1、第二节 平面向量的数量积及应用举例A组基础对点练1已知向量a(1，m)，b(3，2)且(ab)b，则m()A8 B5C5 D8解析：由(ab)b知(ab)b0，所以abb20，即32m130，所以m5.答案：B2已知|a|6，|b|3，向量a在b方向上的投影是4，则ab()A12 B8C8 D2解析：|a|cos a，b4，|b|3，ab|a|b|cos a，b3412.答案：A3(2021河南新乡模拟)若向量m(2k1，k)与向量n(4，1)共线，则mn()A0 B4C D解析：向量m(2k1，k)与向量n(4，1)共线，2k14k0，解得k，m，mn241.答案：D4(2021湖南永州模拟
2、)已知非零向量a，b的夹角为60，且|b|1，|2ab|1，则|a|()A B1C D2解析：非零向量a，b的夹角为60，且|b|1，ab|a|1.|2ab|1，|2ab|24a24abb24|a|22|a|11，4|a|22|a|0，|a|.答案：A5已知平面向量a与b的夹角为60，a(2，0)，|b|1，则|a2b|()A B2C4 D12解析：由题意得|a2b|2a24ab4b24421cos 60412，所以|a2b|2.答案：B6在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，(1，2)，(2，1)，则()A5 B4C3 D2解析：由四边形ABCD是平行四边形，知(1，2)
3、(2，1)(3，1)，故(2，1)(3，1)231(1)5.答案：A7已知非零向量m，n满足4|m|3|n|，cos m，n.若n(tmn)，则实数t的值为()A4 B4C D解析：由n(tmn)可得n(tmn)0，即tmnn20，所以t334.答案：B8若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A BC D解析：设a与b的夹角为，|a|b|，因为(ab)(3a2b)，所以(ab)(3a2b)3|a|22|b|2ab|b|22|b|2|b|2cos 0，解得cos .因为0，所以.答案：A9(2020安徽淮北模拟)在ABC中，三个顶点的坐标分别为A(3，t)，
4、B(t，1)，C(3，1).若ABC是以B为直角顶点的直角三角形，则t_解析：由已知，得0，即(3t，t1)(3t，0)0，(3t)(3t)0，解得t3或t3，当t3时，点B与点C重合，舍去故t3.答案：310若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a，b夹角的余弦值为_解析：|a|a2b|，两边平方得，|a|2|a|24|b|24ab|a|24|b|24|a|b|cos .又考虑到|a|3|b|，所以04|b|212|b|2cos ，得cos .答案：11已知向量a(4，3)，b(6，m)，且ab，则m_解析：ab，ab(4，3)(6，m)243m0，m8.答案：812如图所示，在AB
5、C中，O为BC的中点，若AB1，AC3，与的夹角为60，则|_解析：|cos BAC13.又()，所以2()2(222)，即2(139)，所以|.答案：B组素养提升练1如图所示，在ABC中，BAC，2，P为CD上一点，且满足m.若ABC的面积为2，则|的最小值为()A BC3 D解析：2，.m，m.C，P，D三点共线，m1，即m，2222|cos |.SABC|sin 2，|8，283，|.答案：B2如图所示，|5，|，0，且2，3，连接BE，CD交于点F，则|_解析：由三点共线可知，(1)2(1)(R)，同理，(1)3(1)(R)，由，得解得故，| .答案：3已知向量a(cos x，sin
6、x)，b(3，)，x0，.(1)若ab，求x的值；(2)记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值解析：(1)因为a(cos x，sin x)，b(3，)，ab，所以cos x3sin x.若cos x0，则sin x0，与sin2xcos2x1矛盾，故cosx0.于是tan x.又x0，所以x.(2)f(x)ab(cos x，sin x)(3，)3cos xsin x2cos .因为x0，所以x，从而1cos .于是，当x，即x0时，f(x)取到最大值3；当x，即x时，f(x)取到最小值2.4(2021江西南昌模拟)已知向量a(2，2)，向量b与向量a的夹角为，且ab2.(1
7、)求向量b；(2)若t(1，0)，且bt，c，其中A，B，C是ABC的内角，若A，B，C依次成等差数列，试求|bc|的取值范围解析：(1)设b(x，y)，则ab2x2y2，且|b|1，联立方程得解得或b(1，0)或b(0，1).(2)bt，且t(1，0)，b(0，1).A，B，C依次成等差数列，B.bc(cosA，cos C)，|bc|2cos2Acos2C1(cos2Acos 2C)111cos .A，2A，1cos ，1cos ，|bc|.5(2020江西六校联考)已知向量a，b满足|a|3，|b|1，a与b的夹角为.(1)求|a3b|；(2)若向量a2b与ta2b垂直，求实数t的值解析：(1)向量a，b满足|a|3，|b|1，a与b的夹角为，|a3b|3.(2)向量a2b与ta2b垂直，(a2b)(ta2b)0，ta2(2t2)ab4b20，9t(2t2)31cos 40，解得t.