1、2.4.2计算函数零点的二分法学习目标1.能用二分法求出方程的近似解.2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想知识链接现有一款三星手机，目前知道它的价格在5001 000元之间，你能在最短的时间内猜出与它最近的价格吗？(误差不超过20元)，猜价格方案：(1)随机；(2)每次增加20元；(3)每次取价格范围内的中间价，采取哪一种方案好呢？预习导引用二分法求函数零点的一般步骤已知函数yf(x)定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它与零点的误差不超过正数，即使得|xx0|.用二分法求函数零点的一般步骤如下：(1)在D内取一个闭区间a0，b0D，使f(a0)
2、与f(b0)异号，即f(a0)f(b0)0，零点位于区间a0，b0中(2)取区间a0，b0的中点，则此中点对应的横坐标为x0.计算f(x0)和f(a0)并判断：如果f(x0)0，则x0就是f(x)的零点，计算终止；如果f(a0)f(x0)0，则零点位于区间a0，x0中，令a1a0，b1x0；如果f(a0)f(x0)0，则零点位于区间x0，b0中，令a1x0，b1b0.(3)对区间a1，b1，按(2)中的方法，可以得到区间a2，b2，且它的长度是区间a1，b1长度的一半如此反复地二分下去，可以得到一系列有限区间a0，b0，a1，b1，a2，b2，a3，b3，其中每个区间的长度都是它前一个区间长度
3、的一半继续实施上述步骤，函数的零点总位于区间an，bn上，当|anbn|2时，区间an，bn的中点xn(anbn)就是函数yf(x)的近似零点，计算终止这时函数yf(x)的近似零点与真正零点的误差不超过.要点一二分法概念的理解例1下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()答案A解析按定义，f(x)在a，b上是连续的，且f(a)f(b)0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解故选A.规律方法1.准确理解“二分法”的含义二分就是平均分
4、成两部分二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点2“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点跟踪演练1(1)下列函数中，能用二分法求零点的为()(2)用二分法求函数f(x)在区间a，b内的零点时，需要的条件是()f(x)在区间a，b内连续不断；f(a)f(b)0；f(a)f(b)0；f(a)f(b)0.ABC D答案(1)B(2)A解析(1)函数图象连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能使用二分法
5、求解，观察四个函数图象，只有B选项符合(2)由二分法的意义，知选A.要点二用二分法求方程的近似解例2用二分法求方程x2100在区间3.1,3.2上的近似解(误差不超过0.001，即0.001)解设f(x)x210，则f(3.1)0.39，f(3.2)0.24.取a03.1，b03.2，有f(a0)f(b0)0.列表计算：nanbnbnanf(an)f(bn)xn03.100 03.200 00.100 00.390 00.240 03.150 013.150 03.200 00.050 00.077 50.240 03.175 023.150 03.175 00.025 00.077 50.0
6、80 63.162 533.150 03.162 50.012 50.077 50.001 43.156 343.156 33.162 50.006 20.037 80.001 43.159 453.159 43.162 50.003 10.018 20.001 43.161 063.161 03.162 50.001 50.008 10.001 43.161 8由于b6a60.001 50.0022，计算停止，取x63.161 753.162为方程的近似解规律方法给定，用二分法求f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间a，b，验证f(a)f(b)0；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)
7、计算f(c)；若f(c)0，则c就是函数的零点；若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)；若f(a)f(c)0，则令ac(此时零点x0(c，b)(4)重复第(3)步，可得到一系列有限区间，其中每个区间的长度都是它前一个区间长度的一半，当所在区间值小于2时，区间中点就是函数f(x)的近似零点跟踪演练2若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为_(只填序号)(，11,22,33,44,55,66，)x123456f(x)136.12315.5423.93010.67850.667305.678答案1用二分法求函数f(x)x35的零点可以取的
8、初始区间是()A2,1B1,0C0,1 D1,2答案A解析f(2)30，f(1)60，f(2)f(1)0，故可取2,1作为初始区间，用二分法逐次计算2定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)f(b)0，用二分法求x0时，当f0时，则函数f(x)的零点是()A(a，b)外的点BxC区间或内的任意一个实数Dxa或xb答案B解析由二分法的思想，采用二分法得到的零点可能是准确值，也可能是近似值由f0，知选B.3函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)0，f(1.5)0，f(1
9、.25)0，则方程的解所在区间为()A(1.25,1.5) B(1,1.25)C(1.5,2) D不能确定答案A解析由于f(1.25)f(1.5)0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5)4函数f(x)log2x2x1的零点必落在区间()A. B.C. D(1,2)答案C解析f0，f0，f10，f(1)10，f(2)40，函数零点落在区间上5用二分法求方程x32x50在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x02.5，那么下一个有根的区间是_答案(2,2.5)解析f(2)2322510，f(2.5)2.5322.555.6250，下一个有根的区间是(2,2.5)1.二分法就是通过不断地将所选区
10、间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的误差，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点2并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：(1)在区间a，b上连续不断；(2)f(a)f(b)0.上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值一、基础达标1已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为()A4,4 B3,4 C5,4 D4,3答案D解析由图象知函数f(x)与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足f(a)f(b)0，因此不能用二分法求零点，而其余3个均可使用二分法求零点2为了求函数f(x)2xx
11、2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x和函数值f(x)的部分对应值f(x)的值精确到0.01如下表如示：x0.61.01.41.82.22.63.0f(x)1.161.000.680.240.250.701.00则函数f(x)的一个零点所在的区间是()A(0.6,1.0) B(1.4,1.8)C(1.8,2.2) D(2.6,3.0)答案C解析f(1.8)f(2.2)0.24(0.25)0，零点在区间(1.8,2.2)上故选C.3用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算f(0)0，f(0.5)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_，以上横线上应填的内容为()A(0,0
12、.5)，f(0.25) B(0,1)，f(0.25)C(0.5,1)，f(0.75) D(0,0.5)，f(0.125)答案A解析二分法要不断地取区间的中点值进行计算由f(0)0，f(0.5)0知x0(0,0.5)再计算0与0.5的中点0.25的函数值，以判断x0的更准确位置4设方程2x2x10的根为，则()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)答案C解析设f(x)2x2x10，则f(x)在R上为单调增函数，故只有一个零点f(0)9，f(1)6，f(2)2，f(3)4，f(2)f(3)0.(2,3)5函数yx与函数ylg x的图象的交点的横坐标约是()A1.5 B1.6C1.7
13、D1.8答案D解析设f(x)lg xx，经计算f(1)0，f(2)lg 20，所以方程lg xx0在(1,2)内有解应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知选项D符合要求6用二分法求方程ln x2x0在区间1,2上零点的近似值，先取区间中点c，则下一个含根的区间是_答案解析令f(x)ln x2x，f(1)10，f(2)ln 20，fln 0，下一个含根的区间是.7用二分法求函数f(x)3xx4的一个零点，其参考数据如下：f(1.600 0)0.200f(1.587 5)0.133f(1.575 0)0.067f(1.562 5)0.003f(1.556 2)0.029f(1.550 0)0
14、.060据此数据，求f(x)3xx4的一个零点的近似值(误差为0.01)解由表中f(1.562 5)0.003，f(1.556 2)0.029.f(1.562 5)f(1.556 2)0.又|1.562 51.556 2|0.006 30.01，一个零点近似值为1.562 5(不唯一)二、能力提升8在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是2,4，则第三次所取的区间可能是()A1,4 B2,1C. D.答案D解析由于第一次所取的区间为2,4，第二次所取区间为2,1或1,4，第三次所取区间为，或.9下面关于二分法的叙述，正确的是()A用二分法可求所有函数零点的近似值B用二分法求
15、方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C二分法无规律可循D只有在求函数零点时才用二分法答案B解析只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错；求方程的近似解也可以用二分法，故D错10已知图象连续不断的函数yf(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(误差为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为_答案4解析设等分的最少次数为n，则由0.01，得2n10，n的最小值为4.11画出函数f(x)x2x1的图象，并利用二分法说明方程x2x10在0,2内
16、的根的情况解图象如图所示，因为f(0)10，f(2)10，所以方程x2x10在(0,2)内有根x0；取(0,2)的中点1，因为f(1)10，所以f(1)f(2)0，根x0在区间(1,2)内；再取(1,2)的中点1.5，f(1.5)0.250，所以f(1.5)f(2)0，根x0在区间(1.5,2)内；取(1.5,2)的中点1.75，f(1.75)0.312 50，所以f(1.5)f(1.75)0，根x0在区间(1.5,1.75)内这样继续下去，可以得到满足一定精确度的方程的近似根三、探究与创新12求方程ln xx30在(2,3)内的近似解(误差为0.1)解令f(x)ln xx3，求函数f(x)0
17、在(2,3)内的零点f(2)ln 210，f(3)ln 30，取(2,3)作为初始区间，用二分法列表如下：区间中点的值中点函数近似值(2,3)2.50.416(2,2.5)2.250.061(2,2.25)2.1250.121(2.125,2.25)2.187 50.0302.252.187 50.062 50.1，在区间(2.187 5,2.25)内任意实数都是函数的零点的近似值，即方程的近似解可取为2.25.13用二分法求的近似值(误差为0.1)解设x，则x25，即x250，令f(x)x25.因为f(2.2)0.160.f(2.4)0.760，所以f(2.2)f(2.4)0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，取区间(2.2,2.4)的中点x12.3，则f(2.3)0.29.因为f(2.2)f(2.3)0，x0(2.2,2.3)，再取区间(2.2,2.3)的中点x22.25，f(2.25)0.062 5.因为f(2,2)f(2.25)0，所以x0(2.2,2.25)由于|2.252.2|0.050.1，所以的近似值可取为2.25.