1、第6课时离散型随机变量的均值与方差一、 填空题1. 设X是一个离散型随机变量，其概率分布列如下表：X101P0.51q2则q_答案：解析： 随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1， 解得q或1，而把q1代入不合题意，舍去， q.2. 设随机变量X的分布列为P(Xk)(k2，4，6，8，10)，则V(X)_答案：8解析： E(X)(246810)6， V(X)(4)2(2)20222428.3. 某老师从课本上抄录一个随机变量X的分布列如下表：X123P？！？请小牛同学计算x的数学期望尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同据此
2、，小牛给出了正确答案E(X)_答案：2解析：设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为12x，则E(X)1x2(12x)3xx24x3x2.4. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是_答案：解析：由题意知，试验成功的概率p，故XB，所以E(X)2.5. 若离散型随机变量X的分布列如下表：X01P则X的数学期望E(X)_答案： 解析： 分布列中概率和为1， 1，即a2a20，解得a2(舍去)或a1， E(X).6. 已知随机变量X服从二项分布XB(n，p)若E(X)30，V(X)20，则p_答案：解析：依题可得E(X)np30且
3、V(X)np(1p)20，解得p.7. 抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为_答案： 解析：抛掷两枚骰子，当两枚骰子不出现5点和6点时的概率为，所以至少有一次出现5点或6点的概率为1，用X表示10次试验中成功的次数，则随机变量X满足二项分布XB，E(X)10.8. 设整数m是从不等式x22x80的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量Xm2，则x的数学期望E(X)_答案：5解析：由不等式x22x80，得2x4， S2，1，0，1，2，3，4， X0，1，4，9，16，其分布列为X014916P E(X)0149165.9. 一
4、个人将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了设放对个数记为X，则X的数学期望为_答案：1解析：将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有A种不同放法，放对的个数X可取的值有0，1，2，4，其中P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X4)，E(X)01241.二、 解答题10. 某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间安排生活趣味数学和校园舞蹈赏析两场讲座已知A，B两学习小组各有5位同学，每位同学在两场讲座中任意选听一场A组1人选听生活趣味数学，其余4人选听校园舞蹈赏析；B组2人
5、选听生活趣味数学，其余3人选听校园舞蹈赏析(1) 若从此10人中任意选出3人，求选出的3人中恰有2人选听校园舞蹈赏析的概率；(2) 若从A，B两组中各任选2人，设X为选出的4人中选听生活趣味数学的人数，求X的分布列和数学期望E(X)解：(1) 设“选出的3人中恰有2人选听校园舞蹈赏析”为事件M，则P(M).所以选出的3人中恰有2人选听校园舞蹈赏析的概率为.(2) X可能的取值为0，1，2，3，P(X0)，P(X1)，P(X3)，故P(X2)1P(X0)P(X1)P(X3).所以X的分布列为 X 0123 P所以X的数学期望E(X)0123.11. 甲、乙、丙三名同学参加歌唱、围棋、舞蹈、阅读、
6、游泳5个课外活动，每个同学彼此独立地选择参加3个活动，其中甲同学喜欢唱歌但不喜欢下棋，所以必选歌唱，不选围棋，另在舞蹈、阅读、游泳中随机选2个，同学乙和丙从5个课外活动中任选3个(1) 求甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率；(2) 设X表示选中舞蹈的同学人数，求X的分布列及数学期望解：(1) 设A表示事件“甲同学选中舞蹈”，B表示事件“乙同学选中舞蹈”，C表示事件“丙同学选中舞蹈”，则P(A)，P(B)，P(C). 事件A，B，C相互独立， 甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率为P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(A)1P(B)1P(C).(2) X可能的取值为0，1
7、，2，3，且取这些值的概率分别为P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)， X的分布列为X0123P X的数学期望E(X)0123.12. 某同学参加3门课程的考试假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(pq)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立记X为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为X0123Pab(1) 求该同学至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(2) 求p，q的值；(3) 求数学期望E(X)解：设事件Ai表示“该同学第i门课程取得优秀成绩”，i1，2，3，由题意知P(A1)，P(A2)p，P(A3)q.(1) 由于事件“该同学至少
8、有1门课程取得优秀成绩”与事件“X0”是对立的，所以该同学至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1P(X0)1.(2) 由题意知，P(X0)P(A1A2A3)(1p)(1q)，P(X3)P(A1A2A3)pq，整理得pq，pq1，由pq，可得p，q.(3) 由题意知，aP(X1)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)(1p)(1q)p(1q)(1p)q，bP(X2)1P(X0)P(X1)P(X3)，E(X)0P(X0)1P(X1)2P(X2)3P(X3).13. (2017山东卷)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分
9、成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示(1) 求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率(2) 用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者的人数，求X的分布列与数学期望E(X)解：(1) 记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M).(2) 由题意知X可取的值为0，1，2，3，4.则P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，因此X的分布列为X01234PX的数学期望是E(X)0P(X0)1P(X1)2P(X2)3P(X3)4P(X4)012342.