1、2014-2015学年江苏省盐城市东台市创新学校高二（下）4月月考数学试卷（文科）一、填充题（每题5分，计70分）1已知集合A=1，0，1，B=0，1，2，3，则AB=2函数f（x）=log2（x26）的定义域为32lg4+lg=4函数（常数Z）为偶函数，且在（0，+）上是单调递减函数，则的值为5函数的最小正周期为6设，则f（f（2）=7曲线y=xcosx在点（，）处的切线方程为8已知函数f（x）的定义域为R，则“f（0）=0是函数为奇函数”的条件9函数取得最小值时x的集合是10若函数f（x）=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限则函数f（x）的图象是下列四幅中的（只填序号）11已知=12要得
2、到函数的图象，只需将函数y=3sin2x的图象得到13定义在实数集R上的偶函数f（x），在区间0，+）上满足f（x）0恒成立，若f（1）f（lgx）则x的取值范围是14设函数f（x）=ax33x+1（xR），若对于任意的x1，1都有f（x）0成立，则实数a的值为二、解答题（本大题共6小题，共90分）15（14分）（2015春东台市校级月考）（1）设函数y=Asin（x+）（A0，0，|）最高点D的坐标为（2，）由最高点运动到相邻的最低点时，函数曲线与x轴的交点为（6，0）求A，和的值；（2）当时，求函数f（x）=sin2x+cos2x的值域16（14分）（2015鹿城区校级模拟）已知函数f（x
3、）=loga（x+1）loga（1x），a0且a1（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）当a1时，求使f（x）0的x的取值范围17（15分）（2015春东台市校级月考）已知函数（1）求的值；（2）求的值；（2）设，求的值18（15分）（2011南京一模）如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最
4、大？并求最大面积19（16分）（2010韶关模拟）设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值（）求a、b的值；（）若对任意的x0，3，都有f（x）c2成立，求c的取值范围20（16分）（2015扬州二模）设aR，函数f（x）=x|xa|a（1）若f（x）为奇函数，求a的值；（2）若对任意的x2，3，f（x）0恒成立，求a的取值范围；（3）当a4时，求函数y=f（f（x）+a）零点的个数2014-2015学年江苏省盐城市东台市创新学校高二（下）4月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填充题（每题5分，计70分）1已知集合A=1，0，1，B=0，1，2，3，则A
5、B=0，1考点： 交集及其运算 专题： 集合分析： 由A与B，求出两集合的交集即可解答： 解：A=1，0，1，B=0，1，2，3，AB=0，1故答案为：0，1点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2函数f（x）=log2（x26）的定义域为（，）（，+）考点： 对数函数的定义域 专题： 函数的性质及应用分析： 根据函数f（x）的解析式中，对数的真数大于0，列出不等式，求出解集即可解答： 解：函数f（x）=log2（x26），x260，解得x或x；f（x）的定义域为（，）（，+）故答案为：（，）（，+）点评： 本题考查了求对数函数的定义域的应用问题，是基础题目32lg4
6、+lg=1考点： 对数的运算性质 专题： 函数的性质及应用分析： 利用对数的运算性质即可得出；解答： 解：原式=lg10=1，故答案为：1点评： 本题考查了对数的运算性质，属于基础题4函数（常数Z）为偶函数，且在（0，+）上是单调递减函数，则的值为1考点： 奇偶性与单调性的综合 专题： 计算题分析： 根据幂函数的性质，要使得函数为偶函数，且在（0，+）上是单调递减函数，则223为偶数，且2230，结合Z 进行求解即可解答： 解：根据幂函数的性质，要使得函数为偶函数，且在（0，+）上是单调递减函数则223为偶数，且2230解不等式可得，13Z=0，1，2当=0时，223=3不满足条件=1时，22
7、3=4满足条件=2时，223=3不满足条件故答案为：1点评： 本题主要考查了幂函数的性质：函数y=x，为偶函数且在（0，+）单调递减的条件是为偶数，且0，这是解决此题的关键5函数的最小正周期为2考点： 三角函数的周期性及其求法 专题： 三角函数的图像与性质分析： 由条件利用二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得函数的最小正周期解答： 解：函数=sinx，函数f（x）的最小正周期为 =2，故答案为：2点评： 本题主要考查二倍角的正弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题6设，则f（f（2）=4考点： 函数的值 专题： 计算题分析： 因为f（2）=（2）2=4，再将f（2）=4代
8、入ff（2）即可得到答案解答： 解：f（2）=（2）2=4，再将f（2）=4代入ff（2）f（f（2）=4故答案为：4点评： 本题主要考查已知函数解析式求函数值的问题这里将已知值代入即可得到答案7曲线y=xcosx在点（，）处的切线方程为2xy=0考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程 专题： 计算题；导数的概念及应用；直线与圆分析： 求出函数的导数，求得切线的斜率，再由点斜式方程即可得到所求切线方程解答： 解：y=xcosx的导数为y=1+sinx，即有在点（，）处的切线斜率为k=1+sin=2，则曲线在点（，）处的切线方程为y=2（x），即为2xy=0故答案为：2xy=0点评： 本题考查导
9、数的运用：求切线方程，掌握导数的几何意义和运用点斜式方程是解题的关键8已知函数f（x）的定义域为R，则“f（0）=0是函数为奇函数”的必要不充分条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题： 简易逻辑分析： 根据充分条件和必要条件的定义结合奇函数的性质进行判断即可解答： 解：已知函数f（x）的定义域为R，则函数f（x）=|x|满足f（0）=0，但f（x）为偶函数，不是奇函数，故充分性不成立，若f（x）则奇函数，则满足f（x）=f（x），则当x=0时，有f（0）=f（0），即f（0）=0，必要性成立，故f（0）=0是函数为奇函数的必要不充分条件，故答案为：必要不充分点评： 本题主要考查充
10、分条件和必要条件的判断，根据奇函数的性质是解决本题的关键9函数取得最小值时x的集合是x|x=4k，kZ考点： 正弦函数的图象 专题： 三角函数的图像与性质分析： 由条件利用正弦函数的最小值，求得函数取得最小值时x的集合解答： 解：对于函数，当x=2k，kZ时，即x=4k，kZ时，函数y取得最小值为2，故答案为：x|x=4k，kZ点评： 本题主要考查正弦函数的最小值，属于基础题10若函数f（x）=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限则函数f（x）的图象是下列四幅中的（只填序号）考点： 导数的运算；二次函数的性质 专题： 函数的性质及应用；导数的概念及应用分析： 先根据二次函数的判断出a，b的符号
11、，再求导，根据一次函数的性质判断所经过的象限即可解答： 解：函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向上且顶点在第四象限，a0，0，b0，f（x）=2ax+b，函数f（x）的图象经过一，三，四象限，符合，故答案为：点评： 本题考查了导数的运算和一次函数，二次函数的图象和性质，属于基础题11已知=考点： 同角三角函数基本关系的运用 分析： 将1=sin2+cos2代入，分子分母同时除以cos2可得到关于tan的关系式，即可得到答案解答： 解：=又tan=原式=故答案为：点评： 本题主要考查同角三角三角函数的基本关系注意形式的转化12要得到函数的图象，只需将函数y=3sin2x的图象向左平移个单位
12、得到考点： 函数y=Asin（x+）的图象变换 专题： 三角函数的图像与性质分析： 由条件利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，可得结论解答： 解：将函数y=3sin2x的图象向左平移个单位，可得函数的图象，故答案为：向左平移个单位点评： 本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题13定义在实数集R上的偶函数f（x），在区间0，+）上满足f（x）0恒成立，若f（1）f（lgx）则x的取值范围是x|0x或x10考点： 函数奇偶性的性质；利用导数研究函数的单调性 专题： 函数的性质及应用分析： 根据函数的奇偶性和单调性，根据f（1）f（lgx）建立不等式组求得x的范围解答
13、： 解：在区间0，+）上满足f（x）0恒成立，函数f（x）为增函数，根据偶函数的性质可知f（x）在区间（，0）单调减，f（1）f（lgx）有|1|lgx|，即lgx1或lgx1，解得x10，或0x；故答案为：x|0x或x10点评： 本题主要考查了函数奇偶性的性质，利用导数研究函数的单调性，绝对值不等式的解法，难度不大属于中档题14设函数f（x）=ax33x+1（xR），若对于任意的x1，1都有f（x）0成立，则实数a的值为4考点： 利用导数求闭区间上函数的最值 专题： 计算题分析： 先求出f（x）=0时x的值，进而讨论函数的增减性得到f（x）的最小值，对于任意的x1，1都有f（x）0成立，可转
14、化为最小值大于等于0即可求出a的范围解答： 解：由题意，f（x）=3ax23，当a0时3ax230，函数是减函数，f（0）=1，只需f（1）0即可，解得a2，与已知矛盾，当a0时，令f（x）=3ax23=0解得x=，当x时，f（x）0，f（x）为递增函数，当x时，f（x）0，f（x）为递减函数，当x时，f（x）为递增函数所以f（ ）0，且f（1）0，且f（1）0即可由f（ ）0，即a3+10，解得a4，由f（1）0，可得a4，由f（1）0解得2a4，综上a=4为所求故答案为：4点评： 本题以函数为载体，考查学生解决函数恒成立的能力，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题二、解答题（本大题共6小
15、题，共90分）15（14分）（2015春东台市校级月考）（1）设函数y=Asin（x+）（A0，0，|）最高点D的坐标为（2，）由最高点运动到相邻的最低点时，函数曲线与x轴的交点为（6，0）求A，和的值；（2）当时，求函数f（x）=sin2x+cos2x的值域考点： 由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象；y=Asin（x+）中参数的物理意义 专题： 计算题；三角函数的图像与性质分析： （1）利用函数的最高点求出A，求出函数的周期，即可求，利用最高点结合的范围求出它的值；（2）利用两角和的正弦函数公式化简可得解析式f（x）=2sin（2x+），由，可得：2x+（，），从而
16、解得f（x）（，2解答： （本小题满分10分）解：（1）由题意最高点D（2，）可得：A=由题意=62=4，T=16，T=，=f（x）=sin（+），函数图象过最高点D（2，），2+=2k+，可得：=2k+，kZ，结合范围：|，可解得：=综上，A=，=，=（2）f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），可得：2x+（，），sin（2x+）（，1，解得：f（x）=2sin（2x+）（，2点评： 本题主要考查了由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，y=Asin（x+）中参数的物理意义，正弦函数的图象和性质，属于基础题16（14分）（2015鹿城区校级模拟）已知函数f（x）=log
17、a（x+1）loga（1x），a0且a1（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）当a1时，求使f（x）0的x的取值范围考点： 函数奇偶性的判断；对数的运算性质；对数函数的定义域；对数函数的单调性与特殊点 专题： 计算题分析： （1）根据对数的性质可知真数大于零，进而确定x的范围，求得函数的定义域（2）利用函数解析式可求得f（x）=f（x），进而判断出函数为奇函数（3）根据当a1时，f（x）在定义域x|1x1内是增函数，可推断出f（x）0，进而可知进而求得x的范围解答： 解：（1）f（x）=loga（x+1）loga（1x），则解得1x1故所求定义域为x|1x1（2
18、）f（x）为奇函数由（1）知f（x）的定义域为x|1x1，且f（x）=loga（x+1）loga（1+x）=loga（x+1）loga（1x）=f（x），故f（x）为奇函数（3）因为当a1时，f（x）在定义域x|1x1内是增函数，所以解得0x1所以使f（x）0的x的取值范围是x|0x1点评： 本题主要考查了函数的定义域，奇偶性的判断和单调性的应用要求考生对函数的基本性质熟练掌握17（15分）（2015春东台市校级月考）已知函数（1）求的值；（2）求的值；（2）设，求的值考点： 正弦函数的图象 专题： 三角函数的求值分析： （1）把x=代入函数f（x）的解析式中，进行求解即可（2）利用诱导公式化
19、简函数的表达式，然后利用二倍角公式化简求值即可（3）分别把x=3+和x=3+2代入f（x）的解析式中，化简后利用诱导公式即可求出sin和cos的值，利用两角和差的余弦公式以及倍角公式进行求解解答： 解：（1）把x=代入函数解析式得：f（）=2sin（）=2sin=；（2）=8sin（）sin（）sin（）=8sinsin sin=8coscoscos=8coscoscos=coscoscos=（4sincoscos）=（2sincos）=1（3）由f（3+）=，f（3+2）=，代入得：2sin（3+）=2sin=，2sin（3+2）=2sin（+）=2cos=则sin=，cos=，又，0，则c
20、os=，sin=，0，则cos（+）=coscossinsin=0，cos0，1，则cos（+）=2cos21=则cos2=，则cos=点评： 本题主要考查三角函数值的求解，灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值是解决本题的关键18（15分）（2011南京一模）如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大
21、面积考点： 函数模型的选择与应用 专题： 应用题分析： （1）【方法一】连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；则S=ABBC=2x=2，由基本不等式可得S的最大值以及对应的x的取值；【方法二】连接OC，设BOC=，矩形ABCD的面积为S，则S=ABBC=2OBBC=900sin2，由三角函数的知识，得出S的最大值以及对应BC的值（2）【方法一】设圆柱底面半径为r，高为x，体积为V，由AB=2r，得r，所以V=r2h=（900xx3）；利用求导法，可得x=10时，V取最大值，为；【方法二】连接OC，设BOC=，圆柱底面半径为r，高为h，体积为V，则圆柱的底面半径为r=，高h=30sin，
22、所以V=r2h=cos2=（sinsin3），用换元法，令t=sin，则V=（tt3），再由求导法，得t=时，此时BC=10cm时，V取得最大值即可解答： 解：如图所示，（1）【方法一】连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；则AB=2（其中0x30），S=2x=2x2+（900x2）=900，当且仅当x2=900x2，即x=15时，S取最大值900；所以，取BC=cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900cm2【方法二】连接OC，设BOC=，矩形ABCD的 面积为S，则BC=30sin，OB=30cos（其中0）；S=ABBC=2OBBC=900sin2，且当sin2=1，即=时，
23、S取最大值为900，此时BC=15；所以，取BC=15时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900cm2（2）【方法一】设圆柱底面半径为r，高为x，体积为V，由AB=2=2r，得r=，V=r2h=（900xx3），（其中0x30）；由V=（9003x2）=0，得x=10；因此V=（900xx3）在上是增函数，在（10，30）上是减函数；当x=10时，V的最大值为，即取BC=10cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为cm3【方法二】连接OC，设BOC=，圆柱底面半径为r，高为h，体积为V，则圆柱的底面半径为r=，高h=30sin，（其中0），所以V=r2h=cos2=（sinsin3），设t=
24、sin，则V=（tt3），由V=（13t2）=0，得t=，因此V=（tt3）在（0，）上是增函数，在（，1）上是减函数；所以，当t=时，即sin=，此时BC=10cm时，V有最大值，为cm3点评： 本题综合考查了二次函数，三次函数的最值问题，这里应用了基本不等式，以及求导数的方法求出了函数的最值19（16分）（2010韶关模拟）设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值（）求a、b的值；（）若对任意的x0，3，都有f（x）c2成立，求c的取值范围考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值 专题： 计算题；分类讨论分析： （1）依题意有，f（1）=
25、0，f（2）=0求解即可（2）若对任意的x0，3，都有f（x）c2成立f（x）maxc2在区间0，3上成立，根据导数求出函数在0，3上的最大值，进一步求c的取值范围解答： 解：（）f（x）=6x2+6ax+3b，因为函数f（x）在x=1及x=2取得极值，则有f（1）=0，f（2）=0即解得a=3，b=4（）由（）可知，f（x）=2x39x2+12x+8c，f（x）=6x218x+12=6（x1）（x2）当x（0，1）时，f（x）0；当x（1，2）时，f（x）0；当x（2，3）时，f（x）0所以，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c则当x0，3时
26、，f（x）的最大值为f（3）=9+8c因为对于任意的x0，3，有f（x）c2恒成立，所以9+8cc2，解得c1或c9，因此c的取值范围为（，1）（9，+）点评： 本题考查了导数的应用：函数在某点存在极值的性质，函数恒成立问题，而函数f（x）c2在区间a，b上恒成立与存在xa，b，使得f（x）c2是不同的问题f（x）maxc2，f（x）minc2，在解题时要准确判断是“恒成立”问题还是“存在”问题在解题时还要体会“转化思想”及“方程与函数不等式”的思想的应用20（16分）（2015扬州二模）设aR，函数f（x）=x|xa|a（1）若f（x）为奇函数，求a的值；（2）若对任意的x2，3，f（x）0
27、恒成立，求a的取值范围；（3）当a4时，求函数y=f（f（x）+a）零点的个数考点： 函数奇偶性的性质；函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断 专题： 函数的性质及应用分析： （1）根据f（0）=0即可求出a；（2）讨论a的取值：a2，2a3，a3，三种情况，求出每种情况下的f（x）的最小值，让最小值大于等于0从而求出a的取值范围；（3）代入f（x），原函数变成y=f（x|xa|），这时候换元t=x|xa|，y=t|ta|a然后画出函数t=x|xa|和函数y=t|ta|a的图象，通过图象找出有几个t使得y=t|ta|a=0，并找出对应的x的个数，从而找到原函数的零点个数解答： 解：（1）f（
28、x）在原点有定义，f（x）为奇函数；f（0）=a=0；a=0；（2）f（x）=x|xa|a；若a2，则x=2时，f（x）在2，3上取得最小值f（2）=2（2a）a=43a；43a0，a；若2a3，则x=a时，f（x）取得最小值f（a）=a；a0，不满足f（x）0；即这种情况不存在；若a3，则x=3时，f（x）取得最小值f（3）=3（a3）a=2a9；2a90，a；综上得a的取值范围为（，+）；（3）f（x）+a=x|xa|，令x|xa|=t；y=t|ta|a；下面作出函数t=x|xa|=和函数y=t|ta|a=的图象：函数y=t|ta|a的图象可以认为由函数y=t|ta|的图象向下平移a个单位
29、得到；显然函数y=t|ta|a的左边两个零点t=t1，t=t2都在（0，a）区间上，而通过t=x|xa|的图象可看出：，；t1，t2分别有三个x和它对应；这时原函数有6个零点；由t（ta）a=t2taa=0可以解出；显然；而（a22a）24（a2+4a）=aa2（a4）16；显然a2（a4）16可能大于0，可能等于0，可能小于0；t3可能和它对应的x个数为3，2，1；此时原函数零点个数为3，2，或1；原函数的零点个数为9个，8个，或7个点评： 考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时f（0）=0，函数零点的定义，含绝对值函数求最值的方法：观察解析式的方法，以及画出分段函数的图象，以及根据图象求函数零点个数的方法
