1、第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.3函数的最大(小)值与导数课时跟踪检测一、选择题1函数f(x)x312x1在闭区间3,0上的最大值和最小值分别是()A1，1 B1，17C17,1 D9，19解析：由f(x)3x2120，得x2或x2.又f(3)2736110，f(2)824117，f(0)1，最大值为17，最小值为1.故选C.答案：C2函数y2x33x212x5在区间0,3上的最大值与最小值分别是()A5，4 B5，15C5，16 D4，15解析：由已知得y6x26x126(x1)(x2)，令y0，得x1或x2.又x0,3x2.f(0)5，f(2)15，f(3)4.最大值
2、为5，最小值为15.故选B.答案：B3对于函数f(x)exx在区间1,2上的最值，下列描述正确的是()A最小值为e1，没有最大值B最大值为e22，没有最小值C既没有最大值，也没有最小值D最小值为e1，最大值为e22解析：解法一：f(x)exx在闭区间1,2上有定义，f(x)在区间1,2上必存在最小值和最大值，故选D.解法二：f(x)ex1，当x1,2时，f(x)0恒成立，f(x)在1,2上为增函数，故存在最小值f(1)e1，最大值f(2)e22.故选D.答案：D4使函数f(x)x2cos x在上取最大值的x为()A0 BC. D解析：f(x)x2cos x，f(x)12sin x.令f(x)0
3、，得sin x.又x，x.又f(0)2，f，f，函数f(x)在上的最大值为，此时x.故选B.答案：B5已知函数f(x)x3ax2bxc，x2,2表示的曲线过原点，且在x1处的切线斜率均为1，有以下命题：f(x)的解析式为：f(x)x34x，x2,2；f(x)的极值点有且仅有一个；f(x)的最大值与最小值之和等于零其中正确的命题个数为()A0 B1C2 D3解析：f(x)3x22axb，由题可得解得f(x)x34x，正确；f(x)3x24，令f(x)0，x，f(x)有两个极值点，错误；f(x)x34x是奇函数，f(x)maxf(x)min0，正确故选C.答案：C6(2019沈阳月考)已知函数f(
4、x)(bR)，m0，n0，使得对于x1，x2(m，n)，且x1x2，都有f(x1)0在上有解，即bx有解，bmax.令yx，则y，当x，y0，又当x2，y；当x时，y，y的最大值为，b0)，令h(t)ln t，则h(t)，令h(t)0，得t.当0t时，h(t)时，h(t)0，则h(t)单调递增，当t时，h(t)有最小值，hln.答案：9若函数f(x)x33xa在区间0,3上的最大值、最小值分别为m，n，则mn_.解析：f(x)x33xa，f(x)3x233(x1)(x1)令f(x)0，得x1(舍去)或x1.又f(0)a，f(1)2a，f(3)18a，最大值m18a，最小值n2a，mn20.答案
5、：20三、解答题10已知函数f(x)x3ax2bx.(1)当b2时，f(x)在1，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)当b3时，f(x)在x处取得极值，求函数f(x)在1，a上的值域解：(1)当b2时，f(x)x3ax22x，f(x)3x22ax2，f(x)在1，)上是增函数，f(x)3x22ax20在区间1，)上恒成立，即2ax3x22，2a3x在区间1，)上恒成立，令g(x)3x，则g(x)30，g(x)在1，)上是单调增函数，2ag(1)1，即a，故实数a的取值范围为.(2)当b3时，f(x)x3ax23x，f(x)3x22ax3，f(x)在x处取得极值，f0，即30，解得a5.f(
6、x)x35x23x，f(x)3x210x3(3x1)(x3)，令f(x)0，得x3或x.f(x)在1,3上为减函数，在3,5上为增函数，又f(1)1，f(5)15，f(3)9，函数f(x)在1,5上的值域为9,1511已知函数f(x)ax23x42ln x(a0)(1)当a时，求函数f(x)在上的最大值；(2)若f(x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围解：(1)当a时，f(x)x23x42ln x，f(x)x3.令f(x)0，得x1或x2.易知，f(x)在区间和(2,3上单调递增，在区间1,2上单调递减又f(1)，f(3)2ln 3，函数f(x)在上的最大值为f(3)2ln 3.(2)f
7、(x)2ax3(x0)，f(x)在其定义域上是单调递增函数，当x(0，)时，f (x)0恒成立，得2ax23x20恒成立a0，且对称轴x0，916a0，即a.实数a的取值范围为.12证明：当x0,1时，xsin xx.证明：设F(x)sin xx，则F(x)cos x，当x，F(x)0，F(x)单调递增；当x，F(x)0，所以当x0,1时，F(x)0，即sin xx.设H(x)sin xx，则H(x)cos x1.当x0,1时，H(x)0，H(x)单调递减，所以H(x)H(0)0，即sin xx，综上，xsin xx，x0,113(2019安平中学月考)已知f(x)(x1)2m，g(x)xex，若x1，x2R，使得f(x1)g(x2)成立，则实数m的取值范围是_解析：若x1，x2R，使得f(x1)g(x2)成立，只需f(x)maxg(x)min，f(x)(x1)2mm，且g(x)(1x)ex，当x1时，g(x)1时，g(x)0，g(x)为增函数，g(x)ming(1)，只需m，即m的取值范围是.答案：