1、第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公式必备知识探新知基础知识知识点1 二倍角的正弦、余弦及正切公式(1)sin22sincos(S2)(2)cos2cos2sin22cos2112sin2(C2)(3)tan2(T2)思考1：(1)所谓的“二倍角”公式，就是角与2之间的转化关系，对吗？(2)公式中的角是任意角吗？提示：(1)不对对于“二倍角”应该广义的理解，如：8是4的二倍角，3是的二倍角，是的二倍角，是的二倍角，这里蕴含着换元思想这就是说“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间关系的(2)对于公式S2，C2中的角是任意角，但是T2中的角要保证tan有意义且分母1tan20.知识点2 二倍角公式的
2、转换(1)因式分解变换cos2cos2sin2(cossin)(cossin)(2)配方变换：1sin2sin2cos22sincos(sincos)2.(3)升幂缩角变换1cos22cos2，1cos22sin2.(4)降幂扩角变换cos2(1cos2)，sin2(1cos2)，sincossin2.思考2：如何证明“缩角升幂公式”？提示：因为sin2cos21，所以cos2cos2sin2cos2(1cos2)2cos21；cos2cos2sin2(1sin2)sin212sin2.基础自测1下列说法正确的个数是(A)对任意的角总有sin22sin.不存在角，使得cos22cos.公式ta
3、n2成立的条件是k，kZ.对于任意角，都有sin2sincos.A1B2C3D4解析错误，正确，故选A.2已知sin，cos，则sin2等于(D)ABCD解析sin22sincos.3已知cos，则cos2等于(C)ABCD解析cos22cos211.4(cossin)(cossin)的值为(D)ABCD解析原式cos2sin2cos.5设sin2cos，则tan2的值为！#.解析tan2，所以tan2.关键能力攻重难题型探究题型一利用二倍角公式给角求值问题例1 求下列各式的值：(1)sincos；(2)12sin2750；(3)；(4)；(5)cos20cos40cos80.分析解析(1)原
4、式.(2)原式cos(2750)cos1500cos(436060)cos60.(3)原式tan(2150)tan300tan(36060)tan60.(4)原式4.(5)原式.归纳提升对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式【对点练习】 求下列各三角函数式的值：(1)cos72cos36；(2).解析(1)原式cos36cos72.
5、(2)原式4.题型二利用二倍角公式给值求值问题例2(1)若cos()，则sin2！#.(2)已知是第二象限角，tan(2)，则tan！#.解析(1)方法一：由cos()，得(sincos).两边同时平方，得(sincos)2.故1sin2.所以sin2.方法二：由二倍角公式，得cos2()，所以sin2.方法三：因为cos()，所以sin2cos(2)cos2()2cos2()121.(2)由题设得tan(2)tan2.由二倍角公式，得tan2，整理得2tan23tan20，解得tan2或tan.因为是第二象限的角，所以tan.归纳提升解决给值求值问题的方法比较多，(1)可以利用倍角公式将二倍
6、角(单角)化为单角(二倍角)，再通过三角基本公式得到所求值；(2)利用倍角公式的推论直接进行结构式的联系：如cos2与sin2及cos2之间的关系，cossin与sin2的关系等【对点练习】 已知tan，(，)，求cos2和sin(2)的值解析由tan，得.则，即sin2，因为(，)，所以2(，)，所以cos2，sin(2)sin2coscos2sin.题型三利用二倍角公式给值求角例3已知tan()，tan，且，(0，)，求2的值分析本题根据tan0且(0，)，确定，可求得tan且(0，)，确定0，这是求角的范围的关键解析因为22()，tan()，而tan2().从而tan(2)tan2()1
7、.又因为tantan()1，且(0，)，所以0.所以02.又因为tan0，且(0，)，所以，所以20.所以2.归纳提升本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确的角【对点练习】 已知tan，tan，并且，均为锐角，求2的值解析因为tan，所以tan2.所以tan(2)1.0tan1,0tan1，、均为锐角，所以0，0，02.所以02，又tan(2)1.所以2.题型四三角函数式化简例4(1)化简：2；(2)设(，2)，化简：.分析(1)1sin8sin242sin4cos4cos24(sin4
8、cos4)2,2(1cos8)4cos24.(2)连续运用公式：1cos22cos2.解析(1)原式22|sin4cos4|2|cos4|.因为4(，)，所以sin40，cos40，cos2恒成立，求实数m的取值范围分析(1)f(B)的式子过于烦琐，需将其化简，在求B的大小时应考虑其在三角形中，所以角B的范围为(0，)(2)将化简得到的f(B)代入不等式中，即可求得实数m的取值范围解析(1)f(B)4cosBcos2B2cosB2cosB(1sinB)cos2B2cosB2cosBsinBcos2Bsin2Bcos2B2sin(2B)f(B)2，2sin(2B)2，即sin(2B)1.2B2k，kZ.又0B2恒成立，即2sin(2B)2m恒成立0B，2B，2sin(2B)2,2，2m2，解得mcos.又(cossin)21sin21，cossin.