1、第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入授课提示：对应学生用书第285页A组基础保分练1(2021湘中名校联考)平面向量a与b的夹角为45，a(1,1)，|b|2，则|3ab|等于()A136B2C.D答案：D2(2021昆明高三调研)已知平行四边形OABC中，O为坐标原点，A(2,2)，C(1，2)，则()A6B3C3D6答案：B3(2021德州期末测试)已知向量a，b满足|a|1，|b|2，(ab)(a3b)13，则a与b的夹角为()A.BC.D答案：C4(2021长春模拟)已知在边长为4的正方形ABCD中，则在方向上的投影为()A4BC2D解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则由已知可得
2、C(4,4)，E(2,0)，F(0，1)，所以(2，4)，(4，3)，则在方向上的投影为4.答案：A5已知x0，y0，a(x,1)，b(1，y1)，若ab，则的最小值为()A4B9C8D10解析：依题意，得abxy10xy1.59，当且仅当x，y时取等号答案：B6(2021重庆巴蜀中学月考)已知向量a(2，m)，b，mR，则“a(a2b)”是“m2”的()A充要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件解析：由已知得a2b(4,2m)，a(a2b)等价于24m2m0，所以m2.先考虑充分性，m2成立不能推出m2成立，所以“a(a2b)”不是“m2”的充分条件再考虑必要性，m2成
3、立可以推出a(a2b)成立，所以“a(a2b)”是“m2”的必要条件所以“a(a2b)”是“m2”的必要不充分条件答案：B7已知a为单位向量，b0，若ab且|ab|，则|b|_.答案：8(2021郑州模拟)已知e1，e2为单位向量且夹角为，设a3e12e2，b3e2，则a在b方向上的投影为_答案：9已知向量a，b满足|a|3，|b|1，a与b的夹角为.(1)求|a3b|；(2)若向量a2b与ta2b垂直，求实数t的值解析：(1)向量a，b满足|a|3，|b|1，a与b的夹角为，|a3b| 3.(2)向量a2b与ta2b垂直，(a2b)(ta2b)0，ta2(2t2)ab4b20，9t(2t2)
4、31cos40，解得t.10如图所示，在OAB中，已知P为线段AB上的一点，xy.(1)若，求x，y的值；(2)若3，|4，|2，且与的夹角为60时，求的值解析：(1)，即2，即x，y.(2)3，33，即43，.()2242429.B组能力提升练1已知两个不相等的非零向量a，b满足|a|1，且a与ba的夹角为60，则|b|的取值范围是()A.BC.D(1，)答案：D2. (2021安阳模拟)如图所示，直角梯形ABCD中，ABCD，ABAD，ABAD4，CD8.若7，3，则()A11B10C10D11答案：D3(多选题)已知向量a(1，2)，b(2,4)，则()AabB(ab)a5Cb(ab)D
5、2|a|b|解析：因为142(2)，所以ab，A正确；ab(1,2)，所以(ab)a5，B正确；ab(3，6)，b(ab)300，所以C错误；|a|，|b|2，2|a|b|，所以D正确答案：ABD4(多选题)已知向量a(1，1)，b(2，x)，设a与b的夹角为，则()A若ab，则x2B若x1，则|ba|C若x1，则a与b的夹角为60D若a2b与a垂直，则x3解析：由ab可得x2，故A正确；若x1，则b(2,1)，|ba|(2,1)(1，1)|，故B正确；当x1时，cosa，b，故C错误；a2b(5，12x)，由5(1)(12x)0，解得x3，故D正确答案：ABD5如图所示，AB是半圆O的直径，
6、P是上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB6，MN4，则_.答案：56已知向量a，ab，ab.若OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则OAB的面积为_解析：由题意得，|a|1，又OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，所以，|.由，得(ab)(ab)|a|2|b|20，所以|a|b|1，由|，得|ab|ab|，所以ab0.所以|ab|2|a|2|b|22，所以|，故SOAB1.答案：17已知向量m(sin 2，cos )，n(sin ，cos )，其中R.(1)若mn，求角；(2)若|mn|，求cos 2的值解析：(1)若mn，则mn0，即为sin (sin 2)cos2 0，
7、即sin ，可得2k或2k，kZ.(2)若|mn|，即有(mn)22，即(2sin 2)2(2cos )22，即为4sin248sin 4cos2 2，即有88sin 2，可得sin ，即有cos 212sin212.C组创新应用练1已知将函数f(x)4cos的图象和直线g(x)x1的所有交点从左到右依次记为A1，A2，A5.若P点坐标为(0，)，则|()A0B2C6D10解析：依题意，A1和A5，A2和A4都关于点A3对称，由P(0，)，A3(1,0)，得(1，)，则55(1，)(5，5)，所以|10.答案：D2已知正方形ABCD的边长为2，以B为圆心的圆与直线AC相切若点P是圆B上的动点，
8、则的最大值是()A2B4C4D8解析：如图所示，建立平面直角坐标系，则B(0,0)，A(0,2)，D(2,2)，圆B的方程为x2y22，P(cos ，sin )，(2，2)，(cos ，sin 2)，2cos 2sin 444sin，当sin1时，的最大值是8.答案：D3(多选题)(2021山东青岛模拟)已知ABC的面积为3，在ABC所在的平面内点P，Q满足0，2，记APQ的面积为S，则下列说法正确的是()A.BC.0DS4解析：由20，可知点P为线段AC的三等分点且AP2PC，由2可知点Q在线段AB的延长线上，且AQ2AB，如图对于A，(法一)因为，所以PB与CQ不平行，故A错误；(法二)因为，2，所以向量与不共线，故A错误；对于B，因为()，故B正确；对于C，因为|cos |2|20，故C错误；对于D，SAQAPsinBAC2ABACsinBACSABC4，故D正确答案：BD4(2020高考天津卷)如图，在四边形ABCD中，B60，AB3，BC6，且，则实数的值为_，若M，N是线段BC上的动点，且|1，则的最小值为_解析：依题意得ADBC，BAD120，由|cosBAD|，得|1，因此.取MN的中点E，连接DE(图略)，则2，()2()2222.注意到线段MN在线段BC上运动时，DE的最小值等于点D到直线BC的距离，即ABsinB，因此2的最小值为2，即的最小值为.答案：