aex，由已知得
2、解得所以ab1.6. 曲线ye2x1在点(0，2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为_答案：解析：y|x0(2e2x)|x02，故曲线ye2x1在点(0，2)处的切线方程为y2x2，易得切线与直线y0和yx的交点坐标分别为(1，0)和，故围成的三角形的面积为1.7. 设函数f(x)g(x)x2，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为_答案：4解析： 曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1， g(1)k2.又f(x)g(x)2x， f(1)g(1)24，故切线的斜率为4.8. 曲线y在点M处的切线的斜率为
3、_答案：解析：y，所以y|x.9. 已知f(x)ln xx2bxc.若函数f(x)在x3处的切线与直线3x7y20垂直，且f(1)0，则bc_答案：1解析：f(x)2xb，f(3)6b， b8.又f(1)018c0， c7. bc1.二、 解答题10. 已知曲线C1：yx2与C2：y(x2)2.直线l与C1，C2都相切，求直线l的方程 解：设l与C1相切于点P(x1，x)，与C2相切于点Q(x2，(x22)2)对C1：y2x，则与C1相切于点P的切线方程为yx2x1(xx1)，即y2x1xx.对C2：y2(x2)，则与C2相切于点Q的切线方程为y(x22)22(x22)(xx2)，即y2(x2
4、2)xx4. 两切线重合， 解得或 直线方程为y0或y4x4.11. 已知曲线C：yx3. (1) 求曲线C在点P(2，4)处的切线方程；(2) 求曲线C的斜率为4的切线方程 解：(1) 点P(2，4)在曲线yx3上，且yx2， 在点P(2，4)处的切线的斜率为k4. 曲线在点P(2，4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(2) 设切点为(x0，y0)，则x4，x02. 切点为(2，4)，.切线方程为y44(x2)和y4(x2)，即4xy40和12x3y200.12. 已知抛物线C：yx2x4，过原点O作C的切线ykx，使切点P在第一象限(1) 求k的值；(2) 过点P作切线的垂线，
5、求它与抛物线的另一个交点Q的坐标解：(1) 设点P的坐标为(x1，y1)，则y1kx1，y1xx14，代入，得xx140. P为切点， 160，得k或k.当k时，x12，y117.当k时，x12，y11. P在第一象限， 所求的斜率k为.(2) 过P点作切线的垂线，其方程为y2x5.将代入抛物线方程得x2x90.设Q点的坐标为(x2，y2)，则2x29， x2，y24. Q点的坐标为.13. 已知函数f(x)x32x23x(xR)的图象为曲线C.(1) 求过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围(2) 若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围(3) 试问
6、：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？若存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，请说明理由解：(1) f(x)x24x3，则f(x)(x2)211，即过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围是1，)(2) 由(1)可知解得1k0或k1.由1x24x30或x24x31，得x(，2(1，3)2，)(3) 不存在理由：设存在过点A(x1，y1)的切线与曲线C同时切于两点，另一切点为B(x2，y2)，x1x2，则过点A(x1，y1)的切线方程是y(x4x13)(xx1)，化简得y(x4x13)x.而过点B(x2，y2)的切线方程是y(x4x23)x，由于两切线是同一直线，则有x4x13x4x23，得x1x24.又由x2xx2x，即(x1x2)(xx1x2x)2(x1x2)(x1x2)0，(xx1x2x)40，即x1(x1x2)x120，即(4x2)4x120，x4x240，得x22，但当x22时，由x1x24得x12，这与x1x2矛盾所以不存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点