1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心素养测评 五十一双曲线(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.已知双曲线的方程为-=1,则下列关于双曲线说法正确的是()A.虚轴长为4B.焦距为2C.离心率为D.渐近线方程为2x3y=0【解析】选D.根据题意,依次分析选项:对于A,双曲线的方程为-=1,其中b=3,虚轴长为6,则A错误;对于B,双曲线的方程为-=1,其中a=2,b=3,则c=,则焦距为2,则B错误;对于C,双曲线的方程为-=1,其中a=2,b=3,则c=,则离心率为e=,则C错误;对于
2、D,双曲线的方程为-=1,其中a=2,b=3,则渐近线方程为2x3y=0,则D正确.2.(2019全国卷)双曲线C:-=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若=,则PFO的面积为()A.B.C.2D.3【解析】选A.由双曲线的方程-=1可得一条渐近线方程为y=x;在PFO中,|PO|=|PF|,过点P作PHOF,垂足为H,因为tanPOF=得到PH=;所以SPFO=.3.(2018全国卷)已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若OMN为直角三角形,则=()A.B.3C.2D.4【解析】选B.渐近线方程为-y2=0
3、,即y=x,所以MON=.因为OMN为直角三角形,假设ONM=,如图,则kMN=,所以直线MN方程为y=(x-2).联立解得所以N,即ON=,因为MON=,所以|MN|=3.4.(2020山东新高考模拟)已知双曲线C过点(3,)且渐近线为y=x,则下列结论正确的是()A.C的方程为-y2=1B.C的离心率为C.曲线y=ex-2-1经过C的一个焦点D.直线x-y-1=0与C有两个公共点【解析】选AC.对于选项A:(方法一)设所求双曲线方程为-=1,由所给条件知=,又双曲线C过点(3,),从而-=1,解得a=,b=1,c=2,所以选项A正确;(方法二)由已知y=x,可得y2=x2,从而设所求双曲线
4、方程为x2-y2=,又由双曲线C过点(3,),从而32-()2=,即=1,从而选项A正确;对于选项B:由双曲线方程可知a=,b=1,c=2,从而离心率为e=,所以B选项错误;对于选项C:双曲线的右焦点坐标为(2,0),满足y=ex-2-1,从而选项C正确;对于选项D:联立整理,得y2-2y+2=0,由=(-2)2-42=0,且直线斜率大于渐近线斜率,知直线与双曲线C只有一个交点,选项D错误.5.(2020杭州模拟)已知椭圆C1:+=1(ab0)与双曲线C2:-=1(m0,n0)有相同的焦点F1,F2,点P是两曲线的一个公共点,且F1PF2=60,若椭圆e1=,则双曲线C2的离心率e2=世纪金榜
5、导学号()A.B.C.3D.4【解析】选B.设|PF1|=s,|PF2|=t,P为第一象限的交点,由椭圆和双曲线的定义可得s+t=2a,s-t=2m,解得s=a+m,t=a-m,在F1PF2中,F1PF2=60,可得4c2=s2+t2-2stcos 60=a2+m2+2am+a2+m2-2am-(a2-m2),即有a2+3m2=4c2,可得+=4,即+=4,由e1=,可得e2=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.双曲线+=1的焦距为_.【解析】由题意可得(25-k)(9-k)0,解得9k0,9-k0,双曲线M:-y2=1与圆N:x2+(y-m)2=5相切,A(-,0),B(,0),若圆N上
6、存在一点P满足|PA|-|PB|=4,则点P到x轴的距离为_.世纪金榜导学号【解析】由题意得,双曲线中a=2,c=,易知点A,B为双曲线的左、右焦点,又点P满足|PA|-|PB|=4=2a,所以点P是双曲线与圆的切点,且在双曲线的右支上,由圆方程可知其圆心为N(0,m),半径为,由 得5y2-2my+m2-1=0,由=(-2m)2-45(m2-1)=0,又m0,解得m=,则5y2-2y+-1=0,解得y=,即所求距离为.答案:8.已知双曲线-=1,过点M(m,0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于A,B两点.若AOB是锐角三角形(O为坐标原点),则实数m的取值范围是_.世纪金榜导学号【解析】
7、由题意得A,Bm,-2,所以=,=m,-2,因为AOB是锐角三角形,所以AOB是锐角,即与的夹角为锐角,所以0,即m2-+40,解得-2m2.由过点M(m,0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于A,B两点可知m.故实数m的取值范围是(-2,-)(,2).答案:(-2,-)(,2)三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2020济宁模拟)已知双曲线两个焦点分别是F1(-,0),F2(,0),点P(,1)在双曲线上.(1)求双曲线的标准方程;(2)过双曲线的右焦点F2且倾斜角为60的直线与双曲线交于A,B两点,求F1AB的周长.【解析】(1)由F1(-,0),F2(,0),点P(,1)在双曲线
8、上,得c=,2a=|PF1|-|PF2|=-=2,所以a=1,则b2=c2-a2=1,所以双曲线的标准方程为x2-y2=1.(2)双曲线的右焦点F2(,0),直线AB的斜率为,则直线方程为y=(x-),联立得2x2-6x+7=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3,x1x2=.所以|AB|=4.因为|AF1|-|AF2|=2,|BF1|-|BF2|=2,所以|AF1|+|BF1|-(|AF2|+|BF2|)=4,则|AF1|+|BF1|=4+|AB|=8,所以F1AB的周长为12.10.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点P(4,-).(1)求
9、双曲线的方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证: MF1MF2.【解析】(1)因为e=,所以可设双曲线的方程为x2-y2=(0).因为双曲线过点(4,-),所以16-10=,即=6.所以双曲线的方程为x2-y2=6,即-=1.(2)方法一:由(1)可知,a=b=,所以c=2,所以F1(-2,0),F2(2,0),=(-2-3,-m),=(2-3,-m),所以=(3+2)(3-2)+m2=-3+m2,因为点M(3,m)在双曲线上,所以9-m2=6,即m2-3=0,所以=0.所以MF1MF2.方法二:由(1)可知,a=b=,所以c=2,所以F1(-2,0),F2(2,0),所以=,=,=-.
10、因为点M(3,m)在双曲线上,所以9-m2=6,m2=3,故=-1,所以MF1MF2.(15分钟35分)1.(5分)-=2表示的曲线方程为()A.x2-y2=1(x-1) B.x2-y2=1(x-1)C.y2-x2=1(y-1) D.y2-x2=1(y1)【解析】选C.可看作动点(x,y)到点(0,)的距离,可看作动点(x,y)到点(0,-)的距离,则-=2表示动点(x,y)到(0,)和(0,-)的距离之差为2,符合双曲线的定义,且双曲线焦点在y轴上,又动点到(0,)的距离大于到(0,-)的距离,所以动点(x,y)的轨迹为双曲线的下支,则c=,a=1,所以b2=c2-a2=1,所以曲线方程为y
11、2-x2=1(y-1).【变式备选】已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2 外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.-=1(x)B.-=1(x-)C.+=1(x)D.+=1(x-)【解析】选A.设动圆的半径为r,由题意可得|MC1|=r+,|MC2|=r-,所以|MC1|-|MC2|=2=2a,故由双曲线的定义可知动点M在以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点,实轴长为2a=2的双曲线的右支上,即a=,c=4b2=16-2=14,故其标准方程为-=1(x).2.(5分)过双曲线-=1(a0,b0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,与双曲
12、线的两条渐近线交于C,D两点,若|AB|CD|,则双曲线离心率的取值范围为()A.B.C.D.【解析】选B.将x=c代入-=1,得y=,不妨取A,B,则|AB|=,将x=c代入y=x,得y=,不妨取C,D,则|CD|=.因为|AB|CD|,所以,即bc,则b2c2,又c2-a2=b2,所以c2-a2c2,即c2a2,则e2,则e.【变式备选】(2020武汉模拟)已知A,B,C是双曲线-=1(a0,b0)上的三个点,AB经过原点O,AC经过右焦点F,若BFAC且2|AF|=|CF|,则该双曲线的离心率是()A.B.C.D.【解析】选B.设左焦点为F,|AF|=m,连接AF,CF,则|FC|=2m
13、,|AF|=2a+m,|CF|=2a+2m,|FF|=2c,因为BFAC,且AB经过原点O,所以四边形FAFB为矩形,在RtAFC中,|AF|2+|AC|2=|FC|2,代入(2a+m)2+(3m)2=(2a+2m)2,化简得m=,所以在RtAFF中,|AF|2+|AF|2=|FF|2,代入+=(2c)2,化简得= ,即e=.3.(5分)P是双曲线C:x2-y2=2左支上一点,直线l是双曲线C的一条渐近线,P在l上的射影为Q,F2是双曲线C的右焦点,则|PF2|+|PQ|的最小值为世纪金榜导学号()A.B.C.3D.2+【解析】选C.由题知|PF2|-|PF1|=2a=2,则|PF2|+|PQ
14、|=|PF1|+|PQ|+2,由对称性,当F1,P,Q在同一直线上时|PF1|+|PQ|最小,由渐近线方程y=x,|F1O|=2知|F1Q|=,则|PF2|+|PQ|的最小值为3.4.(10分)(2019福州模拟)已知双曲线C的焦点在坐标轴上,其渐近线方程为y=x,过点P.(1)求双曲线C的标准方程.(2)是否存在被点B(1,1)平分的弦?如果存在,求出弦所在的直线l的方程;如果不存在,请说明理由.世纪金榜导学号【解析】(1)双曲线C的焦点在坐标轴上,其渐近线方程为y=x,设双曲线方程为x2-=(0),过点P,代入可得=1,所求双曲线方程为x2-=1.(2)假设直线l存在.设B(1,1)是弦M
15、N的中点,且M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2.因为M,N在双曲线上,所以所以2(x1+x2)(x1-x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0,所以4(x1-x2)=2(y1-y2),所以k=2,所以直线l的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0,联立方程组 ,得2x2-4x+3=0,因为=16-432=-80,b0)的离心率为且过点(,2).世纪金榜导学号(1)求双曲线的标准方程.(2)过点(0,1)且斜率为k的直线l与双曲线C相交于A,B两点,O为坐标原点,已知OAB的面积为,求直线的斜率k.【解析】(1)依题意可得 解得a=1,b=2,c=,所以双曲线的标准方程为x2-=1.(2)直线l的方程为y=kx+1,由可得(4-k2)x2-2kx-5=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由0,可得k(-,),由根与系数的关系可得x1+x2=,x1x2=,|AB|=4,O到直线l的距离d=,所以SOAB=|AB|d=2,由SOAB=得4k4-23k2+19=0,解得k=,1(-,),所以直线的斜率k=,1.关闭Word文档返回原板块