1、广州市第八十六中学高二下期中数学试题(理科）（命题人 ，满分150分。考试用时120分钟）注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。3.不允许使用任何计算器.4. 参考公式：一、选择题(本大题共8题,每小题5分,共40分。在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的)1复数的虚部是 12对于非零向量，“”是“”成立的 充分不必要条件 必要不充分条件充分
2、必要条件 既不充分也不必要条件3. 某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B、C、D中选择，其他四个号码可以从0到9这十个数字中选择（数字可以重复），某车主第一个号码（从左到右）只想在数字3、5、6、8、9中选择，其他号码只想在1、3、6、9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有A180种 B360种 C720种 D960种4已知双曲线的右焦点与抛物线焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是 5已知是两条直线，是两个平面，给出下列命题：若，则；若平面上有不共线的三点到平面的距离相等，则；若为异面直线，则其中正确命题的个数是 个 个 个 个6在平面直角坐标系中，矩形，将矩
3、形折叠，使点落在线段上，设折痕所在直线的斜率为，则的取值范围为 7已知等比数列中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且，公比，则等于 8定义在R上的函数满足的导函数，已知的图象如图所示，若两个正数满足的取值范围是 （ ）ABCD二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）9函数的定义域为 10某市做了一次关于“手机垃圾短信”的调查，在A、B、C、D四个单位回收的问卷数依次成等差数列，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为100的样本，若在B单位抽取20份问卷，则在D单位抽取的问卷份数是 11在2011年某大学的小语种提前招生考试中，某中学共获得了5个推荐名额，其中俄语2名，日语2名
4、，西班牙语1名，并且日语和俄语都要求必须有男生参加考试。学校通过选拔定下3男2女五个推荐对象，则不同的推荐方案共有_.12的展开式中的系数为，则实数的值为 13 14. 如图，第个图形是由正边形“扩展”而来，则第个图形中共有 个顶点（相临两条边的交点即为顶点）三、解答题(本大题共6小题, 共80分) 15（12分）在平面直角坐标系下，已知，（1）求的表达式和最小正周期；（2）当时，求的值域。第16题图16（14分）已知斜三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面所成角为，点在底面上的射影落在上（1）求证：平面；（2）若，且当时，求二面角的大小。17（12分）已知函数（1）若，试确定函数的单调区间；（
5、2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；18（14分）已知椭圆的一个顶点为，且焦点在轴上。若右焦点到直线的距离为3（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆相交于不同的两点当时，求的取值范围19（14分）已知数列中，（为常数），是的前项和，且是与的等差中项。（1）求； （2）猜想的表达式，并用数学归纳法加以证明。20（14分）已知函数定义在区间上，且。又、是其图像上任意两点。（1） 求证：的图像关于点成中心对称图形；（2） 设直线的斜率为，求证：；（3） 若，求证：。广州市第八十六中学高二下期中数学试题(理科）答案题号12345678答案ABDDBDAC1【解析】，复数的虚部是。故选
6、A。2【解析】由，可得，即得，但，不一定有，所以“”是“”成立的必要不充分条件。故选B。4【解析】焦点是，双曲线的半焦距，又虚半轴又，双曲线渐近线的方程是。故选。5【解析】显然正确；三点在平面的异侧，则相交；正确。故选。6【解析】当落在时折痕所在直线的斜率为；当落在时折痕所在直线的斜率为。故选。7【解析】设公差为，解得，。故选。题号91011121314答案40243； 9【解析】。12【解析】因为，。13【解析】画（）图象，求面积。答案：3.15解：（1）， 1分, 6分的最小正周期为, 8分（2）所以函数的值域是. 12分16解：（1）点在底面上的射影落在上，平面，平面，又，平面 4分（2
7、）以为原点，为x轴，为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，显然，平面的法向量 7分设平面的法向量为， 由，即， 12分 ， 二面角的大小是 14分17解：（1）由得，所以由得，的单调递增区间是；由得，的单调递减区间是 5分（2）由可知是偶函数于是对任意恒成立，等价于对任意恒成立当时，恒成立；当时，由得，设，则由得当时，是递减函数；当时，是递增函数；，综合上可得，实数的取值范围是 12分18解：（1）依题意可设椭圆方程为 ，则右焦点，由题设，解得， 4分故所求椭圆的方程为。 5分（1） 设，P为弦MN的中点，由 得 ，直线与椭圆相交， ， 8分，从而， ，又，则： ，即 ， 10分把代入得 ，解得 ， 12分 由得，解得 13分综上求得的取值范围是 14分19解：（1）根据题意 1分当n=2时， 3当n=3时， 5分(2) 猜想 7分 下面用数学归纳法证明以上猜想。 证明: 当n= 1 时猜想显然成立。 8分 假设假设成立，即因为 又因 得： 从而 即n=k+1时，猜想也成立。 12分 根据 知，都成立。 14分20（1）得。（1分）的图像可由的图像向上（或下）平移（或）个单位二得到。 （3分）又是奇函数，其图像关于原点成中心对称图形，的图像关于点成中心对称图形。 5分（2）点、在的图像上，。7分又、，从而 11分（3），且， 又 +得，故 14分